在繪畫(huà)藝術(shù)作品中，不乏含有精妙的數(shù)學(xué)元素，比如完美的幾何圖形、分形、黃金分割等。當(dāng)然，很多數(shù)學(xué)解讀是后來(lái)人們?yōu)橹x予的，創(chuàng)作者本身并不了解其中的奧秘，此時(shí)藝術(shù)與數(shù)學(xué)卻和諧交融。本文介紹的藝術(shù)家艾瑪·昆茨的作品正是這樣一個(gè)例子。饒有趣味的是，昆茨本人是一位通靈治療師，她沒(méi)有正規(guī)的藝術(shù)背景，從事的工作在如今會(huì)被貼上偽科學(xué)標(biāo)簽。但她在幫助患者過(guò)程中創(chuàng)造了超越時(shí)代的藝術(shù)作品，得到了今天藝術(shù)界極高的評(píng)價(jià)。畫(huà)作中顯而易見(jiàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不僅吸引了公眾的目光，也讓專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)家感興趣——他們發(fā)現(xiàn)，昆茨作品中有許多包絡(luò)線。

撰文 | Sumit Dhar、Pamela Gorkin Sofi Jeffrey（巴克內(nèi)爾大學(xué)數(shù)學(xué)系）

翻譯 | 許釗箐

艾瑪·昆茨（Emma Kunz，1892-1963）是瑞士的研究者、幻想藝術(shù)家，也是一名心靈療愈師。為了幫助她的患者，她使用輻射感知療法（radiesthesia），一種涉及占卜擺錘的技術(shù)，她認(rèn)為擺錘受到能量場(chǎng)引導(dǎo)。把使用擺錘所得到的點(diǎn)用石墨線連起來(lái)，再填上顏色，她創(chuàng)造出許多幾何圖畫(huà)。這些作品有時(shí)會(huì)被稱(chēng)為精神（spiritual）藝術(shù)或者幻想（visionary）藝術(shù)，如今已多次在重要的個(gè)人展和群展中展出。1993年，她的作品No.095（圖1）甚至登上了瑞士郵票。

盡管昆茨使用她的藝術(shù)來(lái)答疑解惑，并深入了解她的患者，但我們特別感興趣的是那些繪畫(huà)展現(xiàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。她創(chuàng)作的曲線可以被看作是眾多直線的包絡(luò)線，因此我們可以在包絡(luò)算法的幫助下進(jìn)行分析。事實(shí)上，在我們所研究的作品中，昆茨反復(fù)運(yùn)用了一種技法，這使得那些出現(xiàn)在她諸多作品中的包絡(luò)曲線能夠被計(jì)算出來(lái)。而她對(duì)色彩、鏡像、平移和旋轉(zhuǎn)的巧妙運(yùn)用，又使這些作品各具特色。本文將探討昆茨作品中的圖案、數(shù)學(xué)變換，以及能夠揭示其結(jié)構(gòu)的原理。我們相信，這一研究為包絡(luò)算法提供了一個(gè)理想的應(yīng)用實(shí)例。

圖1 1993年發(fā)行的瑞士郵票，以昆茨的095號(hào)作品為圖案。

艾瑪·昆茨與她的作品

艾瑪·昆茨（圖2）1892年出生于瑞士阿爾高州一個(gè)貧窮的織工家庭。1909年對(duì)她而言尤為艱難：那一年，兩位姐妹去世，之后父親也自殺了。不久之后，她開(kāi)始使用擺錘進(jìn)行預(yù)言、心靈感應(yīng)以及療愈。19歲時(shí)，她邁出了不尋常的一步——前往美國(guó)追求自己的興趣愛(ài)好。然而一年之后，她失望地回到了瑞士，并重新開(kāi)始施行心靈治療。

