近日數(shù)學(xué)界喜訊頻傳。3維掛谷猜想，歷史上著名的希爾伯特第6問題，即物理學(xué)公理化，紛紛在長期沉寂之后迎來了可能的突破。三位數(shù)學(xué)家鄧煜、Zaher Hani和馬驍宣布該問題的狹義版本已解決，給出了從牛頓定律（硬球模型）到玻爾茲曼方程再到流體力學(xué)方程的嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)。如果最終被證明正確，這會是數(shù)學(xué)與物理學(xué)交融的偉大成果。

撰文|嘉偉

曾經(jīng)看到過一種非常有詩意的說法：牛頓力學(xué)消除了時(shí)間的方向。如若回憶一下經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)的牛頓三大定律，就可以發(fā)現(xiàn)，定律的描述之中是沒有時(shí)間方向這一參數(shù)的。這也意味著，在一個時(shí)間倒流的宇宙里，經(jīng)典力學(xué)的表述形式將和我們所熟知的并無任何差異。這種理論性質(zhì)一般被稱為時(shí)間反演對稱性 。

2006年的IMO （國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，International Mathematical Olympiad） 金牌得主鄧煜，當(dāng)年被保送至北大數(shù)學(xué)系，2年之后又轉(zhuǎn)去了麻省理工學(xué)院 （MIT） 繼續(xù)研讀數(shù)學(xué)專業(yè)。如今他已經(jīng)是頗有建樹的青年數(shù)學(xué)家，現(xiàn)為芝加哥大學(xué)副教授。他和密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Zaher Hani，以及密歇根大學(xué)助理教授馬驍 （本科畢業(yè)于中科大少年班） 組成的團(tuán)隊(duì) （簡稱為DHM團(tuán)隊(duì)） 在2025年3月3日于arXiv上貼出文章，宣稱解決了希爾伯特第6問題。

鄧煜、Hani和馬驍發(fā)布在arXiv上的論文標(biāo)題和摘要

鄧煜近照 | 圖源：zhihu.com/question/14073117334

雖然125年前提出的希爾伯特第6問題，主旨是物理學(xué)的公理化，但如果追溯其歷史淵源，可以發(fā)現(xiàn)希爾伯特在闡述該問題的時(shí)候，未嘗沒有將熱力學(xué)第二定律所刻畫的宏觀現(xiàn)象歸結(jié)于微觀機(jī)械行為的動機(jī)。所以從一個浪漫且稍顯夸張的角度來說，如果經(jīng)驗(yàn)證無誤的話，鄧煜等人的論文在某種意義上相當(dāng)于為牛頓力學(xué)找回了時(shí)間的箭頭。

當(dāng)然，實(shí)際上牛頓力學(xué)是一個很寬泛的概念，它包含了三體問題、KAM定理，等等。本身就可以說牛頓力學(xué)蘊(yùn)含了時(shí)間的單向性，這些則遠(yuǎn)非當(dāng)代數(shù)學(xué)家的功勞。

時(shí)間之矢：經(jīng)典力學(xué)與熱力學(xué)的緊張關(guān)系

早在17世紀(jì)，艾薩克·牛頓 （Isaac Newton） 就開始對運(yùn)動擴(kuò)散的不可逆性現(xiàn)象產(chǎn)生了濃厚的興趣，特別是它似乎還關(guān)乎機(jī)械宇宙是否還需要神學(xué)介入的問題。牛頓認(rèn)為，一般地說，“運(yùn)動多是失去容易得到難，總是趨于退化。”

等到18世紀(jì)和19世紀(jì)早期，人們開始注意到，有很多自然現(xiàn)象似乎并無時(shí)間反演對稱性 。比如說氣體的擴(kuò)散、摩擦力的耗散、熱量總是從溫度高的物體流向溫度低的問題……名為熱力學(xué)的物理學(xué)分支開始發(fā)展出一個統(tǒng)一的理論框架，德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魯?shù)婪颉た藙谛匏?（Rudolf Clausius） 在1865年第一次提出了熱力學(xué)第二定律的現(xiàn)代表述：宇宙的熵總是趨于最大。

但這和時(shí)間的方向性又有何關(guān)系呢？請細(xì)想一下我們是怎么知道時(shí)間是有方向的？

如果播放一段視頻，畫面里有個杯子落到地上，摔成了碎片。沒有人會覺得這一過程有什么不自然的問題。但是，如果看到地上四散的玻璃碎片躍起，拼成了一個完整的玻璃杯，我們都會意識到，這段視頻是倒放的！

上面簡單的思想實(shí)驗(yàn)其實(shí)揭示了我們認(rèn)知時(shí)間的方式，而這一方式本質(zhì)上是人類對熱力學(xué)第二定律的樸素經(jīng)驗(yàn)——就算完全不了解熱力學(xué)第二定律的人，因?yàn)槭澜缟系娜f事萬物都受其制約，所以通過身邊的現(xiàn)象，自然會對這一基本物理學(xué)定律有所感知。

