物理學中確實有“魔法”，但這里要介紹的魔法，并不是指物理學中神奇的現象，而是量子資源理論中的概念，其是實現通用量子計算和量子優勢的必要非經典資源。近年來，有許多研究聚焦于探尋魔法在量子多體系統中扮演的角色，但對于高維和大尺寸的不可積量子多體系統，仍然缺少有效研究工具。為了彌補這一空白，本文介紹一種用于計算多體魔法的有效算法。

撰文|丁一茗、嚴正（西湖大學物理系 ）

01

資源的思想

想象一下，你生活在一個奇妙的世界里，除了牛奶之外，所有食材都取之不盡、用之不竭。在這個世界中，牛奶就如同現實世界中的石油，是一種極為珍貴的資源。因此，任何含有牛奶的食物都被稱作“資源食物”，而不含牛奶的食物則被稱作“免費食物”。

作為一名天才美食家，你擁有極為敏銳的味覺系統，能夠瞬間分辨出一道菜肴是免費食物還是資源食物。不僅如此，你還能精確量化食物中牛奶的含量。更進一步，你甚至可以剖析牛奶在食物中的分布和結構，并且理解這些結構如何影響食物的色、香、味……

將這種“資源思想”引入量子信息領域，我們便得到了量子資源理論[1]。

在量子資源理論中，我們不再劃分食物，而是劃分量子態。我們會選擇某個量子特性作為標準，并將其視為量子資源。為了制備或模擬一個量子態，如果不需要引入該量子資源，那么這個態就被稱作“免費態”，反之，則稱為“資源態”。

舉個簡單的例子，如果我們將量子糾纏視為一種量子資源，那么免費態就是可分態 （對于純態而言，即為直積態） ，而資源態則是糾纏態。此時，資源結構在局域相互作用哈密頓量的基態上體現為面積律 （糾纏熵隨著糾纏邊界呈線性增加） ，其修正能夠反映諸如簡并度、Goldstone模式、共形場中心荷和拓撲序等重要的量子多體性質[2]。

02

魔法態與量子態的復雜度

本文的主角——魔法 （magic） 或不穩定性 （non-stabilizerness） ，是一種極為重要的量子資源。在這個語境下，魔法態 （magic state） 或非穩定態 （non-stabilizer state） 是資源態，而免費態則為穩定態 （stabilizer state） 。將魔法視為量子資源的動機，源于著名的Gottesman-Knill定理[3]：在Clifford量子線路下，任何穩定態都可以在經典圖靈機上用多項式資源進行制備和模擬。為了實現通用量子計算或發揮量子優勢，僅能制備穩定態 （所有穩定態僅構成完整希爾伯特空間的一個子空間） 是遠遠不夠的。為此，我們必須引入能產生魔法的量子操作，例如量子T門。一個令人驚訝的事實是，許多高度糾纏的量子態并非魔法態[4]。

如果一個經典系統能夠在多項式資源內完全模擬另一個量子系統的全部行為，那么這個量子系統是否還足夠“量子”呢？這個問題的答案仍是開放的。由于復雜度理論方面的困難，人們尚未明確P （經典計算機易解） 、NP （經 典計算機難解但易驗證） 、BQP （P的量子版本） 和QMA （NP的量子版本） 這些復雜類之間的嚴格關系，但這啟發我們應當將量子態的復雜度視為其重要的物理性質之一，就像糾纏一樣。由于任何一個量子系統都可以看作是從過去的某個時間點經由一個平凡的初態演化而來，所以量子復雜度作為可能的歷史演化的結果，具有潛力去刻畫一些超越糾纏的重要性質。這一觀點與Leonard Susskind在2014年研究黑洞物理時提出的“糾纏是不夠的 （entanglement is not enough） ”不謀而合[5]。

