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模型研究與計算

2025-02-26 15:00:59　來源: 中國物理學會期刊網

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|作者：牛謙1,? 喬振華1,?? 任亞飛2,???

(1 中國科學技術大學物理學院)

(2 美國特拉華大學物理與天文系)

本文選自《物理》2025年第2期

摘要文章系統綜述拓撲物態及量子幾何效應研究中的關鍵理論模型與計算方法。Hofstadter蝴蝶模型揭示了強磁場下電子能譜的分形結構及其與貝里曲率的聯系；基于六角晶格的系列理論(石墨烯、Haldane與Kane-Mele模型)預言了量子反?；魻栃笆茇S富的對稱性保護的拓撲絕緣態；低能連續模型幫助人們解析地理解拓撲相變與邊界態；第一性原理計算結合瓦尼爾插值實現了材料中貝里曲率的定量計算與反常輸運性質預測；無序系統模型研究則闡明了拓撲態的魯棒性、無序誘導的拓撲相變規律及陳數湮滅機制。文章強調模型與計算方法在量子幾何理論、拓撲材料設計中的基礎地位。

關鍵詞六角晶格，連續模型，第一原理計算，量子幾何，貝里曲率，拓撲態，無序，局域化

引言

本專欄前文(詳見《物理》2024年第，，，期)介紹了凝聚態物理中量子幾何概念及其在研究實踐中的各種應用。這個概念誕生于電子拓撲性質的發現，極大地推動了后續四十多年來凝聚態物理的發展。今天，量子幾何已經成為貫穿凝聚態理論體系的一個不可或缺的組成部分，開始進入人們日?？茖W交流的語言當中。為了保持與傳統理論銜接和對新發展敘述的連貫性，前文偏重于一般框架性描繪。

本文著重介紹人們在研究過程中主要運用的幾類理論模型和更加切合實際的計算方法，以期為讀者營造一個更具體的氛圍。文章圍繞五個小節展開討論，即：蝴蝶能譜、六角晶格、連續模型、第一性原理計算和無序效應。前兩節介紹人們最早用到的兩種模型，它們孕育了關于布洛赫電子拓撲幾何最初的認識。接著介紹幾種連續模型，它們被廣泛用來描繪拓撲相變和拓撲邊界態的行為。最后兩節介紹第一性原理計算方法在實際材料拓撲幾何性質中的應用，以及無序散射效應對拓撲態的影響。

按照歷史脈絡，我們首先介紹Hofstadter蝴蝶能譜模型。早期，人們通過它了解了強磁場下能帶中布洛赫電子的量子行為，其能譜復雜性撲朔迷離而又充滿誘惑。1982年，在對這個模型中量子霍爾效應的研究過程中，索利斯(David J. Thouless)等人發現電子體系的狀態具有拓撲性質。后來，在探討此能譜分裂規律過程中，我們發現支撐這種拓撲的貝里曲率也深刻地影響著布洛赫電子的運動。

蝴蝶能譜的能帶中已不是通常意義下的布洛赫態，因為它們的定義用到了磁平移群的概念。為了避開這種復雜性，Haldane于1988年考慮了六角晶格上凈磁通為零的非均勻磁場，并在一定參數范圍內獲得陳數非零的能帶。十多年后，Kane—Mele發現具有次近鄰躍遷的石墨烯緊束縛模型恰好代表了Haldane模型的兩個版本，各自對應一個守恒的自旋狀態，并且彼此在時間反演下對偶。受這些劃時代理論工作的啟發，也由于石墨烯等二維材料的不斷涌現，六角晶格模型成為研究量子幾何與拓撲的一個重要理想平臺。

除緊束縛模型外，人們在研究中也用到了各種低能連續模型。連續模型源于半導體物理中的有效質量近似，可以在能帶某動量點附近用微擾方法得到。這包括拉廷格關于空穴態的四帶有效模型，它曾在早期反?；魻栃妥孕魻栃难芯恐邪缪萘酥匾巧?。這也適用于反帶情形，在人們尋找和設計拓撲絕緣體的研究中也有用到。另外，各種維度上的狄拉克模型也被廣泛應用，通過不同方式的變形獲得拓撲相，以及用于描述邊界或者反相疇壁上的低能模式。

為了精確獲取實際材料的幾何拓撲性質，人們還得依賴于第一性原理計算方法。這包括計算Zak相位來研究絕緣體的電極化，計算填充狀態的貝里曲率來獲得金屬磁體的反?；魻栯妼?。類似的還有軌道磁化、反常能斯特效應、自旋霍爾效應、磁電耦合以及高階響應等方面的計算。在尋找和設計拓撲絕緣體和金屬的過程中，第一性原理計算方法也發揮了積極作用。傳統的材料計算主要涉及本征態的能級，而這類計算都需要用到本征波函數，因此曾經是一個大難題。有了瓦尼爾(Wannier)插值法后，情況大為改觀。許多類似計算變得非常便捷并被寫成了標準化程序包。

關于拓撲狀態的描述大都基于晶體假設，而實際材料總是存在雜質和缺陷。此時，人們往往把目光轉向體能隙中的邊界態，看它們在無序散射下的電子輸運行為。在弱無序情況下，邊界態具有相當強的韌性，為“拓撲”這個概念賦予了具體的物理內涵。在強無序作用下這種韌性會消失，其根本原因是體能態的拓撲相變。盡管拓撲不變量不能再用布洛赫態定義，仍可通過體態對邊界條件的反應來定義貝里曲率在能量軸上的密度。據此，人們可以理解陳絕緣體在轉變為安德森絕緣體前，它的陳數到底是如何消失的。

蝴蝶能譜

在均勻磁場下，薛定諤方程的矢量勢必然是非均勻的，因此晶格平移不再與電子哈密頓量對易。對平移后的波函數做規范變換，則可使得薛定諤方程恢復原貌，這就是所謂的磁平移操作。Thouless等人當初研究的磁布洛赫態就是由它們定義的[1]。不同方向的兩個磁平移一般彼此并不對易，除非平移矢量張出的面積正好包含整數個磁通量子h/e。Thouless等人考慮的是“有理磁場”的情形，即，穿過原胞的磁通是分數個量子(其中q是分數的分母)。因此，只要把磁平移局限在q倍大的超晶格上，它們就彼此對易，從而可以擁有共同本征態。