圖2 艾瑪·昆茨（圖片由艾瑪·昆茨基金會(huì)提供）

此后，昆茨在一家針織廠打工養(yǎng)活自己。1923年至1939年間的夏季，她在具象藝術(shù)家和藝術(shù)評(píng)論家雅各布·弗里德里希·菲爾蒂（Jakob Friedrich Welti，1871-1952）的家中擔(dān)任管家，并在此后與這一家族建立了深入的聯(lián)系。在1942年，昆茨開(kāi)始在毫米方格紙上作畫(huà)，并和她在布里特瑙的姐妹一起發(fā)現(xiàn)了一種“瑞士治療石粉”，名為AION A。1939年，她離開(kāi)了菲爾蒂家族，并搬到了離她兄弟更近的地方，之后在阿彭策爾的瓦爾德施塔特附近建造了一所房子，因?yàn)檫@里允許她實(shí)踐自然療法。

有關(guān)艾瑪·昆茨的生平和工作的信息收錄在她的一位患者安東·邁爾（Anton Meier）所著的《艾瑪·昆茨》（Emma Kunz）一書(shū)中[9]。他們第一次相見(jiàn)時(shí)，邁爾患有小兒麻痹癥，他的父親帶他去拜訪昆茨。“第一次治療時(shí)，昆茨展現(xiàn)了（AION A）巨大的治療能力”（注1：參考
https://www.emma-kunz.com/en/）。安東康復(fù)了，他們也成了朋友。

邁爾目睹了昆茨的工作過(guò)程：“直到今天，我都不敢相信她可以用擺錘那么快地找到那些點(diǎn)并靈活地繪制線條。沒(méi)有數(shù)數(shù)，沒(méi)有計(jì)算，沒(méi)有測(cè)量，也沒(méi)有構(gòu)造。”[9,P.30] 她對(duì)著擺錘發(fā)問(wèn)，范圍從政治到個(gè)人或者哲學(xué)。她用擺錘軌跡提供的點(diǎn)，繪制線條并增添顏色。她的眾多作品都沒(méi)有標(biāo)題，也不標(biāo)記日期，她相信這樣可以讓它們以新的方式被詮釋。

盡管這個(gè)過(guò)程表面上沒(méi)用測(cè)量、計(jì)數(shù)和計(jì)算，但許多她在方格紙上創(chuàng)作的作品（甚至可能是大多數(shù)）都使用了等距線條、對(duì)稱(chēng)或者幾何圖形。正如昆茨所說(shuō)，“我的作品是為了21世紀(jì)而設(shè)計(jì)。它們傳達(dá)了作為維度、韻律、符號(hào)、數(shù)字和原理變換的構(gòu)造和形式。”（注2：參考
https://www.emma-kunz.com/en/）

艾瑪·昆茨于1963年1月16日在瓦爾德施塔特去世，后被安葬在布里特瑙。1986年，邁爾創(chuàng)立了艾瑪·昆茨中心（Emma Kunz Center）來(lái)保存昆茨的探索和創(chuàng)作。參觀者可以游覽附近的洞室，艾瑪曾在那里發(fā)現(xiàn)了AION A。

昆茨創(chuàng)作語(yǔ)境

2018-2019年，《世界接收者》（World Receivers）展覽會(huì)在慕尼黑舉辦。正如該展覽的策展人所言：

《世界接收者》展覽帶領(lǐng)觀者走入現(xiàn)代主義歷史中一段非凡而鮮為人知的篇章：英格蘭的喬治亞娜·霍頓 （Georgianna Houghton，1814-1884），瑞典的希爾瑪·阿芙·克林特（Hilma af Klint，1862-1944），以及瑞士的艾瑪·昆茨，她們各自完全獨(dú)立地發(fā)展出具有豐富含義的高度抽象視覺(jué)語(yǔ)言。她們都致力于在作品中將自然規(guī)律、精神世界與超自然現(xiàn)象加以可視化，并以堅(jiān)定而自信的姿態(tài)追隨各自的信念。[1]

這并非孤例：人們常將艾瑪·昆茨與更廣為人知的希爾瑪·阿芙·克林特相提并論，但不同的是，阿芙·克林特受過(guò)專(zhuān)業(yè)藝術(shù)訓(xùn)練，而昆茨并無(wú)正規(guī)藝術(shù)背景。她們兩人同屬于抽象藝術(shù)家的行列，只有個(gè)別作品的確具有一定的相似性（可對(duì)比圖3右側(cè)克林特的作品與左側(cè)的昆茨的作品）。