19世紀(jì)中葉，新生的熱力學(xué)理論享有一段與牛頓力學(xué)沒有明顯沖突的短暫安寧時(shí)期。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 （James Clerk Maxwell） 和路德維希·玻爾茲曼 （Ludwig Eduard Boltzmann） 把氣體分子的運(yùn)動理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)上的概念聯(lián)系了起來。玻爾茲曼更是首次把統(tǒng)計(jì)力學(xué)與熱力學(xué)第二定律之間的聯(lián)系，闡釋得明明白白。

麥克斯韋引入了著名的分子混沌假設(shè)。它假設(shè)兩個發(fā)生碰撞的粒子的速度是彼此不相關(guān)的，并且與具體位置無關(guān)。這意味著可以通過分別考慮每個粒子的概率來計(jì)算一對具有給定速度的粒子碰撞的概率，而忽略找到一個具有速度v的粒子和找到另一個具有速度v′的粒子的概率之間的相關(guān)性。這個假設(shè)是玻爾茲曼方程的關(guān)鍵成分，它允許從 BBGKY 層次結(jié)構(gòu) （描述多粒子系統(tǒng)中各個粒子的分布函數(shù)） 過渡到玻爾茲曼方程，玻爾茲曼用它推導(dǎo)出了氣體分子的熱力學(xué)第二定律——H定理（H-theorem） 。

在氣體的經(jīng)典模型中，氣體分子的運(yùn)動看起來很混亂。玻爾茲曼說明了假設(shè)每次碰撞是隨機(jī)且獨(dú)立的，系統(tǒng)會向麥克斯韋分布收束，就算一開始并非符合該分布。| 圖源：H-theorem - Wikipedia

他們的方法是把氣體分子看作是剛性的小球，根據(jù)小球速度的統(tǒng)計(jì)分布，可以得到氣體宏觀行為的特征——如根據(jù)分子運(yùn)動來描述的熱現(xiàn)象，畢竟溫度就是物體內(nèi)部分子或原子的平均動能的量度。

但有個更加基本的問題：考察單個分子小球，沒有什么神秘的力量迫使它遵循熱力學(xué)第二定律，它僅僅是遵照一般的動力學(xué)定律，運(yùn)動、碰撞、改變路徑……全部過程都是可逆的，每個分子也都是如此，但是在整體上，最終實(shí)現(xiàn)了熱力學(xué)第二定律所指向的單一結(jié)果。而這種確定的方向性——如溫度不同的氣體混合在一起，最終溫度會變得均勻——我們通常就認(rèn)為，這是時(shí)間的方向！

或許有讀者會猜測，熱力學(xué)定律與經(jīng)典力學(xué)存在“矛盾”，是否是因?yàn)樗鋵?shí)是量子現(xiàn)象？遺憾的是，量子力學(xué)里的薛定諤方程也是時(shí)間反演對稱 的。實(shí)際上幾乎所有的物理學(xué)定律都滿足時(shí)間反演對稱性，像熱力學(xué)第二定律這樣有時(shí)間方向性的定律反而是少數(shù)派。

質(zhì)疑：從物理過渡到數(shù)學(xué)

不出所料，這個深奧的物理問題自然而然地引出了深奧的數(shù)學(xué)問題……以及爭端。

約翰·洛施密特 （Johann Josef Loschmidt） 是 奧地利的科學(xué)家，在熱力學(xué)、光學(xué)、電動力學(xué)和化學(xué)領(lǐng)域做出了開創(chuàng)性的工作。 他雖是玻爾茲曼的好友，但無法接受從時(shí)間對稱的動力學(xué)和形式中推導(dǎo)出不可逆的過程！在科學(xué)史上，從時(shí)間對稱的動力學(xué)和形式中推導(dǎo)出不可逆的過程被稱為洛施密特悖論。

洛施密特并不孤單，實(shí)際上大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家恩斯特·策梅洛 （Ernst Zermelo） 也反對統(tǒng)計(jì)力學(xué)。策梅洛是如今數(shù)學(xué)界使用最廣泛的公理系統(tǒng)——策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng) （ZF，如果加上選擇公理則是ZFC） ——的創(chuàng)建者之一。他意識到，玻爾茲曼的H-定理與亨利·龐加萊 （Jules Henri Poincaré） 的回歸定理相互沖突。龐加萊是那個時(shí)代的數(shù)學(xué)界領(lǐng)袖，拓?fù)鋵W(xué)上著名的龐加萊猜想正是他提出的。