師從Wannier的Hofstadter利用數值計算，首次揭示了二維電子的磁布洛赫能帶，也就是令人著迷的分形蝴蝶能譜[2]。隨著磁通變大，原來的能帶發生劇烈的分裂與聚集；空隙處看上去是大大小小的蝴蝶，呈現出自相似的分形結構。在有理磁通情況下，子能帶的個數等于分母。這對于磁通來說是一個極不連續的行為。整體上能譜長什么樣子呢？若把磁通按分數展開，那些整數系數會告訴你能譜大致分成相對集中的幾段，每一段大致分成幾小段，而每一小段又分成多少小小段，等等。在無理磁通情況下，這個過程會一直持續下去。能譜如同實數分析中提到的康托集那樣，形成一個測度為零但仍不可數的分形集合。

如果對矢量勢取朗道規范，使其一個分量為零、另一個分量沿某個晶軸方向線性增長，原來的二維薛定諤方程可以簡化為一個緊束縛原子鏈模型，其中的勢能隨位置做周期(有理磁通)或準周期(無理磁通)變化。Thouless接納本文第一作者讀博的時候，他對這種介于雜亂和有序的準周期系統頗感興趣，想知道電子的波函數到底怎樣在局域和擴展間做出選擇。結果表明，本征波函數采取了一種自相似的變化，而整體上以某種冪次的方式隨距離衰減[3]。

真正有價值的科學寶藏還是隱藏在看似相對簡單的有理情形里。Thouless等人在計算滿能帶的霍爾電導時發現：傳統的久保公式可表示為磁布洛赫態的一個微分形式在布里淵區的積分。這個微分形式就是后來人們熟知的貝里曲率[4]，而那個積分所表達的就是叫做“陳數”的拓撲不變量。他們還推導出一個以有理磁通的分子和分母為系數的整變量丟番圖方程，來確定總的陳數如何依賴填充能帶的個數。Box 1里蝴蝶能譜中的各種顏色表示費米能落在不同能隙時的陳數分布[5]，展現出一個極其豐富的拓撲相圖。

BOX 1

Hofstadter蝴蝶

1976年，Hofstadter研究電子在二維周期晶格中運動并受到垂直磁場影響時，發現了這個復雜但自相似的、漂亮的能譜結構。緊束縛模型的哈密頓量包含相鄰格點間的躍遷，磁場會讓躍遷矩陣元獲得一個與磁矢勢A有關的相位，，其中Φ0=為磁通量子，h為普朗克常數，e為電子電荷，ri,j為格點的位置。為了分析系統的能譜，需要考慮一個晶格原胞中的磁通Φ與磁通量子Φ0的比值(約化磁通)α。當它為分數時，緊束縛模型的能帶會分裂成q個子帶，其中q為分數的分母。將所有的本征能量E 對α繪圖，就得到了Hofstadter蝴蝶圖案[5]。如圖1所示，可以觀察到一系列能隙，呈一種自相似分形結構。這些能隙不僅是能譜上的間隔，更具有拓撲上的意義。

圖1 Hofstadter蝴蝶能譜和拓撲相圖。橫坐標代表費米能，縱坐標代表約化磁通α=Φ/Φ0。每個色塊代表一個能隙，不同色塊的交界代表能譜。色塊顏色對應費米面在此能隙時，其左邊所有填充的子能帶的總陳數。其中，面積最大的紅色和藍色區域的陳數為±1。在小磁場極限下，相鄰顏色陳數差為1

在小磁通的母能帶邊緣附近，人們還是可以看到一些熟悉的景象。一條條呈輻射狀的能譜如同二維自由電子在磁場中的朗道能級，只是電子的質量被晶格重新定義了，而且在能帶的頂部取了負值。從能帶邊緣往里看，朗道能級的間距逐漸變小，這是源于能帶里面有效質量變大的緣故。早年，昂薩格認為這種朗道能級就是布洛赫電子在磁場中回旋運動的量子表現，并指出相應等能線在布里淵區圍出的面積該怎樣量子化[6]。他的發現在這里得到了良好的印證。至于這些朗道能級輻射線有彎曲和展寬現象，那是由于磁場的非線性效應。這里就不贅述了[7]。

在非零的有理磁通附近，比如1/3磁通的磁能帶邊緣也有輻射狀的系列朗道能級出現。這似乎表明電子在額外小磁場作用下也在做回旋運動，但是昂薩格的量子化公式并不能正確給出這些能級的位置。波包分析表明，半經典運動方程需要在兩個方面作出修正[8]：一是電子的群速度要加上一個正比于動量變化率的項，其比例系數就是貝里曲率；二是波包會自轉，貢獻一個磁矩并引起電子能量的塞曼移動。另外，量子化條件里還得加上一個貝里相位。這樣處理后，就可以精確算出蝴蝶能譜里的朗道能級了。

蝴蝶能譜的分裂規律大致按照磁通連分數的展開系數進行。比如磁通為22/67時，它可以展成1/(3+1/22)的樣子。此處的能譜聚集為3段(接近1/3磁通處的那三個能帶)，每段又分為22小段。實際上，中間的那段分裂成為23小段，與兩邊的合起來總共67小段。結論是：三段能帶中的陳數起了重要作用[9]。按照半經典圖像，那些小段對應朗道能級；布里淵區容得下多少個量子化的回旋軌道，就會有多少個朗道能級。計入貝里相位的貢獻，就可以推出一個能帶的陳數究竟如何影響它分裂的規律。

六角晶格

說起六角晶格，大家最熟悉的材料莫過于石墨烯，其中碳原子排列為一層六角蜂窩狀結構。最簡單的緊束縛模型只考慮一個pz軌道和最近鄰躍遷[10]，其布洛赫能帶有上下對稱的兩支，在布里淵區的角處線性連接。電中性時，下能帶填滿、上能帶空著，費米能級附近的能帶呈二維線性狄拉克錐型，并有自旋和能谷兩種簡并度。在外磁場下，無質量電子表現出極寬的量子霍爾平臺以及自旋和谷鐵磁對稱破缺等等[11]。

早在發現石墨烯之前，Semenoff曾考慮過給這種二維石墨的兩個子晶格施加位能差來打開能隙，探討宇稱量子反常[12]。著名的Haldane模型也是基于這種六角晶格，只是添加了次近鄰耦合作用，并給晶格外加一個非均勻磁場，但保持原胞內凈磁通為零[13](詳情見Box 2)。這樣就沒有引入磁平移概念的必要，從而避開Hofstadter問題的復雜性。他證明，通常意義下的布洛赫能帶也可有非零陳數，從而預言了無需外磁場的量子霍爾效應，即量子反常霍爾效應(陳絕緣體)。