圖3 左：昆茨第168號(hào)作品，現(xiàn)印于Aion A產(chǎn)品包裝上（圖片由艾瑪·昆茨基金會(huì)提供）。右：希爾瑪·阿夫·克林特作品， Altarpiece No. 1, Group X，1915年，布面油畫(huà)并使用金屬箔（圖片由希爾瑪·阿夫·克林特基金會(huì)提供）

具體而言，阿芙·克林特早期的作品呈現(xiàn)出鮮明的幾何風(fēng)格；她也將通靈實(shí)踐融入創(chuàng)作，試圖通過(guò)降神會(huì)與超自然存在進(jìn)行溝通。(注3：在那個(gè)時(shí)代，許多人自認(rèn)為是通靈者，其中包括英國(guó)自然學(xué)家、進(jìn)化論生物學(xué)家阿爾弗雷德·拉塞爾·華萊士（Alfred Russel Wallace, 1823-1913）。美國(guó)第一夫人瑪麗·托德·林肯（MaryToddLincoln，1818-1882）甚至曾在白宮中舉行通靈會(huì)。數(shù)據(jù)顯示，僅在19世紀(jì)后期，美國(guó)有400萬(wàn)至1100萬(wàn)人自稱(chēng)是通靈者[3]。）

然而，由于阿芙·克林特將其主要作品私藏，并且要求在她去世20年內(nèi)不得公開(kāi)展示，所以昆茨等人幾乎不可能受到她的影響。直到1986年，阿芙·克林特的作品在洛杉磯郡藝術(shù)博物館的《藝術(shù)中的靈性：1890-1985年抽象繪畫(huà)》（The Spiritual in Art: Abstract Painting1890–1985）展覽中作為具有爭(zhēng)議性展品之一展出，才開(kāi)始獲得廣泛關(guān)注。此后，阿芙·克林特的作品接連亮相于多個(gè)國(guó)際重要展館，包括丹麥的路易斯安那現(xiàn)代藝術(shù)博物館和美國(guó)的古根海姆美術(shù)館。（注4：部分畫(huà)作的作者身份，至今仍存爭(zhēng)議[14]。）

昆茨的創(chuàng)作于1973年開(kāi)始被認(rèn)可為藝術(shù)作品，這比阿芙·克林特1986年的展覽早了13年。昆茨的作品曾在瑞士的阿爾高藝術(shù)館展出，并入選了哈拉德·塞曼（Harald Szeemann）1975年策劃的展覽《單身機(jī)器》（The Bachelor Machines）。（注5：塞曼是一位瑞士策展人、藝術(shù)史學(xué)者，一生策劃超過(guò)兩百場(chǎng)展覽，其中許多展被認(rèn)為具有開(kāi)創(chuàng)性意義。策展人過(guò)去主要是藝術(shù)品的看護(hù)者與展覽的執(zhí)行者。但在整整50年前，塞曼在伯爾尼美術(shù)館策劃的一場(chǎng)劃時(shí)代的展覽，徹底打破了這一界限——他的影響幾乎可以說(shuō)是無(wú)限大的。1961年塞曼就成為館長(zhǎng)，那時(shí)他年僅28歲。[13]）

塞曼特別指出，在1991年-1992年蘇黎世藝術(shù)館的《預(yù)見(jiàn)瑞士》（Visionary Switzerland）展覽、馬德里的索菲亞王后國(guó)家藝術(shù)中心博物館，以及杜塞爾多夫藝術(shù)館舉辦的展覽中，昆茨的作品均引發(fā)廣泛關(guān)注。2019年，昆茨四十余幅罕見(jiàn)畫(huà)作[6]亮相倫敦蛇形畫(huà)廊，這次展覽被描述為“已故瑞士幻想藝術(shù)家、療愈師和研究者艾瑪·昆茨在英國(guó)的首次個(gè)人展覽”。該展與瑞士格勞賓登州的蘇施博物館共同策劃。蛇形畫(huà)廊官網(wǎng)援引了塞曼的評(píng)價(jià)：