龐加萊回歸定理 （Poincaré Recurrence Theorem） 斷言對于某類孤立的力學(xué)系統(tǒng)，只要經(jīng)過足夠長的時(shí)間，系統(tǒng)一定會回到一個與初始狀態(tài)任意接近的狀態(tài)，或者返回到初始狀態(tài)本身。這個定理適用于守恒系統(tǒng)，即系統(tǒng)的總能量和體積保持不變。龐加萊回歸定理的核心思想是，在一個有限體積的相空間中，系統(tǒng)的軌跡會在時(shí)間演化中不斷遍歷這個空間，最終會回到初始狀態(tài)或其附近。換句話說，模擬稀薄氣體分子的大量小球，可以演化到無限接近初始時(shí)的狀態(tài)。這就違背了熱力學(xué)第二定律。

玻爾茲曼對此做出的解釋，也是現(xiàn)代教科書普遍采用的解釋是：統(tǒng)計(jì)力學(xué)是基于統(tǒng)計(jì)的，而龐加萊回歸所需時(shí)間的期望值，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過宇宙的現(xiàn)有壽命，所以系統(tǒng)在幾乎所有時(shí)間里都是滿足熱力學(xué)第二定律的，這體現(xiàn)了熱力學(xué)定律在宏觀上的統(tǒng)計(jì)意義。

統(tǒng)計(jì)力學(xué)奠基人路德維希·玻爾茲曼于 1905 年訪問了美國加州新成立的斯坦福大學(xué)，在日記里寫道：“在歐洲，如果一個富婆發(fā)瘋了，她會給自己買一打貓或一只鸚鵡；而在這里，她會聘請一流的建筑師，建造一所大學(xué)。”

1905年，玻爾茲曼從加利福尼亞巡回演講歸來后，他的一名學(xué)生為他畫了一幅漫畫。| 圖源：Emilio Segrè, Falling Bodies to Radio Waves（從落體到無線電波）

經(jīng)過幾次質(zhì)疑和反駁，玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)力學(xué)開始被人們接受。但最開始的問題仍困擾著那個時(shí)代的數(shù)學(xué)家：能否摒棄未經(jīng)證明的假說，單純借助經(jīng)典力學(xué)推導(dǎo)出玻爾茲曼方程 （相當(dāng)于說從時(shí)間可逆的機(jī)械力學(xué)系統(tǒng)演化出時(shí)間不可逆的熱力學(xué)系統(tǒng)） ？如果不能的話，是不是說明用于構(gòu)建玻爾茲曼方程的那些假說，本身是一個需要客觀承認(rèn)的新物理事實(shí) （定律） ？

回應(yīng)：希爾伯特第6問題

在1900年的巴黎國際數(shù)學(xué)家大會，歷史地位至少與龐加萊相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)巨人大衛(wèi)·希爾伯特 （David Hilbert） 在演講中提出了著名的23個“面向未來”的問題。

其中第6個問題：

“對幾何基礎(chǔ)的研究提出了這樣一個問題：以公理化的方法同樣處理那些當(dāng)今數(shù)學(xué)已發(fā)揮重要作用的物理科學(xué)；其中首要的是概率論和力學(xué)。……玻爾茲曼關(guān)于力學(xué)基本原理的工作提出了這樣一個問題：如何在數(shù)學(xué)上發(fā)展那些僅被初步闡明的極限過程，進(jìn)而從原子論的觀點(diǎn)推導(dǎo)出連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動定律。”

這里大家也能看到，希爾伯特第6問題是非常寬泛的，最終目標(biāo)是把整個物理學(xué)公理化，但是在問題的進(jìn)一步闡述中，他特意提及了玻爾茲曼方程和 （經(jīng)典） 力學(xué)的關(guān)系。結(jié)合前文介紹的背景，也能反推出當(dāng)時(shí)學(xué)界對玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)力學(xué)的不信任程度，以及希爾伯特迫切期望澄清“可逆的動力學(xué)過程如何演化出不可逆結(jié)果”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

后者 （而非為物理學(xué)進(jìn)行公理化） 也是DHM團(tuán)隊(duì)意圖攻克的難題。

歷史上對該問題后半部分的常規(guī)理解是，從稀薄氣體的動力學(xué)玻爾茲曼方程到可壓縮氣體動力學(xué)的連續(xù)歐拉方程和不可壓縮的納維-斯托克斯-傅里葉方程的過渡。但是少有數(shù)學(xué)家嘗試去從牛頓力學(xué)推出玻爾茲曼方程。

直到1975年，美國數(shù)學(xué)家Oscar Erasmus Lanford證明了Lanford定理。他基于粒子均為球?qū)ΨQ粒子彈性碰撞的假設(shè)，證明了在足夠短的時(shí)間內(nèi)玻爾茲曼方程的正確性。近年來歐洲的數(shù)學(xué)家們 （如Laure Saint-Raymond，Isabelle Gallagher等人） 對此問題進(jìn)行了深入的研究，但希爾伯特第6問題需要對任意長的時(shí)間證明玻爾茲曼方程的正確性，在這點(diǎn)上并無突破進(jìn)展。