BOX 2

六角晶格模型中的拓撲相

基于六角晶格的Haldane模型，如圖2(a)所示，哈密頓量包含近鄰和次近鄰躍遷項[13]。為破壞時間反演對稱性，在a、b相鄰區域加上相反的磁通。由于Peierls替換，近鄰躍遷項具有實數振幅t，而A子晶格間的次近鄰躍遷項則攜帶一個復數相位ei?(?對應于a區域內的磁通)；B子晶格間的躍遷則對應相反的磁通和相位。由于晶格總磁通為零，不會產生宏觀的磁場，可保證晶格的平移對稱性。這種磁通的引入使得系統的能帶結構具有拓撲非平庸性，如圖2(b)所示[91]。能帶在布里淵區的角上，即K和K′，打開一個能隙，攜帶非零的貝里曲率，對應的陳數非零。從而實現了零磁場下的量子霍爾效應，即量子反常霍爾效應。

在原胞內實現交錯磁通是極其困難的。然而，躍遷項復數相位可通過自旋—軌道耦合作用引入。Kane和Mele于2005年發現，石墨烯的內稟自旋—軌道耦合作用可在次近鄰躍遷項上實現類似于Haldane模型的復數相位[14]。石墨烯具有鏡面對稱性，使得自旋的面外分量是一個好量子數：自旋向上的電子，在自旋—軌道耦合作用下，次近鄰躍遷攜帶一個非零的相位，能帶在布里淵區角上同樣具有能隙、攜帶非零的陳數，有手性邊界態；由于時間反演對稱性，自旋向下的電子是自旋向上電子的時間反演，具有相反的磁通、相反的陳數和反向運動的邊界態。雖然體系總陳數為零，但自旋陳數為整數，且邊界態在非磁雜質下不會被散射，顯示出拓撲穩定性。此系統被稱為量子自旋霍爾效應。當進一步引入外稟Rashba自旋—軌道耦合作用，自旋不再是好量子數。但是，Kane—Mele指出，只要時間反演對稱性不被破壞，邊界態依然受到拓撲保護，并提出Z2拓撲不變量[15]，開啟了受對稱性保護的拓撲態的研究。

當時間反演對稱性被破壞，2010年的一項研究表明，具有外稟Rashba自旋—軌道耦合作用的石墨烯可以實現量子反?；魻栃猍20]，其能帶如圖2(d)所示。時間反演對稱性被鐵磁交換場破壞，因此能帶不再雙重簡并，在自旋上、下能帶相交的地方打開了一個體能隙。該能隙下的價帶攜帶一個整數陳數，且K和K′能谷攜帶相同陳數，因此總陳數為±2，這是不同于Haldane模型的地方。

圖2 六角晶格中的拓撲相 (a)六角晶格及交錯磁通[13]，圖中實心圓圈和空心圓圈代表AB兩種子晶格，a、b區域具有相反的磁通；(b)黑色虛線：Haldane模型的能帶，每條能帶均非簡并；紅色實線：價帶攜帶的貝里曲率，對其積分得到非零的陳數，對應于邊界態的數目，如紅色箭頭所示[91]；(c)黑色虛線：Kane—Mele模型的能帶，每條能帶有自旋的雙重簡并；紅(藍)色實線：自旋向上(下)價帶攜帶的貝里曲率；(d)引入外稟Rashba自旋—軌道耦合作用和鐵磁交換場的石墨烯體能帶[20]

Kane和Mele考慮了次近鄰躍遷中的內稟自旋—軌道耦合作用，發現石墨烯可以自然地實現兩個版本的Haldane模型：描述軌道運動的哈密頓量與Haldane模型一模一樣，只是時間反演破缺的方式取決于自旋的符號。因此，他們得到了量子自旋霍爾效應——兩種自旋的電子體系具有大小相同、符號相反的量子霍爾電導[14]。當存在襯底時，外稟Rashba自旋—軌道耦合作用導致自旋不再守恒，自旋霍爾電導也不再量子化。但是，電子體系仍然可以保持一種奇偶型的Z2拓撲狀態——保持自旋相反相向運動的邊界態的存在，從而拉開了探索拓撲絕緣體的帷幕[15]。

在時間反演對稱的情況下，Semenoff那種空間反演破缺也可以產生貝里曲率和軌道磁化[16]。它們在兩個能谷處具有相反的符號，表現出谷霍爾和磁化效應。這種現象也發生在過渡金屬硫化物等二維半導體中，帶間光躍遷還具有依賴于能谷的圓偏振選擇性[17，18]，而自旋—軌道耦合作用又綁定了能谷和自旋[19]。因此，這類材料為光電磁的轉換提供了一種理想的研究平臺。

如果完全不加磁場(包括Haldane那種非均勻方式)，是否還能在石墨烯中打破時間反演對稱性來實現量子反?；魻栃兀恳粋€理論方案是，把石墨烯貼在鐵磁體或反鐵磁體上，讓電子獲得一個交換塞曼能和一個Rashba自旋—軌道耦合作用[20]。石墨烯在這兩種效應的聯合作用下打開體能隙實現非零的陳數(詳情見Box 2)。實驗表明，這個方案確實可以導致較大的反常霍爾效應，雖然離嚴格量子化還有些距離[21]。后來，本征的二維反鐵磁材料MnBi2Te4被制備出來，實現了溫度較高的量子反?；魻栃猍22]。

石墨烯堆疊起來也很有意思。層間耦合會讓狄拉克錐劈裂重組，在零能處留下緊貼著的一對二次型甚至更高階能譜。在垂直方向施加電場會打開體能隙[23]，而在較強的Rashba自旋—軌道耦合作用下，還可以轉變為Z2拓撲絕緣態[24]。增大的態密度會在低溫下引發自旋或能谷鐵磁轉變[25]。最近，人們結合這兩種機制，在WSe2襯底上的多層石墨烯中觀測到了陳數為4和5的量子反?；魻柶脚_[26]。

讓兩層石墨烯之間有個扭轉，還可以實現高質量的二維莫爾超晶格。Bistritzer和MacDonald預言，在特定轉角下零能處的能帶會變得相當平坦[27]。此時，電子間相互作用就變得非常重要。在實驗中的確看到一系列強關聯現象，包括超導[28]、谷極化軌道鐵磁[29]以及量子反?；魻栃猍30]。

連續模型

二能帶模型可嚴格求解，常用來解析計算貝里曲率和陳數。在拓撲相變發生的動量點附近，往往還可以進一步用狄拉克模型描述。Volovik研究3He超流拓撲性質的時候，考慮過一種動量空間的斯格明子結構，相當于在狄拉克質量上增加一個二階動量修正。這個修正使得狄拉克模型緊致化，讓單個斯格明子能帶攜帶一個+1或-1的陳數[31]。