（昆茨的）天賦在于她能夠感知那些既違背日常經(jīng)驗(yàn)、又超越自然科學(xué)與藝術(shù)法則的隱秘聯(lián)系。這是一種超自然現(xiàn)象，一種奇跡——在揭示神圣真理的同時(shí)，傳遞著一種與宇宙創(chuàng)生同頻的隱秘脈動(dòng)。艾瑪昆茨的繪畫(huà)作品正是尋找一種普世關(guān)聯(lián)的嘗試。[6]

2021年，阿爾高藝術(shù)館舉辦展覽《艾瑪·昆茨的宇宙：與當(dāng)代藝術(shù)對(duì)話的愿景》（Kosmos Emma Kunz: A Visionary in Dialogue with Contemporary Art），展出了昆茨60幅作品。次年，即2022年，《艾瑪·昆茨的宇宙：與當(dāng)代藝術(shù)對(duì)話的愿景》巡展來(lái)到西班牙巴斯克自治區(qū)的“塔巴卡萊拉（Tabakalera）”文化中心——一個(gè)由舊煙草工廠改建而成的藝術(shù)空間，其名稱(chēng)在巴斯克語(yǔ)中正是“煙草工廠”的意思。在這里，我們注意到觀眾在某種程度上感知到了畫(huà)作中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)，并渴望獲得更深層次的解讀：

對(duì)于塔巴卡萊拉的文化總監(jiān)來(lái)說(shuō)，昆茨作品對(duì)于觀眾視線的吸引有雙重效應(yīng)：“她的創(chuàng)作具有一種獨(dú)特的張力：既引人深入細(xì)節(jié)，探索她精密而細(xì)致的創(chuàng)造，又允許觀者在觀看時(shí)保持某種距離——以辨識(shí)她所追尋的圖式、秩序、韻律與能量。”[15]

最后，我們要提一下位于瑞士維倫洛斯的“艾瑪·昆茨中心”——這是一個(gè)專(zhuān)為昆茨設(shè)立的機(jī)構(gòu)，并持續(xù)更新展覽。

以上敘述清楚地表明，艾瑪·昆茨的作品如今廣為人知，然而其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)卻并非如此。令人驚訝的是，我們文中使用的幾幅圖都有一個(gè)中心焦點(diǎn)（central focal point）。這種焦點(diǎn)強(qiáng)化了圖像的冥想性和輻射性。接下來(lái)，我們將從昆茨的通靈藝術(shù)轉(zhuǎn)向其作品背后的數(shù)學(xué)。我們將探討昆茨的三幅作品，均是由直線族的包絡(luò)線構(gòu)成。

尋找包絡(luò)

包絡(luò)在數(shù)學(xué)中頻繁出現(xiàn)。例如，在線性代數(shù)中，包絡(luò)可以被用于求解和分析一個(gè)矩陣的數(shù)值域，即包含該矩陣特征值的集合。（更多的相關(guān)內(nèi)容見(jiàn) [7]。其他相關(guān)的材料亦可見(jiàn)《數(shù)學(xué)通訊》（The Mathematical Intelligencer）期刊最近的一篇文章[5]。）包絡(luò)這一概念也被視為基礎(chǔ)內(nèi)容，出現(xiàn)在柯朗的微積分教材中 [4, p.171]。正如卡爾曼（Dan Kalman）在《用包絡(luò)線方法解梯子問(wèn)題》[8]一文中寫(xiě)道：“這給了我們一個(gè)借口來(lái)重新討論一個(gè)美妙主題：曲線族的包絡(luò)。”卡爾曼這篇文章標(biāo)題中的梯子問(wèn)題，本質(zhì)上是探究如何在轉(zhuǎn)角移動(dòng)一個(gè)梯子（見(jiàn)圖4）。（注6：別把它和“沙發(fā)問(wèn)題”搞混了[12]。）

梯子問(wèn)題的解恰好就是柯朗書(shū)中四個(gè)包絡(luò)線例子之一。如果這個(gè)梯子是單位長(zhǎng)度的，則圖像中這些梯子線族的包絡(luò)（即與圖4中所有梯子直線相切的曲線）可以表達(dá)為

