最新研究表明，傳統的對稱性概念過于局限。一類全新的對稱性正為量子系統帶來意想不到的深刻洞見。

撰文 | 邵書珩

二維Ising自旋系統（圖像由AI繪制）

對稱性長期以來一直是理論物理和數學中的基礎概念。它簡化了復雜的物理問題，減少了未知變量的數量。舉例來說，如果你用笛卡爾坐標系的 x、y、z 來求解氫原子的薛定諤方程，過程將會異常復雜，簡直如噩夢一般。但如果使用球坐標系，并利用原子的旋轉對稱性——即原子繞其任一軸旋轉后外觀保持不變——問題就會顯著簡化。對稱性不僅幫助統一和組織自然界的基本作用力，還指導著新物理的探索。

對稱變換指的是那些使系統在外觀和行為上保持不變的變換。傳統的對稱變換都是可逆的。比如，將一個正方形旋轉90°，這個變換可以通過再旋轉?90°來撤銷。這種直觀認識被維格納定理嚴格地形式化，該定理指出量子力學中的每一個對稱變換都存在逆變換。描述傳統對稱變換所用的數學語言稱為群論，這一基礎概念塑造了現代物理超過一個世紀的發展（參見 Martin Rodriguez-Vega、Maia Vergniory 和 Greg Fiete 于2022年5月刊《Physics Today》第42頁發表的文章）。

單向之路

近年來，研究人員發現傳統的對稱性概念在量子場論和量子多體系統中顯得過于有限。一類全新的對稱性——不可逆對稱性——已在多種物理系統中被確認，包括描述磁性的晶格模型和描述夸克強相互作用的量子場論。顧名思義，不可逆對稱性是通過沒有逆變換的變換實現的，也就是說，一經施行，無法撤銷。

對稱性能夠不可逆的根本原因在于量子疊加態。在確定性的經典物理中，一只貓要么活著，要么死了；而在量子物理中，薛定諤的貓可以同時既活著又死著。描述薛定諤貓的波函數是兩個單獨波函數的疊加——一個對應活貓，一個對應死貓。疊加態為量子物理中的對稱性提供了更多可能性：一個對稱變換可以使單只貓的波函數變成兩個波函數的疊加態。如果該變換被重復施加，結果將是越來越多貓的波函數疊加，且不存在逆變換能恢復到單一貓的狀態。

盡管聽起來頗悖常理，這些新型對稱性帶來了新的守恒定律，成為研究強耦合物理系統的新工具。它們也引導我們尋求全新的物理模型，并迫切需要建立描述量子物理中對稱性的全新數學框架。

磁體的不可逆對稱性

不可逆對稱性早已存在于物理學家喜愛的鐵磁模型——一維伊辛模型中。該一維模型由一圈排列的量子比特組成，如圖所示：

伊辛模型（Ising model）由一維空間中的一列量子比特組成。每個量子比特可以處于自旋向上態、自旋向下態，或這兩種狀態的疊加態。該模型是探索普通可逆對稱性與不可逆對稱性差異的經典系統代表——其中，不可逆對稱一旦施加，便無法復原。（插圖由 Three Ring Studio 提供。）【注：插圖來自原文】

不可逆對稱性算符 D 對磁體的不同狀態施加作用時，表現得完全一致。無論 D 作用于北極朝上的磁體（N），還是南極朝上的磁體（S），結果都是相同的：一個“去磁化”的輸出態（圖中以黑色表示）。當 D 再次作用時，磁體進入一個由最初兩種狀態疊加而成的量子疊加態。（插圖由 Three Ring Studio 提供。）【注：插圖來自原文】

值得注意的是，變換前的態是“向上”還是“向下”，在變換后已無法區分。進一步地，若再次施加該變換，則會得到“向上”與“向下”兩種態的疊加態：

由于該對稱變換不可逆轉，因此稱其為不可逆對稱性。

對稱性能夠呈現出不可逆性的根本原因在于量子疊加性。

技術細節

實現的自旋翻轉對稱性。該算符與哈密頓量對易，意味著它隨時間不變，換句話說，它是一個守恒量。

伊辛模型中有額外的對稱性嗎？另一種使哈密頓量保持不變的變換是

那么它究竟有何用處？

凝聚態物理中，一個重要的課題是描繪物理系統的相圖。一個熟悉的例子是給定大氣壓下的水，它存在氣態、液態與固態三種形態。由于微觀粒子和原子間的強烈相互作用，這項工作常常充滿挑戰。而對稱性，恰恰是研究這類強耦合系統時為數不多且極為有力的分析工具之一。

特別是，對于在克拉默斯-萬尼爾變換下保持不變的系統，其不可逆對稱性為量子系統帶來了新的洞見。以臨界伊辛模型及一大類相關模型為例，磁化與去磁現象并存，這暗示了系統存在非平凡的糾纏特性。對這一直覺的形式化研究【參考文獻4–7】表明，不可逆對稱性的存在排除了無糾纏的無特征相的可能性。此外，該對稱性還限制了最低能量的基態數量。如果將克拉默斯-萬尼爾變換誤認為是普通的可逆對稱性，那么這樣的約束是不可能實現的。

多年來，不可逆對稱性的討論一直局限于一維空間中的玩具模型，例如用于描述磁化的伊辛模型。然而，幾年前的兩篇論文【參考文獻8、9】引發了諸多進展。受早期工作的啟發【參考文獻10】，它們提出了一種適用于三維及更高維空間的不可逆對稱性構造。該構造的關鍵在于與另一種新型對稱性——高階形式對稱性（higher-form symmetry）的聯系，這種對稱性作用于諸如弦狀的擴展對象上【參考文獻11】。

這些思想迅速推動了各種物理系統中新對稱性的發現，包括量子電動力學【參考文獻12、13】。這些對稱性不僅為粒子物理學等其他領域提供了誘人的見解，還指出了散射振幅文獻中的一些錯誤【參考文獻14】，并鞏固了量子引力與弦理論中的若干猜想。除高能物理外，不可逆對稱性還被應用于凝聚態理論中的晶格模型和量子信息領域，促進了新型量子物質拓撲相的發現及相圖約束的提出。這些新對稱性已成為連接高能物理、凝聚態和量子信息研究者的統一語言。

不可逆對稱性的理念源于物理學與數學的跨學科發展。由于它超越了群論的框架，因而需要新的數學語言。在某些情況下，這種語言被確認為范疇論，這是群論的推廣。這些進展促進了數學家與物理學家之間的緊密合作，開啟了兩大學科融合的新篇章。

縱觀歷史，對稱性一直推動著物理學的重大突破。1941年，克拉默斯和萬尼爾【參考文獻2】發現的對稱性如今被理解為不可逆對稱性的特殊例子，并預測了伊辛模型的臨界溫度。這一成果激勵了拉斯·昂薩格（Lars Onsager）于1944年求解伊辛模型的精確解【參考文獻15】。近年來，新的不可逆對稱性的發現和應用引領了物理學多個領域的飛速發展，更多令人期待的突破正逐漸浮現。

參考文獻

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[14]L. Onsager, Phys. Rev.65, 117 (1944). https://doi.org/10.1103/PhysRev.65.117

本文經授權轉載自微信公眾號“也疏寒”，來源：Physics Today文章：《Noninvertible symmetries: What’s done cannot be undone》。

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