三維情形有傳統的基于s-p原子軌道和電子自旋的八帶Kane模型[32]，用來描述一大類半導體的電磁和光學性質。如果只關心導帶的低能電磁性質，還可以進一步約化到一個二帶模型，類似于真空中帶自旋的非相對論自由電子。價帶的兩支被自旋—軌道耦合作用推到更深的地方，剩下的四支描述輕重空穴；后者具有不同的有效質量，但在零動量點仍然貼在一起。描述輕重空穴的四帶拉廷格模型在研究反常霍爾效應和自旋霍爾效應時曾扮演過非常重要的角色[33，34]。

四帶拉廷格模型也可用來描述HgTe等材料在零動量點附近的反帶現象。自旋—軌道耦合作用超過了s-p軌道能差，把四重能帶推到原來的導帶之上。同時，輕空穴質量反號，成為新導帶；但它仍與重空穴帶粘連，讓這類材料成為所謂的零能隙半導體。量子阱中的受限和應變作用可以打開體能隙，使得HgTe成為準二維拓撲絕緣體[35]。

真空中電子的狄拉克模型也有廣泛應用。經過其質量項的二階動量修正，成為模擬各種維度拓撲絕緣體的標準連續模型[36](詳情見Box 3)。其二維形式可看作兩套Volovik斯格明子能帶，彼此在時間反演下對偶。該模型可周期拓展到晶格上[37]，定性地描述準二維HgTe[35]和三維Bi2Se3等拓撲絕緣態[38]。利用本連續模型，還能方便處理邊界問題，解析表達無能隙邊界態模式[39，40]。

BOX 3

修正的狄拉克模型

狄拉克于1928年提出狄拉克模型，將量子力學與狹義相對論結合來描述自旋1/2的費米子(如電子)的相對論性運動，對物理學的發展影響深遠。模型哈密頓量寫為：。其中，Γi 是4×4的矩陣，滿足反對易關系：{Γi, Γj}=2δijI。H(k)2=d2I，其中d2是di的平方和。相應地，H(k)的本征值是±d。對真空中的電子，d=(cpx, cpy, cpz, mc2, 0)，其中c為光速，m是電子靜態質量，p=(px, py, pz)是電子動量，對應的色散關系為E2=c2p2+m2c4，與相對論性電子色散關系相同。Γ 矩陣的形式并不唯一，只要滿足上述反對易關系即可。

狄拉克模型可用來描述固體中的低能準粒子(比如準電子)，并呈現豐富的拓撲性質。當質量項m=0，狄拉克模型可以描述二維或三維體系中具有雙重簡并的線性色散關系，比如忽略自旋—軌道耦合作用的石墨烯或者三維狄拉克半金屬。當質量項m≠0，線性色散關系打開了能隙，而且該能隙一般具有非平庸的拓撲特性。比如，Kane—Mele模型中，電子在K或K'能谷的有效模型可以用狄拉克模型描述，H(k)=vkxΓ0+vkyΓ4+mΓ3。在動量空間中，自旋向上或向下的能帶攜帶的贗自旋織構組成半斯格明子，對應±1/2的陳數。在真實體系中，一條能帶攜帶的陳數必為整數。為了得到整的陳數，一個方法是在另一個能谷中還有一個狄拉克模型描述的低能激發，比如Kane—Mele模型；而另外一個方法則是修正質量項，將m變為m+Bk2，其中B為常數，k2=kx2+ky2。此時，如果m和B具有相同的符號，形成的贗自旋織構具有平庸的拓撲特性[36]；若二者符號相反，則形成一個斯格明子，對應的陳數為±1。修正的狄拉克模型可以描述另一類二維拓撲絕緣體，比如HgTe異質結。不同于Kane—Mele模型，這類拓撲絕緣體的低能模型部分只有一個能谷。通過增加一個Γ 矩陣引入維度kz后，這個模型可以進一步拓展到描述三維拓撲絕緣體，比如Bi2Se3等。

修正的狄拉克模型還蘊含著新的幾何或拓撲特性，與第二陳形式、第二陳數、或陳—西蒙斯形式相關。第二陳形式是貝里曲率(又稱第一陳形式)在高維參數空間的推廣；其在封閉參數空間的積分為第二陳數，是陳數在高維空間中的推廣。比如，外爾點附近的哈密頓量可以寫為H(k)=kxs1+kys2+kzs3，包圍著k=0的、三維參數空間曲面上的貝里曲率的積分為整數，即陳數；對于修正的狄拉克模型，H(q)=q0Γ0+q1Γ1+q2Γ2+q3Γ3+q4Γ4，包圍著q=0的、五維參數空間曲面上的第二類陳形式的積分也為整數，即第二陳數。這種陳數在高維拓撲泵浦體系中有重要體現，比如拓撲絕緣體中的磁電耦合[74]、K能谷手性聲子在石墨烯中泵浦的軌道磁化[100]以及泵浦磁化的量子不確定性[101]等等。

狄拉克模型中，如質量隨位置改變符號，形成所謂反相疇壁，也會有低維零能隙模式局域其上[12，41]。在單層和雙層石墨烯體系，這種反相疇壁確實會有一維狄拉克通道出現[42，43]。數值模擬顯示，只要避開谷間耦合作用，即使在原子級別的轉折點處，該通道的電子輸運依然暢通無阻[44]。在通道分叉的地方，還會遵循一種奇妙的電流分配規律[45]。

有一類所謂弱拓撲絕緣體，除了時間反演對稱，還需要一些晶格對稱來保護其邊界態的存在[46]。這種對稱性在某些晶面被打破，其表面態就會打開能隙。如果相鄰晶面上對稱性打破方式不同，在它們相交的棱上就會出現一維無能隙模式[47]。這種高階拓撲棱態在光電測量中也具有拓撲特征[48]。類似地，二維拓撲絕緣體的某些邊界上也可以打開能隙，形成高階拓撲角態[49]。

體內能帶接觸的地方，往往出現無質量外爾—狄拉克型的能譜。這種接觸點也是一種磁單極，輻射或吸收一個陳數的貝里曲率通量，因而在一個能帶里的數目必須為偶數[50，51]。二維情況沒有這種約束，一個能帶可以有奇數個外爾—狄拉克型接觸點，貢獻半整數量子化的霍爾電導[52]。

第一性原理計算

Vanderbilt等人發現，絕緣材料的電極化可表達成布里淵區的Zak相位。這也開創了用第一性原理計算研究電子幾何性質的先河[53]。這些工作也導致了對Wannier函數的重新認識：其中心位置由Zak相位決定，而最小寬度受能帶量子度規和貝里曲率約束。通過對多能帶系統的Wannier函數做最大局域化求解，發展出一套高效處理波函數問題的插值方法[54]。Box 4介紹了計算Zak相位和貝里曲率的方法。