事實上，魔法并不嚴格等同于我們討論的量子復雜度，因為并非所有的魔法態都無法被經典計算機以多項式資源制備。例如，沒有符號問題的哈密頓量的基態可以被蒙特卡洛方法有效模擬，而它們通常也具有非零的魔法。此外，一個量子態的魔法大小也并非獨立于基底的選取 （類似于符號問題） 。盡管如此，作為量子多體復雜度的重要“戰場”，魔法的研究是極為重要且亟待開展的。近年來，越來越多的研究者投身于多體魔法的研究之中。在臨界性、量子混沌、AdS-CFT等領域，都涌現出了許多關于魔法的重要成果。然而，對于高維和大尺寸的不可積量子多體系統，我們仍然缺乏有效的研究工具。近期的一項工作填補了這一空白——我們提出了一個用于計算多體魔法值及其導數的有效蒙特卡洛算法，并用其研究了臨界性、體積率 （魔法隨著系統大小線性增加） 和非局域魔法[6]。

03

橫場伊辛模型的穩定熵與導數

就像有很多物理量可以刻畫量子糾纏一樣，魔法也有諸多刻畫量。此處我們考慮的魔法物理量為二階的穩定熵（stabilizer Rényi entropy），對于純態的魔法來說，它是一個在Clifford方案下滿足單調性的良好度量[7]。在隨機級數展開和虛時路徑積分的語言下，它對應如下的流形 （圖1） 。

圖1：上圖中共有四份復本（replica）。在每一份復本中，縱軸代表空間自由度（例如代表第一個格點），而橫軸代表時間自由度。每個格點的狀態被由算符組成的Pauli String和其他哈密頓量相關的算符依次作用，并在時間軸上演化。時間軸上的左右箭頭表示時間是周期性的，即被所有算符演化完的末態和初態相同。

事實上，模擬這樣的流形會產生一些符號問題 （負概率） 。我們工作的核心之一是，利用Pauli群的對稱性將上述流形的模擬轉化成一個在約化構型空間中采樣約化Pauli String的問題，由此消除符號，并由此進一步計算穩定熵的值和導數。

在本工作中，我們主要討論了1D和2D的橫場伊辛模型的基態

并通過選取合適的h使得Jc=1成為相變點。圖2展示了穩定熵密度m2 （對于本文中出現的所有圖，默認左子圖為1D的結果，右子圖為2D的結果） 隨著參數J和格點數N的行為的變化。對于1D模型來說，相變點處魔法達到最大值，這與傳統的很多物理量都類似。讀者可能會覺得是由于相變處關聯長度發散導致了最大值的產生，但是我們進一步研究2D系統發現，最大值存在于鐵磁相的內部而非相變點處。這是一個很有趣的結果，告訴我們相變點不見得比一些簡單的相更難在經典機器上模擬，另一方面也告訴我們，即使是同一個物相 （破缺同種對稱性） ，一些細節的變化也會導致模擬的資源大大改變。

圖2：穩定熵密度m2在1D（左圖）和2D（右圖）橫場伊辛模型中隨參數J變化的行為。a1和a2是擬合出來的穩定熵的體積律系數，其和穩定熵密度十分接近，意味著體積律的正確性。

為了理解相變點奇異性對穩定熵的影響，我們進一步計算了穩定熵密度m2關于參數J的導數，并發現雖然原函數二者的行為迥異，但它們的導數均在相變點處發散 （見圖3） 。

圖3：1D（左）和2D（右）中穩定熵密度關于參數J的二階導數隨參數變化的行為。

事實上，由于體系本身存在二級相變，而穩定熵密度中由自由能貢獻的部分天然貢獻了奇異性，因此很難斷定該體系的多體魔法是否能夠和臨界性產生直接的關聯。幸運的是，我們的方法允許分離來自自由能的平凡貢獻 （Z部分） ，從而留下與魔法更密切的特征函數貢獻 （Q部分） 。驚奇的是，我們發現無論是1D還是2D的橫場伊辛模型，非平凡的Q部分都具有奇異性 （如圖4所示） 。進一步地，穩定熵密度的二階導的奇異性則是部分和部分奇異性共同作用下的結果。