因此這個(gè)包絡(luò)是星形線的一部分。另外最近一篇清晰明了的文獻(xiàn)是格雷戈里·奎內(nèi)爾（Gregory Quenell）的文章[11]，其中包括對(duì)弦線藝術(shù)的探討，以及多個(gè)包絡(luò)線的實(shí)例，包括梯子問(wèn)題——研究等長(zhǎng)直線族的包絡(luò)線。昆茨的畫(huà)作則展現(xiàn)的是另一番藝術(shù)景象。

圖4 梯子問(wèn)題

數(shù)學(xué)上關(guān)于包絡(luò)線的定義有很多種，但我們當(dāng)前語(yǔ)境下，幾何包絡(luò)線的定義或許是最直觀的：

需要指出的是，包絡(luò)線有多種不同的定義方式，其中一些定義所涵蓋的曲線范圍更為寬泛。根據(jù)文獻(xiàn) [2]，我們接下來(lái)將介紹的包絡(luò)線算法，同樣定義了一種意義下的包絡(luò)線[4]。柯朗將其稱(chēng)為“判別曲線”（Discriminant curve），因此我們稱(chēng)之為“判別包絡(luò)線”（Discriminant envelope）。在本文例子中，判別包絡(luò)線與幾何包絡(luò)線是相同的。我們將在后文圖像中直觀呈現(xiàn)這一點(diǎn)。在正式定義包絡(luò)線算法之前，有必要先建立對(duì)其推導(dǎo)過(guò)程的直觀理解。

絡(luò)線與該直線族中的每條線在某一點(diǎn)相切。并且這條包絡(luò)線上每一點(diǎn)都必須和直線族中某一條線相切。一般來(lái)說(shuō)，一條曲線可以在不同的位置上和不止一條直線相切，但幸運(yùn)的是，如果合適地限制定義域，并且利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，我們可以避免這種情況。因此在一個(gè)合適的區(qū)間上，我們可以選擇光滑函數(shù)F,x,y，使得F(x(t),y(t),t)=0。

第二個(gè)有助于構(gòu)建包絡(luò)線算法的性質(zhì)可能不是很明顯。以下是一種理解方式：首先，限制

3. 結(jié)合前兩步得出的方程，消去t得到包絡(luò)線方程。

柯朗在[4, p.173]中寫(xiě)道，“在求得判別曲線之后，仍有必要對(duì)每個(gè)具體情形進(jìn)行深入分析，以判斷該曲線是否真正構(gòu)成包絡(luò)線，或在何種程度上偏離包絡(luò)線的定義。” 在下文中，我們將構(gòu)建自己的圖像，并與昆茨的作品進(jìn)行對(duì)比。畢竟，唯有親見(jiàn)，方能相信。

隨處可見(jiàn)的拋物線

借助包絡(luò)線算法，我們可以十分自然地推導(dǎo)出艾瑪·昆茨靈擺幾何繪畫(huà)中所蘊(yùn)含的包絡(luò)曲線。接下來(lái)，我們將具體探討她的三幅作品。

作品No.13

觀察圖5，畫(huà)面不僅關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，并且關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱(chēng)。作為一幅視覺(jué)作品，色彩為整體構(gòu)圖注入了石墨線條所無(wú)法賦予的生命與活力。然而從數(shù)學(xué)角度，真正令人著迷的，正是那些石墨線條。

圖5 昆茨的013號(hào)作品（圖片由艾瑪·昆茨基金會(huì)提供）

從圖5可以觀察到，石墨線條衍生出四條跨越不同象限、彼此相似的曲線。通過(guò)包絡(luò)線算法，我們可以為每一條邊界曲線推導(dǎo)出閉合表達(dá)式。仔細(xì)觀察便會(huì)發(fā)現(xiàn)，昆茨并沒(méi)有畫(huà)完所有的線條——如果我們想象這幅作品代表一只眼睛，似乎在她勾勒出虹膜完整的周邊區(qū)域時(shí)便戛然而止了（注7：我們將其視為眼睛這一解讀得益于艾瑪·昆茨中心的卡琳·凱吉（Karin K?gi）的提示）。因此，我們得到的曲線是下文所討論曲線的子集。我們將闡述如何推導(dǎo)這些包絡(luò)線的方程，并且概述應(yīng)用包絡(luò)線算法的一般過(guò)程。