BOX 4

第一性原理計算與電子幾何相位

電子波函數在動量空間的幾何相位與固體的電極化和反常霍爾效應等現象緊密相關。第一性原理計算方法能夠計算波函數和這些物理量，對理解材料性質、預測和優化材料設計十分重要。

比如，電極化跟Zak相位相關，正比于貝里聯絡在動量空間中的積分，其中uk是布洛赫波函數的周期部分，k是電子準動量。由于波函數有規范自由度，數值方法獲得的波函數通常不是k的連續函數，無法對準動量求導。為了解決這個困難，可以將積分轉化為離散波函數的內積[53]：首先將布里淵區劃分為離散的N點，標記為ki，其中i從0變化到N-1，然后計算，要求布里淵區首尾波函數相同，即ukN=uk0。

貝里曲率是另一個重要的物理量，，Im表示取虛部，n是能帶指標，二維情況下，?k=(?kx, ?ky)。類似于電極化的計算，貝里曲率也可以通過波函數的內積來計算，避免了直接對波函數求導。這需要用Stokes定理將面積分轉換為線積分，，其中C是面S的邊界，在閉合參數空間C上的線積分可以用計算Zak相位的方法得到。具體的計算需要將動量空間劃分為足夠密集的k點網格：當網格足夠密集，取三個或四個點構成的閉合曲線C即可用來計算貝里曲率。另外一種避免對波函數求導的方法是將Ωn轉換為速度算符矩陣元的代數運算[56]：

其中，vx,y為速度算符，ωn為本征能量。通過構造最局域的瓦尼爾函數作為基底，采用瓦尼爾插值的方法可以有效地構造瓦尼爾函數的躍遷矩陣元、速度算符、波函數以及貝里曲率[57]。

貝里曲率的第一性原理計算也極大推動了實際材料中反?；魻栃亩垦芯縖55，56]。由于自旋—軌道耦合作用相對較弱，其引起的能帶免交叉點往往又是貝里曲率極大的地方，達到計算所需精度曾是個頗費周折的事情。后來，Wannier插值方法使這種情況大為改善[57]。受益于貝里曲率的模型研究和第一性原理計算，人們發現許多關于反?；魻栃膫鹘y規律不再被遵循，比如，反鐵磁材料也有很大的反?；魻栯妼58]，而鐵磁材料的自旋磁化也完全可以躺在霍爾電測量面內[59]。

本專欄第三篇《》(詳見《物理》2024年第7期)一文曾介紹，無序散射可以產生反?；魻栃耐夥A貢獻，包括橫移和偏斜散射。針對具體材料也開展過這方面的第一性原理計算，比如，通過假設替代性雜質合金或者高斯型短程無序，與實驗結果作對比[60，61]。這種高斯型短程無序似乎可以較好地模擬聲子作用，也不產生偏斜散射，而其橫移和其他外稟貢獻可以基本補齊實驗結果與內稟貢獻的差異。

過去，人們對磁性材料的關注點主要集中在電子自旋，后來發現電子軌道磁化現象也蘊含著豐富的物理。軌道磁化除了單態軌道磁矩的來源，還有貝里曲率對態密度修正而貢獻的反常部分[62—64]。計算表明，不能像傳統方法只計及原子內部的軌道運動，還應包括原子間電子的運動。在一類非共線但接近共面的反鐵磁材料中，自旋磁矩幾乎抵消干凈，但軌道磁化貢獻了總磁化的主要部分。其中，貝里曲率貢獻的反常部分又占了很大份額[65]。

第一性原理計算也參與到了自旋霍爾效應的研究。在半導體中，低空穴密度下的結果很好地佐證了基于拉廷格模型的計算[66]，但高密度下的行為超出了模型所能預言的范圍[67]。這類計算也延伸到了重金屬，強自旋—軌道耦合作用會產生很大的自旋霍爾電導[68]。在近鄰磁化作用下，鉑、鈀等金屬表現出較強的反?；魻栯妼?，定量上可表達為交換能與自旋霍爾電導在費米能處斜率的乘積[69]。

在尋找拓撲絕緣體材料過程中，第一性原理計算也發揮了巨大作用。如果晶體具有空間反演對稱性，非磁絕緣體的拓撲性質可由布里淵區高對稱點處波函數的宇稱來確定[46]；否則，還需加和半布里淵區上的貝里曲率及其邊界上的貝里相位來得到Z2拓撲數[70，71]。后來發明的混合Wannier函數方法讓這類計算變得更加直接[72]。三維情況下，Z2拓撲數還可表示為陳—西蒙斯形式在布里淵區的積分，代表一種特殊磁電耦合[73]。

空間反演對稱情況下，在Z2拓撲絕緣體與普通絕緣體或弱拓撲絕緣體的相變臨界點，體能隙關閉，這便實現了所謂的狄拉克半金屬。這種狀態在旋轉等晶體對稱操作下保持穩定，正如對Na3Bi等預言的那樣[74]。如果時間或者空間反演對稱性破缺，一個狄拉克點會被分裂成兩個外爾點[50]。

無序效應

真實材料中總有雜質或缺陷，而有限溫度下還會有聲子等激發。這些都會引起電子散射。我們曾詳細討論過散射對于反?；魻栃母鞣N外稟貢獻。下面我們將著重考慮無序效應對拓撲絕緣體的影響。由于體態有能隙，弱無序只能影響到無能隙邊界態。在強無序作用下，體態也可以發生根本性變化。

在弱無序下，陳數非零的絕緣體邊界態保持宏觀尺度的完全導通，反映出為何量子(反常)霍爾效應有如此驚人的精確度。二維拓撲絕緣體的邊界態或反相疇壁上的狄拉克模式，由于受Kramers定理的約束，也不會受到非磁彈性散射的影響。但是，實驗中總有破壞時間反演對稱的各種因素(包括磁性非彈性以及多體散射過程)，讓一維電子輸運通道的平均自由程只能維持在介觀尺度[75]。三維拓撲絕緣體的表面態由于自旋和動量的綁定，非磁性雜質造成的背散射為零，導致了所謂的弱反局域化現象[76]。

在強無序下，拓撲絕緣態會如何表現呢？人們曾好奇朗道能級所攜帶的陳數如何隨無序增強而最終消失。首先，弱無序會把原來高度簡并的朗道能級展寬，其中大部分本征態局域化，而能量中心處態卻保持擴展，仍然攜帶一個陳數。然后，隨著無序增強，人們猜測這些擴展態的能量會上浮[77，78]。當最低朗道擴展態上浮到費米能以上時，電子體系就轉變為安德森絕緣體了。

