結合近年命題規律提煉解題模板，覆蓋所有高頻考點及創新題型，助你高效攻克壓軸題：

一、概率模型識別與應用（占比35%）

1. 古典概型與幾何概型

例（2023全國甲卷）：在區間[0,3]隨機取點x，求x與1的距離小于x與2的距離的概率（答案：5995）。

2. 條件概率與全概率公式

模板：

3. 獨立事件與伯努利試驗

核心：

二、隨機變量與分布列（占比40%）

4. 離散型分布列求解

步驟：

常考分布：

• 二項分布（固定概率重復試驗）
• 超幾何分布（不放回抽樣）

例（2022新高考Ⅰ）：盒子有5紅3白球，隨機取3個，X表示紅球數，求分布列（超幾何分布）。

5. 連續型概率分布

重點：正態分布 X～N(μ,σ2)X～N(μ,σ2)

• 對稱性：P(X≤μ)=0.5PX)=0.5
• 3σ3原則：P(∣X?μ∣<σ)≈68.3%P(∣X∣<)≈68.3%
  ：某校身高 X～N(170,25)XN(170,25)，求 P(165
• P(165<X<180)（答案：Φ(2)?Φ(?1)≈0.8185Φ(2)?Φ(?1)≈0.8185）。

6. 期望與方差計算

公式：

三、統計與數據分析（占比25%）

7. 抽樣方法與數據特征

8. 用樣本估計總體

核心公式：

例：從生產線上抽取10件產品，重量（g）數據：99,101,102,100,98,103,100,99,101,100。求總體方差的估計值（答案：s2≈2.67s2≈2.67）。

9. 線性回歸分析

解題模板：

例（2021全國乙卷）：根據廣告費x（萬元）與銷售額y（萬元）數據求回歸方程，并預測x=10時y值。

10. 獨立性檢驗（χ2χ2）

步驟：

1. 列聯表計算理論頻數 Tij=(行和×列和)總數Tij=總數(行和×列和)
2. 
   
3. 查臨界值表判斷是否獨立
   結論格式

在犯錯概率不超過0.05的前提下，認為XX與XX有關/無關

?四、創新壓軸題型（新高考熱點）

11. 概率與數列綜合

模型：

• 馬爾可夫鏈（第n步狀態由第n-1步決定）
• 建立遞推關系求概率
  ：甲、乙比賽，每局勝者得1分，先得3分贏。甲單局勝率60%，求甲最終獲勝的概率（答案：遞推得 P≈0.821P≈0.821）。

12. 概率與導數結合

題型：求概率最值問題
例：產品合格率p，隨機抽檢n件，合格數X~B(n,p)。若損失函數 L(p)=D(X)+[E(X)?50]2L(p)=D(X)+[E(X)?50]2，求p使L(p)最小（答案：p=50np=n50）。

13. 統計與傳統文化

背景：二十四節氣、九章算術等
例：根據《周髀算經》日影數據，建立回歸模型預測節氣。

?五、易錯點突破表

六、高頻結論速記

1. 方差性質：若X,Y獨立，則 D(X±Y)=D(X)+D(Y)DXYDXDY
2. 二項分布期望方差：E(X)=npEXnp, D(X)=np(1?p)DXnp(1?p
3. 線性回歸性質：樣本點 (xˉ,yˉ)(ˉ,yˉ) 一定在回歸直線上

經典例題實戰（新高考真題變式）：
某芯片生產有A、B兩道工序，A次品率1%，B次品率2%。芯片需通過兩道工序，各工序獨立：(1) 求芯片合格的概率；(2) 若抽檢10片，用Y表示合格數，求Y的分布列及E(Y)；(3) 發現一個次品，求它來自A工序的概率。解析：(1) P(合格)=(1?0.01)(1?0.02)=0.9702P(合格)=(1?0.01)(1?0.02)=0.9702(2) Y～B(10,0.9702)Y～B(10,0.9702)，E(Y)=9.702E(Y)=9.702(3) 全概率公式 + 貝葉斯：P(A∣次品)=0.01×0.980.01×0.98+0.99×0.02≈0.331P(A∣次品)=0.01×0.98+0.99×0.020.01×0.98≈0.331

命題趨勢與沖刺建議

1. 熱點方向
2. 概率與生活情境結合（疫情防控、垃圾分類）
3. 統計與大數據分析（方差分析、誤差評估）
4. 跨模塊融合（概率+導數/數列/向量）
5. 搶分策略
6. 嚴格區分二項分布（有放回）和超幾何分布（不放回）
7. 概率大題必寫文字說明（如“設事件A為...”，“由獨立性得...” ）
8. 回歸分析保留小數點后3位，結論用專業術語（“線性相關顯著”）

最后叮囑：重點突破分布列求解、全概率公式、線性回歸三類高頻題型，強化實際應用題審題訓練，確保大題滿分！