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在學校里，我們學到一個非常有趣的幾何規則：三角形的三個內角加起來總是180度。但其實，這個規則并不總是成立的！盡管老師是這么教的，但是數學家們花了好幾個世紀才弄明白其中的原因。正如我們在最近一場活動中發現的，幾何學的發展歷程表明，數學的進步曾深刻改變了人類對周圍世界的認知方式。

麻煩的平行公設

幾何學的正式起源通常被追溯到公元前300年左右生活在埃及的數學家歐幾里得（Euclid）。他寫了一本書叫《幾何原本》，在書中列出了五條他認為整個幾何學都應該建立在其上的基本規則（數學家稱之為“公理”）。這些規則被認為是顯而易見、不言自明的道理，大家無需進一步證明就應該接受它們為真。

三角形內角之和總是等于180度這個規則，其實是歐幾里得第五條公理的一種表現形式。而歐幾里得當時給出的原始表述要復雜得多：

如果一條線段與兩條直線相交，并且在同一側形成的兩個內角之和小于兩個直角（即180度），那么如果這兩條直線無限延伸，它們最終將在這一側相交——也就是角度和小于兩個直角的那一側。

這可以通過下面的圖片來說明：圖中，兩條直線與第三條線相交，在同一側形成了兩個都小于90度的角。這意味著，根據歐幾里得的平面幾何，這兩條直線如果繼續延伸，就會在這一側相交。

如果兩條直線不是像歐幾里得說的那樣相交，而是永遠不相交，那么它們就是平行的。歐幾里得的第五條公理告訴我們：如果兩條直線都與第三條直線成直角相交，那么它們就是平行的。這也是為什么它常被稱為“平行公設”。經過一些推導，你會發現這個公設其實等價于“三角形的內角和為180度”這個規則——當然，前提是我們討論的是平面幾何，也就是在一個平坦的表面上。

盡管這個“平行公設”在幾何學中非常實用，但它也長期讓數學家們頭疼不已。數學史學家杰里米·格雷（Jeremy Gray）在一次倫敦數學學會的活動上說：“它引發了很多問題。”這場活動是牛頓研究所主辦的“現代數學史研究項目”的一部分。為什么說它麻煩呢？因為這個公設雖然指出兩條不平行的直線最終會相交，但這個交點可能非常遙遠——甚至遠到光年之外！格雷打趣道：“如果一個交點可能在幾十億英里之外，那我們很難自信地說‘它們一定會相交’！”

與歐幾里得其他四條公理相比，平行公設看起來并不像那么顯而易見。其他四條公理內容簡單明了，比如“任意兩點之間可以畫一條直線”，而第五條公設顯得過于復雜。這讓許多人相信，平行公設其實應該能從前四條公理中推導出來——也就是說，只要前四條公理成立，第五條公設也必然成立。“人們想把平行公設刪掉，改成用另外四條公理證明它，”格雷說幾個世紀以來，許多數學家都嘗試這樣做，但最終都失敗了。

答案就在你的腳下

平行公設不能從歐幾里得其他四條公理推導出來，是因為它并非在所有情況下都成立。有些情況下，前四條公理依然適用，但平行公設卻不成立。

這是因為歐幾里得描述幾何規則時，是基于一個平坦的平面上的點和直線。而這和我們實際所處的環境截然不同——我們腳下的地面并不是完全平坦的，而是近似一個球面。我們生活在地球這個大致呈球形的表面上，而在這里，歐幾里得幾何就不適用了。前四條公理依然成立，但平行公設卻不成立。

想象你站在赤道上，夾在兩條經線之間。你看到的這三條線——赤道和兩條經線——都是“大圓”的例子：它們繞著地球最粗的部分，直徑最大——地球表面上沒有比它們更大的圓了。大圓還代表著最短路徑：地球上任意兩點之間的最短路線，就是通過包含這兩點的那個唯一大圓。大圓在球面幾何中，就像直線在歐幾里得幾何中一樣：它們都是最短路徑（數學上稱為“測地線”），因此應該遵循類似的規律。

但這里有個驚喜：如果你測量兩條經線與赤道的夾角，會發現它們都是直角。可是，正如所有經線一樣，它們最終在北極和南極相交——也就是說，它們并不是平行線。這其實是一個非常熟悉的例子，直接反駁了平行公設。

球面上的三角形是由大圓弧組成的。但它是向外凸起的，所以它的三個內角加起來超過180度。超過多少則取決于三角形的大小：小三角形的內角和只會稍微超過180度，因為在小范圍內，球面看起來幾乎是平的。但如果三角形變得越來越大——比如連接英國倫敦、德國明斯特和澳大利亞珀斯這三個城市的三角形——它的內角和就會明顯增加。

球面幾何和歐幾里得幾何的差異，在地圖上表現得尤為明顯——畢竟地圖就是試圖把地球這個球面畫在一張平坦的紙上。任何平面的地球地圖都會有不同程度的變形。最常用的墨卡托投影在赤道附近比較準確，但越靠近南北極，距離和面積的夸大就越嚴重。比如格陵蘭島在地圖上看起來比非洲只小了一倍，但實際上它的面積大約比非洲小14倍。