實際情況并沒有這么簡單。晶格模型的數值模擬顯示，這些朗道擴展態在能量上并沒有上浮的趨勢，而是高能處有攜帶相反陳數的擴展態下來與其相遇而湮滅[79，80]。這些“反態”最初來源于Hofstadter能譜的中心，對應于零磁場時母能帶的鞍點。無散射的時候，那里的子能帶攜帶了許多相反的陳數。在無序情況下，通過引入周期邊條件的兩個相位，仍可定義各本征態的陳數。它們的分布隨無序強度的變化即描繪出上述朗道擴展態消失的過程。

類似地，本征態對霍爾電導的貢獻也可以定義貝里曲率在能量軸上的密度，密度對占據態的積分就是總的反常霍爾電導。通過觀察貝里曲率分布的演化，可以研究陳絕緣體的局域化過程[81]。在一般無序作用下，擴展態的消失遵循相反陳數湮滅的普通路徑。但如果散射允許自旋翻轉，各能帶貝里曲率的分布首先劈為兩半，然后其中的一半與另一能帶的一半發生交換，最后貝里曲率抵消干凈之后才進入安德森絕緣態，詳情見Box 5。

BOX 5

陳絕緣體到安德森絕緣體的拓撲相變

拓撲絕緣體轉變到平庸絕緣體的過程中，體能隙會關閉，對應于金屬態。根據安德森局域化理論，無序會抑制波的傳播；局域化標度理論指出，二維電子氣在極弱的無序下就會進入安德森絕緣體相。因此，一個自然且基本的問題是：強無序將如何影響陳絕緣體及其拓撲相變？

研究發現，當費米能級位于帶隙時，電導在弱無序下保持量子化，隨著無序增強電導逐漸變小進入金屬態，在更強的無序下最終消失，成為拓撲平庸的安德森絕緣體[81]。對于可翻轉自旋的無序，隨著無序強度增加，電導的變化趨勢依賴于費米能的位置。具體來說，當費米能處于電中性點時，無序強度超過某個臨界值，量子化電導會突然消失；而費米能在其他能量時，電導在更大無序下仍可保持有限大小，且在相變點前后可以保持接近半整數化的電導。這種反常的電子輸運現象可歸因于價帶和導帶所攜帶的貝里曲率的交換。

從拓撲學角度看，量子化的霍爾電導可用拓撲電荷的概念來描述，與自旋織構有關。對于陳數為-1的陳絕緣體，價帶和導帶攜帶的拓撲電荷分別為Qv=-1和Qc=1。其拓撲性質類似于一個斯格明子，如圖5(a)所示。在自旋織構中，這表現為自旋在北極向下(Qv=-1)或向上(Qc=1)，在南極則相反，而在赤道平面內自旋平行于平面。當施加自旋翻轉無序時，由于不同自旋態共存，靠近赤道的電子態會發生強烈散射；而由于缺乏相反自旋電子態，南北極的電子態幾乎不受雜質影響。這導致斯格明子分裂成帶有±1/2拓撲電荷的半斯格明子。隨著無序強度增大，這些半斯格明子會發生相互作用和移動：某些半斯格明子彼此吸引，另一些則相互排斥。當無序進一步增強時，導帶與價帶所攜帶的相反的半斯格明子互相交換，使得價帶所攜帶的拓撲電荷突然變為零，從而導致電導的消失和安德森局域化的發生。

圖3 在無序強度逐漸增大時，價帶和導帶中的自旋織構(即斯格明子和半斯格明子)所攜帶的拓撲電荷的演化

在時間反演對稱保護下，無序散射對二維拓撲絕緣體的局域化過程也遵循類似機制。以Kane—Mele模型為例，Rashba自旋—軌道耦合作用和弱無序并不會破壞原先的邊界態[15]。此時，許多體態被無序所束縛，但每個能帶里會有一個有限寬的中心區域的本征態保持擴展。隨著無序增強，價帶和導帶的擴展態中心區域相互靠攏，重合后才整體進入完全局域的狀態[82，83]。

強無序也并不只起著破壞拓撲態的作用。實際材料在費米能附近往往有金屬態和平庸邊界態出現。無序散射首先把它們局域化，而在一定強度內讓更有韌性的拓撲邊界態凸顯出來[84]。在這個意義上，無序讓拓撲態變得更穩定。通過自能修正，無序散射也可把能帶從平庸重整化到非平庸區域，實現所謂的安德森拓撲絕緣體[85，86]。

總結與展望

本文介紹了研究布洛赫電子的幾何拓撲過程中常用的幾種模型，包括Hofstadter蝴蝶模型、六角晶格模型和多帶連續模型。前兩種模型孕育了這個領域最初的理論發現，而后者幫我們解析理解這些理論思想的精華。基于泡利算符和Γ矩陣[34]的二帶、四帶模型也可以解析延拓到整個布里淵區，為尋找拓撲絕緣體實際材料起到了引導作用。本文也概述了第一性原理計算如何實現理論與實驗的對接，以及各種拓撲幾何效應如何在無序散射中凸顯和消失。

在普通晶體中實現Hofstadter蝴蝶能譜需要極強的磁場。直到幾十年以后，人們才在石墨烯/氮化硼的莫爾超晶格上進行了細致的實驗觀察[87，88]。有意思的是，Hofstadter問題也有一個時空晶體對應，其中均勻恒定的電場會讓時空的平移對稱發生一個規范變形；變形后的時間和空間平移彼此不再對易，除非它們張開的時空面積上穿過整數個電通量子。這也會造成一個分形的弗洛凱—布洛赫能動量譜和奇特的波函數性質[89]。

由于石墨烯等二維材料，包括其半導體、磁性、超導等形態的實驗發現，六角晶格模型及其各種變形得到了充分應用[90]。通過能谷與軌道和自旋耦合，它可以受光、磁場和應變的調控，成為研究各種交叉響應的理想平臺。另外，對這類電子體系的研究也啟發了其他領域的應用，比如具有六角超結構的光子晶體[91]和聲子晶體[92]材料也表現出卓越的拓撲幾何特性。

各種連續模型在拓撲幾何性質的研究中有著大量應用，不僅可用來刻畫體態的拓撲相變，也可用來描述邊界態的行為。連續模型發端于半導體中的有效質量近似，后來發展到多帶情形，用以描述某動量點附近的能帶結構。在高對稱點處，能帶往往有簡并，具有某種不可約群論表示。動量在不同方向上對高對稱點的偏離導致簡并解除，其具體形式和大小可以用k·p微擾論方法得到，生成各種有效連續模型[93]。值得注意的是，簡并能帶子空間有些整體性質，比如非阿貝爾貝里曲率和磁矩，并不包含在這種有效哈密頓量矩陣內，需要額外考慮子空間與其他能帶的耦合[94]。