首先，我們必須考慮關(guān)于繪畫(huà)的一些假設(shè)。我們使用了博物館提供的一件復(fù)制品，其中每條線均按照方格紙上間隔約兩格（總計(jì)1厘米間距）沿著橫縱軸線繪制而成。繪圖本身被設(shè)定在一個(gè)邊長(zhǎng)為40個(gè)單位的正方形區(qū)域，并以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心。當(dāng)然，昆茨繪制的線條數(shù)量有限，但這些線條卻形成了看似連續(xù)光滑的曲線。為了應(yīng)用包絡(luò)線算法，我們讓t在整個(gè)區(qū)間內(nèi)取值。

在這幅作品中存在多組曲線，還有很多直線從中心向邊界放射延伸，而這些直線僅相交于原點(diǎn)，所以根據(jù)前面包絡(luò)線定義，該直線族不存在包絡(luò)線。此外，在每個(gè)角還有對(duì)角線族，其連線勾勒出跨越圖畫(huà)中不同角落的弧形。這些直線族將成為包絡(luò)線算法的研究對(duì)象，我們希望能夠求出其數(shù)學(xué)表達(dá)式。

先考慮主要位于第一象限的直線族，我們觀察到該族包含40條直線。這些直線的斜率逐漸變化，從水平線y=20到垂直線x=20。（假設(shè)原點(diǎn)位于中心，繪圖的寬度為[-20,20]）該直線族一種可能的參數(shù)化可以定義為以下方程的(x,y)解集，

圖6 線族疊畫(huà)在第一象限

作品NO.009

圖7展示了編號(hào)009的作品，其尺寸為101厘米×101厘米。在這幅作品中，我們采用與之前文類(lèi)似的包絡(luò)線算法，可以得到空白區(qū)域八條邊界曲線的封閉形式解。接下來(lái)，我們將詳細(xì)描述其中一條曲線。

圖7 昆茨的009號(hào)作品（圖片由艾瑪·昆茨基金會(huì)提供）

在No.009號(hào)作品中，我們觀察到存在八個(gè)矩形區(qū)域，其中在頂部和底部的第一個(gè)和最后一個(gè)矩形互為鏡像對(duì)稱(chēng)，而中間的兩個(gè)區(qū)塊則包含著空白區(qū)域，其邊界為簡(jiǎn)單的閉合橢圓形曲線。我們先考慮該橢圓形狀四分之一的部分，其余部分可通過(guò)昆茨反復(fù)運(yùn)用的對(duì)稱(chēng)變換生成。與之前類(lèi)似的是，紅藍(lán)直線與矩形邊界的交點(diǎn)大致是等距分布，但縱軸方向的間距是橫軸間距的三倍。

探究圖7與圖5相似性的關(guān)鍵在于x軸與y軸對(duì)應(yīng)數(shù)值是等距分布這一條件。我們稍后會(huì)解釋這一點(diǎn)，但很明顯的是，包絡(luò)線算法與之前一樣有效：盡管我們當(dāng)前所參考的圖像略顯模糊，但經(jīng)估算，每一半矩形的寬度約為 16 個(gè)單位，長(zhǎng)度約為 48 個(gè)單位。

在算法中，我們放置原點(diǎn)使得矩形區(qū)域邊界點(diǎn)為（-16，0），（16，0），（16，48），（-16，48）。由于我們只是縮放x軸和y軸，所以我們猜測(cè)包絡(luò)線仍是一段拋物線弧，而事實(shí)正是如此！因此，盡管昆茨這兩幅作品視覺(jué)上存在差異，但No.009作品（圖7）其實(shí)包含了我們?cè)谒齆o.013作品中曾看到過(guò)的圓錐曲線的縮放與重復(fù)的版本。

假設(shè)這些垂直線之間的間距均勻，且每次間隔三個(gè)單位，那么其中一族直線（對(duì)應(yīng)于圖形右上角）可以由下列公式給出，

-t(y-48)=(48-3t)(x-16+t)