圖4：1D（左）和2D（右）中穩定熵密度的二階導數中平凡的Z部分和與魔法相關的Q部分的競爭。

圖4的結果也暗示，對于一般的量子多體系統，魔法并不一定在 （共形） 臨界點處達到極值。其行為可能是復雜多樣的，并且和相變的階數息息相關。

04

非局域魔法

當我們在討論一個量子態的全局 （整個系統） 魔法時，其可能是平凡的。比如，如果一個量子態是N個局域魔法態的張量積，那么此時魔法的體積率被嚴格滿足 （全局魔法由局域魔法構成） ，并且討論全局魔法的大小并無太大的意義。又比如，當我們考慮下面的Phase GHZ態時

由于在Clifford操作下，其可以轉化成 與N-1個 |0〉的張量積，所以該量子態中的魔法依然是局域且平凡的。

由此，我們可以想象，不平凡且有趣的應當是非局域的魔法，也就是全局魔法扣除所有局域魔法后多出來的那部分。若一個量子態具有非局域魔法，則我們無法使用局域的非Clifford量子門來抹除它，這與長程糾纏無法通過局域量子門抹除具有類似的特性。因此，非局域魔法具有探測和刻畫諸如拓撲序之類的物相的潛力。在之前的研究中，大家一般討論二分系統A+B中的互魔法 （mutual magic）[8]，其形式為

其中F是混合態的魔法度量。由于穩定熵并不是一個合法的混合態魔法度量，借由穩定熵來定義互魔法存在局限性。不過，經由我們前面的討論，非局域魔法必然會反映到穩定熵的體積率修正上，這是之前的研究中被忽視的重要之處。在熱力學極限下，任何局域的魔法貢獻必然會被吸收到體積率的系數之中。而在有限尺寸下，相變點兩側的體積率修正也一般不同，因為兩側的關聯所帶來的魔法結構也不同。通過擬合1D和2D模型的修正項b1和b2，我們發現其在相變點處表現出極值和不連續的跡象 （見圖5） ，并且相變點兩側的魔法結構也不相同。也就是說，雖然全局魔法在相變點處不見得是最大的，因為其受到局域魔法的主導，但非局域的魔法由于在相變點處關聯長度的發散而受到了劇烈的影響。事實上，很難想象這些非局域的魔法可以由少量的量子門操作得到。因此，我們推測體積率的修正是遠比全局量子態的魔法更為有意義的物理量。

圖5：1D（左）和2D（右）系統中穩定熵的體積率修正。

05

結語

在過去幾百年的探索中，物理學家逐漸認識到信息本質上是物理的，并在量子多體物理中發揮著至關重要的作用。然而，與計算相關的物理系統復雜性，尤其是量子復雜性的討論，仍顯得相對有限。隨著量子信息學的不斷發展，我們有理由相信，從計算科學的視角出發，將有助于我們在未來更深入地理解復雜而有趣的量子行為。

參考文獻

[1] E. Chitambar and G. Gour, Quantum resource theories, Rev. Mod. Phys. 91, 025001 (2019).

[2] N. Laflorencie, Quantum entanglement in condensed matter systems, Physics Reports 646, 1 (2016).

[3] S. Aaronson and D. Gottesman, Improved simulation of stabilizer circuits, Phys. Rev. A 70, 052328 (2004).

[4] M. A. Nielsen and I. L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition. Cambridge: Cambridge University Press (2010).

[5] L. Susskind, Entanglement is not enough, Fortschritte der Physik 64, 49 (2016).

[6] Y.-M. Ding, Z. Wang, Z. Yan. Evaluating many-body stabilizer Rényi entropy by sampling reduced Pauli strings: singularities, volume law, and nonlocal magic. arxiv:2501.12146

[7] L. Leone, S. F. E. Oliviero, and A. Hamma, Stabilizer Rényi entropy, Phys. Rev. Lett. 128, 050402 (2022).

[8] C. D. White, C. Cao, and B. Swingle, Conformal field theories are magical, Phys. Rev. B 103, 075145 (2021).

本文轉載自《返樸》微信公眾號

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