實際晶體材料拓撲幾何性質的研究往往還需要第一性原理計算。Wannier內插法讓傳統的計算程序可以方便地處理波函數的信息，大大簡化了貝里相位和貝里曲率等幾何量的計算。一般說來，物理量的計算不能僅依靠這種方法生成的緊束縛哈密頓量矩陣，還需知道Wannier函數基組間的矩陣元。比如，貝里曲率就有一部分來自位置算符矩陣元的貢獻。最大局域化Wannier函數，可在一定程度上減少但并不能完全排除這種貢獻[57]。

朗道能級被無序局域化的過程相當復雜，其擴展態的最終消失有賴于朗道能級間的耦合以及與攜帶相反陳數狀態的湮滅。該過程也適用于零磁場下的陳絕緣體，能帶里狀態的完全局域化只有當貝里曲率被徹底抵消干凈才能完成。一般認為，擴展態消失之前只存在于一些分立的能量上，那里聚集了量子化的陳數。但是，這個結論并沒有嚴格證明，而且在多種情況下受到了挑戰[95]。時間反演對稱保護下的拓撲絕緣體也有類似的行為。

電子相互作用對于拓撲幾何狀態的影響也是一個備受關注的問題。本文討論的布洛赫能帶都是已經考慮相互作用的平均場效果。相互作用引起的自發對稱破缺，以及由之產生的拓撲相變在很大程度上也可以納入平均場效應這個范疇。Haldane曾討論過費米液體中的反?；魻栃摾觅M米面上的貝里相位來計算，從而避開費米面下不能嚴格定義的單粒子態[96]。Volovik曾引入一個利用單粒子格林函數來計算絕緣體拓撲不變量的公式[31，97]。但是，有些強關聯體系的拓撲態，比如分數量子霍爾效應和莫特拓撲絕緣體，并不能這么刻畫[98]。因為原來的單粒子概念不能解析延拓過來[99]。

致謝感謝沈順清、姚裕貴、江華和周建輝等在本文撰寫過程中給予的寶貴意見和建議。

參考文獻

[1] Thouless D J，Kohmoto M，Nightingale M P

. Phys. Rev. Lett. ， 1982 ， 49 ： 405

[2] Hofstadter D R. Phys. Rev. B，1976，14：2239

[3] Thouless D J，Niu Q. J. Phys. A：Math. Gen.，1983，16：1911

[4] Berry M V. A. Mathematical and Physical Sciences，1997，392：45

[5] Avron J E，Osadchy D，Seiler R. Physics Today，2003，56：38

[6] Onsager L. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science，1952，43：1006

[7] Gao Y，Niu Q. Proceedings of the National Academy of Sciences，2017，114：7295

[8] Chang M C，Niu Q. Phys. Rev. B，1996，53：7010

[9] Chang M C，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，1995，75：1348

[10] Reich S，Maultzsch J，Thomsen C

. Phys. Rev. B ， 2002 ， 66 ： 035412

[11] Zhang Y，Tan Y W，Stormer H L

. Nature ， 2005 ， 438 ： 201

[12] Semenoff G W. Phys. Rev. Lett.，1984，53：2449

[13] Haldane F D M. Phys. Rev. Lett.，1988，61：2015

[14] Kane C L，Mele E J. Phys. Rev. Lett.，2005，95：226801

[15] Kane C L，Mele E J. Phys. Rev. Lett.，2005，95：146802

[16] Xiao D，Yao W，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，2007，99：236809

[17] Yao W，Xiao D，Niu Q. Phys. Rev. B，2008，77：235406

[18] Cao T，Wang G，Han W

. Nat. Commun. ， 2012 ， 3 ： 887

[19] Xiao D，Liu G B，Feng W

. Phys. Rev. Lett. ， 2012 ， 108 ： 196802

[20] Qiao Z，Yang S A，Feng W

. Phys. Rev. B ， 2010 ， 82 ： 161414

[21] Tang C，Cheng B，Aldosary M

. APL Materials ， 2017 ， 6 ： 026401

[22] Deng Y，Yu Y，Shi M Z

. Science ， 2020 ， 367 ： 895

[23] Castro E V，Novoselov K S，Morozov S V

. Phys. Rev. Lett. ， 2007 ， 99 ： 216802

[24] Qiao Z，Tse W K，Jiang H

. Phys. Rev. Lett. ， 2011 ， 107 ： 256801

[25] Zhang F，MacDonald A H. Phys. Rev. Lett.，2012，108：186804

[26] Sha Y，Zheng J，Liu K

. Science ， 2024 ， 384 ： 414

[27] Bistritzer R，MacDonald A H. Proceedings of the National Academy of Sciences，2011，108：12233

[28] Cao Y，Fatemi V，Fang S

. Nature ， 2018 ， 556 ： 43

[29] Lu X，Stepanov P，Yang W

. Nature ， 2019 ， 574 ： 653

[30] Nuckolls K P，Oh M，Wong D

. Nature ， 2020 ， 588 ： 610

[31] Volovik G E. The Universe in a Helium Droplet. Oxford University Press，2009

[32] Kane E O. Chapter 3，The k·p Method. In：Willardson R K，Beer A C ed. Semiconductors and Semimetals，Vol. 1. Elsevier，1966. pp.75—100

[33] Jungwirth T，Niu Q，MacDonald A H. Phys. Rev. Lett.，2002，88：207208

[34] Murakami S，Nagaosa N，Zhang S C. Science，2003，301：1348

[35] Bernevig B A，Hughes T L，Zhang S C. Science，2006，314：1757

[36] Shen S Q. Topological Insulators: Dirac Equation in Condensed Matter，Vol. 187. Singapore：Springer，2017

[37] Qi X L，Wu Y S，Zhang S C. Phys. Rev. B，2006，74：085308

[38] Zhang H，Liu C X，Qi X L

. Nature Phys ， 2009 ， 5 ： 438

[39] Zhou B，Lu H Z，Chu R L

. Phys. Rev. Lett. ， 2008 ， 101 ： 246807

[40] Lu H Z，Shan W Y，Yao W

. Phys. Rev. B ， 2010 ， 81 ： 115407

[41] Fradkin E，Dagotto E，Boyanovsky D. Phys. Rev. Lett.，1986，57：2967

[42] Yao W，Yang S A，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，2009，102：096801