其中，參數(shù)t∈[0,16]。（譯者注：這里直線族構(gòu)造是類(lèi)似的，考慮直線y=48與直線x=16上，并且在繪圖寬度內(nèi)平均分布的離散點(diǎn)，坐標(biāo)為(16-t,48), (16,3t)，便可求得直線族的參數(shù)化。）

在這種情況下，我們可以得到，

將該曲線與艾瑪·昆茨繪制的直線族對(duì)比，我們可以從圖8中觀察到，紅色拋物線EI在第一象限確實(shí)形成了包絡(luò)線結(jié)構(gòu)。圖中藍(lán)色拋物線EII亦可通過(guò)相同方法推導(dǎo)出，其對(duì)應(yīng)的直線族可以沿用之前的參數(shù)化方法。特別之處在于，這一看似橢圓的形狀實(shí)際上并非真正的橢圓，這些閉合曲線由四條不同的拋物線弧段拼接而成。

作品No.130

分析圖9可以看出，其x軸均勻的間距與直線上y=x上均勻間距不同，但圖中依然包含拋物線弧。我們依據(jù)算法推導(dǎo)出直線方程，

以及第一象限中在x>y條件下拋物線的方程

圖9 昆茨的130號(hào)作品（圖片由艾瑪·昆茨基金會(huì)提供）

對(duì)于本文我們描述的圖像，其中的包絡(luò)線均為拋物線。事實(shí)上，如果我們?cè)谝粭l直線上取等間距的點(diǎn)，并在另一條不平行（也不必垂直）的直線上取另一組等間距的點(diǎn)（兩組點(diǎn)間距可不同），那么連接這些點(diǎn)所形成的直線族，其包絡(luò)線是一條拋物線：

假設(shè)我們從任意兩條不平行的直線出發(fā)，并在兩條線上取若干等間距的點(diǎn)。不失一般性，我們假設(shè)其中一條直線位于x軸上。為了將另一條直線變換為與x軸垂直，同時(shí)保持等距分布，我們可以進(jìn)行一次水平剪切變換，即嚴(yán)格將點(diǎn)沿著水平方向移動(dòng)，并且移動(dòng)量與對(duì)應(yīng)

展開(kāi)后可以驗(yàn)證其判別式仍為零。因此在變換后，拋物線仍為拋物線，所以變換前的包絡(luò)曲線確實(shí)是一條拋物線。這一推導(dǎo)具有普遍性，說(shuō)明按照昆茨在這些作品中所采用的線性構(gòu)造方法生成的包絡(luò)線一定是拋物線弧。

結(jié)語(yǔ)

在許多方面，艾瑪·昆茨無(wú)疑超越了她所處的時(shí)代。她對(duì)于醫(yī)學(xué)療愈的見(jiàn)解，包括使用Aion A（一種礦物制劑）和植物性治療藥物，以及她的繪畫(huà)作品，在如今可以說(shuō)比她創(chuàng)作的時(shí)代更具現(xiàn)實(shí)意義：

盡管昆茨的工作方式可能顯得有些神秘，并且與她所希望的相反，她的方式也未得到廣泛實(shí)踐，但她關(guān)于如何棲居于環(huán)境的建議——包括對(duì)于本土的珍視，對(duì)農(nóng)業(yè)單一種植的質(zhì)疑，以及她整體性的醫(yī)療方法，與當(dāng)今醫(yī)學(xué)、建筑、生態(tài)與氣候科學(xué)的討論不謀而合。[10]

同樣，昆茨許多幾何畫(huà)作直到后來(lái)才被人重視，并最終贏得了廣泛的觀眾。

正如本文展示，艾瑪·昆茨的藝術(shù)作品也自然地引發(fā)了很多數(shù)學(xué)研究。盡管幾乎可以肯定她不了解所謂的包絡(luò)線算法，但她的眾多作品卻可通過(guò)這一算法進(jìn)行分析。當(dāng)我們通過(guò)數(shù)學(xué)視角觀察她的作品時(shí)，我們不僅可以更進(jìn)一步地理解昆茨的具有遠(yuǎn)見(jiàn)的創(chuàng)作，同時(shí)也可以更好理解包絡(luò)線算法。

參考文獻(xiàn)

[1] Karin Althaus and Sebastian Schneider. World receivers. Available at https:// www. lenbachhaus.de/en/program/exhibitions/details/ world-receivers, 2018. Accessed July 26, 2024.

