為什么數學上所有的早期進展都通向勾股定理？

因為它反映了基礎數學的兩個側面：數與空間，或算術與幾何，或離散與連續。

就連大部分人接觸證明也是從勾股定理開始，它是如此耳熟能詳，又如此影響深遠。

證明教會人類哪些東西是真的，哪些不是真的，為什么是真的，為什么不是真的。

沒有證明，我們就無法談論真正的數學。

世界知名數學家、數學史專家約翰·史迪威（John Stillwell）“十年一劍”，圖文并茂地展現了從勾股定理到現代數學的精彩歷史。這是對數學思想的全方位揭秘，闡述了數學研究和學習的底層方法和邏輯：

什么問題可以被證明？如何證明？

什么問題可以（或無法）被解決？

證明是如何演變的？

數學在過去和未來如何憑借證明獲得新生？

來源 | 《證明的故事：從勾股定理到現代數學》

作者 | [澳] 約翰·史迪威

譯者 | 程曉亮 張浩

01

勾股定理

數學的標志性定理無疑是勾股定理〔西方又稱畢達哥拉斯定理（Pythagorean theorem）〕。早在公元前1800年，人們就對勾股定理的算術側面進行了深入的觀察。

當時古巴比倫的數學家們發現了許多自然數三元數組?a b c? 滿足a2+b2=c2。他們是否把每個三元數組?a b c? 都看作一個直角三角形的三條邊，這一點是受到質疑的，不過這種聯系在古印度和中國并沒有被忽略，古印度和中國也出現了對該定理特殊情況的幾何論證。

無論如何，畢達哥拉斯學派還是恰當地將直角三角形與這個定理聯系在一起，因為他們發現，具有單位直角邊長的直角三角形的斜邊長——根號2是無理數。這一發現是古希臘數學的轉折點，甚至可以說是一場動搖數學基礎的“危機”，因為它迫使人們對無窮進行推測，隨之而來的還有對證明的需求。在不考慮無理性的古印度和中國，就不存在“危機”，因此人們沒有必要從不言自明的公理出發，以演繹的方式發展數學。

正如我們將要看到的，無理數的本質是一個困擾數學家數千年的深刻問題。其實在古代，有了歐多克斯（Eudoxus）的比例理論，古希臘人邁出了從離散走向連續的第一步。

02

證明的起點

對許多人來說，勾股定理是幾何學的起點，也是證明的起點。圖1.1展示了該定理的純幾何形式：對于一個直角三角形（白色），以其斜邊為邊長的正方形（灰色）的面積等于以其另外兩條邊為邊長的正方形（黑色）的面積之和。

上文中“等于”與“和”的含義可以借助圖1.2來解釋。圖1.2的左右兩圖各是一個大正方形，里面有四個相同的直角三角形。在左圖中，大正方形減去四個直角三角形后就是以直角三角形斜邊為邊長的正方形。在右圖中，大正方形去掉四個直角三角形后就是分別以直角三角形兩條直角邊為邊長的兩個正方形。因此，以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積等于以其另外兩條邊為邊長的正方形的面積之和。

因此，我們隱含地假設了歐幾里得所說的一些“公理”：

1. 彼此能重合的圖形全等；

2. 等于同量的量彼此相等；

3. 等量加等量，其和相等；

4. 等量減等量，其差相等。

這些假設聽起來有點像代數，它們顯然適用于數，但在這里它們被應用于幾何對象。從這個意義上說，我們得到了一個幾何定理的純幾何證明。畢達哥拉斯學派想要保持幾何純粹的原因將在第1.3節中解釋。盡管圖1.2作為圖片令人信服，但有人可能會吹毛求疵地說，我們并沒有真正解釋為什么灰色區域和黑色區域是正方形。

畢達哥拉斯之后的古希臘人之所以確實對類似這樣的細節吹毛求疵，是因為他們擔心幾何對象的本質，這也將在第1.3節出現。其結果是在公元前300年前后產生了歐幾里得的《原本》，這是一個把幾何學建立在堅實（但冗長）的邏輯基礎上的證明體系。第2章會將圖1.2擴充為一個歐幾里得風格的證明。我們會發現“一圖勝千言”這句話非常貼切。

如上所述，勾股定理在幾個古代文化中被獨立發現，可能還比畢達哥拉斯本人更早。其特殊情況出現在古印度和中國，最早的特例可能出現在古巴比倫（位于今天的伊拉克一帶）。因此，這個定理是數學的廣泛性的一個很好的例子。正如我們將在后面的章節中看到的，它以不同的形式出現在幾何學的歷史中，也出現在數論的歷史中。

它最初是如何被證明的，這一點尚不清楚。上述證明是希思（Heath 1925，1：354）在他編輯的《原本》版本中給出的一個建議。中國和古印度的數學家對邊長為特定數值（如3, 4, 5或5, 12, 13）的三角形更感興趣。

03

無理數

無理數自然地源于勾股定理，但只有畢達哥拉斯學派發現了無理數。像這個定理的其他發現者一樣，畢達哥拉斯學派知道a, b, c , 這些自然數值的特殊情況。但顯然，他們是唯一會問“為什么我們找不到a = b的三元數組？”這個問題的人，謎底就在謎面上：假設存在自然數a和c使得 c2 = 2a2會得到矛盾。

畢達哥拉斯學派的論證不得而知，但是這個結果在亞里士多德時代（公元前384—前322年）肯定已成為常識，因為亞里士多德（Aristotle）顯然認為他的讀者會理解以下簡短的提示：

這里的“可公度”是指常用的度量單位的自然數倍數，所以我們假設c2 = 2a2 ，其中正方形的邊長是a個單位，其對角線長是c個單位。我們得出的矛盾“奇數=偶數”如下。

首先，選擇一個盡可能大的度量單位，我們可以假設自然數c和a沒有公因子（1除外）。特別地，它們中最多有一個可以是偶數。現在c2 = 2a2意味著c2這個數是偶數。因為奇數的平方是奇數，所以c也必須是偶數，比如說可以寫成c=2d。用2d替換c，得到

然而，同理這又說明a是一個偶數，得出矛盾。

因此，假設存在使c2 = 2a2的自然數a和c是錯誤的。如今，表達這一事實的通常方式是：不存在自然數c和a使得,更簡單地說， 根號 2 是無理數。

《證明的故事：從勾股定理到現代數學》

作者：[澳] 約翰·史迪威（John Stillwell）

譯者：程曉亮 張浩

數學史泰斗、舊金山大學榮休教授，“肖夫內獎”獲得者，當今世界最有影響力的數學家之一約翰·史迪威全新力作！

證明是數學思想中十分重要且極具開拓性的特征之一。沒有證明，就沒有真正的數學！

本書從古希臘幾何學時代講起，涵蓋代數、微積分、集合、數論、拓撲、邏輯等幾乎全部數學分支中的證明故事，講述了證明的演變及其在數學中的重要作用和啟發意義。我們將看到歐幾里得、康托爾、哥德爾、圖靈等數學大師的精彩發現和發明。

本書不是教材，而是在講數學的歷史，更是在講數學思想的演變。