[43] Martin I，Blanter Y M，Morpurgo A F. Phys. Rev. Lett.，2008，100：036804

[44] Qiao Z，Jung J，Niu Q

. Nano Lett. ， 2011 ， 11 ： 3453

[45] Qiao Z，Jung J，Lin C

. Phys. Rev. Lett. ， 2014 ， 112 ： 206601

[46] Fu L，Kane C L，Mele E J. Phys. Rev. Lett.，2007，98：106803

[47] Schindler F，Cook A M，Vergniory M G

. Science Advances ， 2018 ， 4 ： eaat0346

[48] Liu Z，Qiao Z，Gao Y

. Phys. Rev. Res. ， 2024 ， 6 ： L012005

[49] Ren Y，Qiao Z，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，2020，124：166804

[50] Wan X，Turner A M，Vishwanath A

. Phys. Rev. B ， 2011 ， 83 ： 205101

[51] Zhou J H，Jiang H，Niu Q

. Chinese Phys. Lett. ， 2013 ， 30 ： 027101

[52] Fu B，Zou J Y，Hu Z A

. Npj Quantum Mater. ， 2022 ， 7 ： 1

[53] King-Smith R D，Vanderbilt D. Phys. Rev. B，1993，47：1651

[54] Marzari N，Mostofi A A，Yates J R

. Rev. Mod. Phys. ， 2012 ， 84 ： 1419

[55] Fang Z，Nagaosa N，Takahashi K S

. Science ， 2003 ， 302 ： 92

[56] Yao Y，Kleinman L，MacDonald A H

. Phys. Rev. Lett. ， 2004 ， 92 ： 037204

[57] Wang X，Yates J R，Souza I

. Phys. Rev. B ， 2006 ， 74 ： 195118

[58] Chen H，Niu Q，MacDonald A H. Phys. Rev. Lett.，2014，112：017205

[59] Ren Y，Zeng J，Deng X

. Phys. Rev. B ， 2016 ， 94 ： 085411

[60] Lowitzer S，K?dderitzsch D，Ebert H. Phys. Rev. Lett.，2010，105：266604

[61] Weischenberg J，Freimuth F，Sinova J

. Phys. Rev. Lett. ， 2011 ， 107 ： 106601

[62] Xiao D，Shi J，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，2005，95：137204

[63] Thonhauser T，Ceresoli D，Vanderbilt D

. Phys. Rev. Lett. ， 2005 ， 95 ： 137205

[64] Shi J ，Vignale G ，Xiao D

. Phys. Rev. Lett. ， 2007 ， 99 ： 197202

[65] Chen H，Wang T C，Xiao D

. Phys. Rev. B ， 2020 ， 101 ： 104418

[66] Culcer D，Sinova J，Sinitsyn N A

. Phys. Rev. Lett. ， 2004 ， 93 ： 046602

[67] Guo G Y，Yao Y，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，2005，94：226601

[68] Yao Y，Fang Z. Phys. Rev. Lett.，2005，95：156601

[69] Guo G Y，Niu Q，Nagaosa N. Phys. Rev. B，2014，89：214406

[70] Fu L，Kane C L. Phys. Rev. B，2006，74：195312

[71] Xiao D，Yao Y，Feng W

. Phys. Rev. Lett. ， 2010 ， 105 ： 096404

[72] Gresch D，Autès G，Yazyev O V

. Phys. Rev. B ， 2017 ， 95 ： 075146

[73] Essin A M，Moore J E，Vanderbilt D. Phys. Rev. Lett.，2009，102：146805

[74] Wang Z，Sun Y，Chen X Q

. Phys. Rev. B ， 2012 ， 85 ： 195320

[75] Wray L A，Xu S Y，Xia Y

. Nature Phys. ， 2011 ， 7 ： 32

[76] Nomura K ，Koshino M ，Ryu S. Phys. Rev. Lett. ，2007 ，99 ：146806

[77] Khmel’nitskii D E. JETP Letters，1983，38：552

[78] Laughlin R B. Phys. Rev. Lett.，1984，52：2304

[79] Liu D Z，Xie X C，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，1996，76：975

[80] Sheng D N，Weng Z Y. Phys. Rev. Lett.，1997，78：318

[81] Qiao Z，Han Y，Zhang L

. Phys. Rev. Lett. ， 2016 ， 117 ： 056802

[82] Sheng D N，Weng Z Y，Sheng L

. Phys. Rev. Lett. ， 2006 ， 97 ： 036808

[83] Onoda M，Avishai Y，Nagaosa N. Phys. Rev. Lett.，2007，98：076802

[84] Jiang H，Qiao Z，Liu H

. Phys. Rev. Lett. ， 2012 ， 109 ： 116803

[85] Li J，Chu R L，Jain J K

. Phys. Rev. Lett. ， 2009 ， 102 ： 136806

[86] Groth C W，Wimmer M，Akhmerov A R

. Phys. Rev. Lett. ， 2009 ， 103 ： 196805

[87] Dean C R，Wang L，Maher P

. Nature ， 2013 ， 497 ： 598

[88] Hunt B，Sanchez-Yamagishi J D，Young A F

. Science ， 2013 ， 340 ： 1427

[89] Wang J，He J J，Niu Q. Fractional Stark Ladders and Novel Quantum Dynamics of Space-Time SSH Lattices，https://arxiv.org/abs/2409.13260v1

[90] Ren Y，Qiao Z，Niu Q. Rep. Prog. Phys.，2016，79：066501

[91] Ozawa T，Price H M，Amo A

. Rev. Mod. Phys. ， 2019 ， 91 ： 015006

[92] Zhu W，Deng W，Liu Y

. Rep. Prog. Phys. ， 2023 ， 86 ： 106501

[93] Yu Z M，Zhang Z，Liu G B

. Science Bulletin ， 2022 ， 67 ： 375

[94] Chang M C，Niu Q. J. Phys.: Condens. Matter，2008，20：193202

[95] Xiong G，Wang S D，Niu Q

. EPL ， 2008 ， 82 ： 47008

[96] Haldane F D M. Phys. Rev. Lett.，2004，93：206602

[97] Volovik G E. Jetp Lett.，2010，91：55

[98] Zhao J，Mai P，Bradlyn B

. Phys. Rev. Lett. ， 2023 ， 131 ： 106601

[99] Gavensky L P，Sachdev S，Goldman N. Phys. Rev. Lett.，2023，131：236601

[100] Ren Y，Xiao C，Saparov D

. Phys. Rev. Lett. ， 2021 ， 127 ： 186403

[101] Trifunovic L，Ono S，Watanabe H. Phys. Rev. B，2019，100：054408

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