[2] Kelly Bickel, Pamela Gorkin, and Trung Tran. Applications of envelopes. Complex Analysis and Its Synergies 6:1 (January 2020), Paper No. 2, 14.

[3] Casey Cep. Why did so many Victorians try to speak with the dead? New Yorker, May 31, 2021. Available at https://www.newyorker.com/magazine/2021/05/31/why-did-so-many-victorians-try-to-speak-with-the-dead, 2021. Accessed June 16, 2024.

[4] R. Courant. Differential and Integral Calculus, volume 2. Wiley Classics Library, 2011.

[5] Dmitry Fuchs et al. Differential geometry of space curves: forgotten chapters. Math. Intelligencer 46.1 (2024), 9-21.

[6] Natalia Grabowska and Melissa Blanchflower. Emma Kunz. Visionary Drawings. Serpentine Gallery. Available at https://www.serpentinegalleries.org/whats-on/emmak unz-visionary-drawings-exhibition-conceived-christodoulos-panayiotou/, 2019. Accessed November 11, 2024.

[7] Karl E. Gustafson and Duggirala K. M. Rao. Numerical Range, Universitext. Springer, 1997.

[8] Dan Kalman. Solving the ladder problem on the back of an envelope. Math. Mag. 80:3 (2007), 163-182.

[9] Anton C. Meier. Emma Kunz 1892-1963. Emma Kunz Zentrum, 2004.

[10] Hans Ulrich Obrist and Melissa Blanchflower, curators, MuzeumSusch. Emma Kunz, Visionary Drawings. Available at https://www.muzeumsusch.ch/en/1159/Emma-Kunz-Visionare-Zeichnungen, 2021. Accessed June 15, 2024.

[11] Gregory Quenell. Envelopes and string art. Math. Mag. 82:3 (2009), 174-185.

[12] Dan Romik. The moving sofa problem. Numberphile. Available at https://www.youtube.com/watch?v=rXfKWIZQIo4, 2016. Accessed July 4, 2024.

[13] Peter Schjeldahl. Harald Szeemann's revolutionary curating. Available at https://www.newyorker.com/magazine/2019/07/22/harald-szeemanns-revolutionary-curating, 2019. Accessed August 4, 2024.

[14] Zachary Small. After the sudden heralding of Hilma af Klint, questions and court fights. Available at https://www.nytimes.com/2023/08/28/arts/design/hilma-af-klint-legacy.html, 2023. Accessed August 4, 2024.

[15] Victoria Zárate. Emma Kunz: the artist and healer who may have predicted the atomic bomb. El Pais. Available at https://english.elpais.com/culture/2022-03-02/emma-kunz-the-artist-and-healer-who-may-have-predicted-the-atomicbomb.html, 2022. Accessed June 14, 2024.

本文基于知識(shí)共享許可協(xié)議（CC BY-NC）譯自Dhar, S., Gorkin, P. & Jeffrey, S. The Mathematics Behind a Visionary Artist: The Envelopes of Emma Kunz. Math Intelligencer (2025).
https://doi.org/10.1007/s00283-024-10402-w

特 別 提 示

1. 進(jìn)入『返樸』微信公眾號(hào)底部菜單“精品專(zhuān)欄“，可查閱不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)四位數(shù)組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類(lèi)推。

版權(quán)說(shuō)明：歡迎個(gè)人轉(zhuǎn)發(fā)，任何形式的媒體或機(jī)構(gòu)未經(jīng)授權(quán)，不得轉(zhuǎn)載和摘編。轉(zhuǎn)載授權(quán)請(qǐng)?jiān)凇阜禈恪刮⑿殴娞?hào)內(nèi)聯(lián)系后臺(tái)。