世界地圖。圖源：pixabay

與黑暗的斗爭

只要你習慣了這種思路，球面幾何其實很自然：你可以想象它、畫出它的圖形，甚至在橘子皮上畫圖來幫助理解。但還有另一種幾何——雙曲幾何，它要復雜得多，更加奇特。

格雷用這個故事來說明，從數學史中我們能學到很多東西，也能更好地理解今天所教和研究的數學。不僅讓數學更有人情味，用來自世界各地的例子讓數學變得更加通俗易懂，數學史還幫助我們了解當下數學和科學的背景與重點。格雷說：“數學史能把數學和物理，甚至文學等其他領域建立起真正有依據的聯系。最近的數學史還能幫助我們思考今天數學的發展方向和重點。”

幾何學的發展歷史正是一個絕佳的例子，它展示了幾個世紀以來，隨著我們對數學認知的不斷變化，科學的發展方向和我們對周圍世界的理解也隨之發生了深刻的變化。

格雷接著講述了雙曲幾何的故事，介紹了19世紀匈牙利數學家鮑耶·亞諾什（Bolyai János）和俄羅斯數學家尼古拉斯·羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevskii）。他們倆都加入了破解平行公設之謎的行列。這確實是一場艱苦的探索，格雷通過引用那個時代鮑耶、羅巴切夫斯基及其同時代人的充滿激情和浪漫色彩的文字，生動展現了這段歷史。

例如，鮑耶·亞諾什的父親、也是一位數學家的鮑耶·法爾科斯（Bolyai Farkas），在寫給兒子的信中談到了平行公設：

“令人難以置信的是，這種頑固的黑暗、永恒的陰影、幾何學中的缺陷，永遠籠罩在純潔真理上的烏云，竟然還被容忍著。”

羅巴切夫斯基在一篇論文中感嘆幾何學遠遠落后于數學的其他領域：

“在數學領域，沒有什么像歐幾里得開篇的那些論述那樣充滿黑暗，也沒有哪部分像平行線理論那樣嚴重缺乏嚴謹性。”

鮑耶和羅巴切夫斯基都試圖彌補這一缺乏嚴謹性的不足。他們和許多前輩一樣，想要從歐幾里得的其他公理出發，證明平行公設是對的。為此，他們先假設平行公設是錯誤的， 然后希望發現由此產生的幾何體系會出現矛盾或不可能的情況，從而證明這個假設是錯的。這就是經典的“反證法”或“歸謬法”。

但結果發現，這種幾何并沒有矛盾。鮑耶和羅巴切夫斯基各自獨立地發現了一種新的幾何體系，現在被稱為雙曲幾何。歐幾里得和平面幾何以及球面幾何中成立的前四條公理，在雙曲幾何中依然成立，但在這個奇異的新世界里，三角形的內角和卻小于180度。

奇怪的新世界

那么，呈現這種奇異雙曲幾何的曲面是什么樣子的呢？看起來很難想象。不過你可以試著想象一片羽衣甘藍的葉子，葉緣越來越皺褶。葉子上的小蟲子從點A爬到點B，就必須越過這些皺褶，它會選擇一條最短的路徑，也就是我們之前說過的“測地線”。

圖源：wikipedia

現在想象把羽衣甘藍葉子攤平，當然希望不要壓到小蟲子。攤平后，葉子上的最短路徑不一定會變成直線，而可能變成各種曲線。這和地球上的最短路徑——大圓——在平面地圖上變成曲線的情況非常相似。

如果你把一個由相同三角形拼成、皺褶起伏的雙曲面攤平成一個圓盤形狀，就會得到下面那張圖。雙曲面上的直線（也就是測地線）在這個平坦的圓盤上變成了曲線。

我們還可以看到，來自雙曲空間的這些相同的三角形在平坦的圓盤上被扭曲了，越靠近圓盤邊緣，三角形看起來就越被擠壓、變小。格雷說：“想想世界地圖上的變形，這就是雙曲鋪砌。三角形實際上大小相同，但在這個平面圓盤中看起來越來越小。”

當我們把地球的球面幾何攤平成平面地圖時，材料“不夠用”——我們不得不把球面上的某些區域拉伸開來。而對于雙曲面，比如我們想象中的羽衣甘藍葉子來說，情況正好相反！我們有“太多”的材料！所以當我們把雙曲空間攤平時，有些區域會被扭曲、壓縮，在平面地圖上顯得更小。

到目前為止，我們討論的是雙曲面——具有雙曲幾何性質的二維空間。但其實，三維甚至更高維的雙曲幾何也有類似的模型。難怪鮑耶在寫給他父親的信中感嘆道：

“我發現了如此奇妙的事物，令我震驚……我從無中創造出了一個奇異的新世界。”

幾十年后，人們逐漸明白，雙曲幾何不僅僅是一個奇思妙想——它正是愛因斯坦在1905年提出狹義相對論時所需要的數學工具。格雷解釋說，我們對幾何的不斷深入理解，直接影響了我們對周圍世界本質的認識。幾個世紀以來，數學家們帶領我們從直覺上的平面歐幾里得幾何，走向了我們生活的星球——球面幾何；“再經過漫長曲折的歷程，最終走到了愛因斯坦的廣義相對論和現代宇宙學的開端。”

格雷和他的同事們關于數學史的研究，不僅揭示了數學學科的發展過程，也凸顯了數學在人類文化中的核心地位。格雷說：“數學不僅僅是另一門學科。數學影響著人們如何思考他們所生活的物質世界，以及他們如何表達這些想法。”

作者：Rachel Thomas & Marianne Freiberger

翻譯：yhc

審校：7號機

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編輯：7號機

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