主要困難來自于證明不同粒子的 （漸近） 獨(dú)立性的假設(shè)是合理的，也就是前文提及的分子混沌假設(shè)。這被證明更具挑戰(zhàn)性。事實(shí)上，最新論文的三位作者甚至花了一些時(shí)間才把它作為一個具體的數(shù)學(xué)問題來正確地闡釋。

兩步解決希爾伯特第6問題：從牛頓到玻爾茲曼到流體方程。|圖源：https://arxiv.org/pdf/2503.01800

DHM團(tuán)隊(duì)嘗試解決這一歷史遺留問題，進(jìn)而完全打通“從牛頓到玻爾茲曼到流體方程”的過程。

他們以及歷史上對“狹義”希爾伯特第6問題的解答，比起為物理學(xué) （某個分支） 構(gòu)建一套公理系統(tǒng) （并證明其相容性） ，更像是證明純粹的數(shù)學(xué)問題 （雖然這個問題的背后有豐富的內(nèi)涵和歷史，乃至深刻的哲學(xué)） ，大意如下：

根據(jù)控制微觀粒子相互作用的牛頓定律，對流體的宏觀方程（如歐拉方程和納維-斯托克斯方程）給出數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的推導(dǎo)，其中，玻爾茲曼動力學(xué)方程的推導(dǎo)是一個關(guān)鍵的中間步驟。換句話說，這個問題需要證明兩個極限的合理性：（i）動力學(xué)極限，即在適當(dāng)?shù)臉O限N → ∞中，從N粒子系統(tǒng)的（微觀）牛頓力學(xué)傳遞到單粒子密度函數(shù)的玻爾茲曼動力學(xué)方程，以及（ii）流體力學(xué)極限，即在碰撞頻率趨于無窮大的極限中，從玻爾茲曼動力學(xué)方程傳遞到流體運(yùn)動的（宏觀）方程。

單個水分子就像是一個小球，足夠多的水分子則可以構(gòu)成水蒸氣。當(dāng)分子小球彼此始終處于碰撞中，我們可以說它們“黏”在了一起，變成了連續(xù)的液體。

把上面樸素的思路進(jìn)行理論化，就得到了數(shù)學(xué)物理中的kinetic limit的概念。它通常用于描述從微觀動力學(xué)到宏觀行為的過渡。它涉及研究當(dāng)系統(tǒng)中粒子數(shù)量趨于無窮大且粒子間的相互作用范圍趨于零時(shí)，系統(tǒng)的行為如何演化。在玻爾茲曼動力學(xué)理論中，kinetic limit是推導(dǎo)玻爾茲曼方程的關(guān)鍵步驟。通過這種極限過程，可以從粒子系統(tǒng)的微觀動力學(xué) （如牛頓定律） 推導(dǎo)出描述宏觀行為的動力學(xué)方程 （如流體力學(xué)方程） 。這一過程通常被稱為Boltzmann-Grad 極限，它是稀薄氣體分子運(yùn)動理論的基礎(chǔ)。

DHM團(tuán)隊(duì)的論文有48頁，但是要想吃透里面的內(nèi)容，則需要對這一領(lǐng)域有全面且深入地理解。至少還需要閱讀歷史上數(shù)十篇相關(guān)的論文，像他們之前在2024年11月發(fā)表的164頁論文，就是為最后一篇所做的準(zhǔn)備工作。

另外值得一提的是，數(shù)學(xué)界有所謂的四大頂刊：Annals of Mathematics（《數(shù)學(xué)年刊》） 、Inventiones Mathematicae（《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》） 、Acta Mathematica（《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》） 和Journal of the American Mathematical Society (JAMS)（《美國數(shù)學(xué)會雜志》） 。在這些期刊上發(fā)表論文的難度極高，能夠在其中發(fā)表文章是數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)生涯中的重要成就。剛剛進(jìn)入研究領(lǐng)域并不算久的鄧煜，已在其中三家刊物上發(fā)表過論文。最近兩年更是連續(xù)有論文被頂刊所采用。

2024年發(fā)布的前期結(jié)果 | 圖源：https://arxiv.org/abs/2408.07818

他們最新的論文，就算是偏微分方程領(lǐng)域里的專家學(xué)者，也需要漫長的時(shí)間來研讀審閱，才能做出評價(jià)。筆者限于自身的水平，更無可能對文章進(jìn)行深入的分析和講解，乃至做出評判。但還是可以糾正一些媒體的報(bào)道。比如，有一篇報(bào)道提到，他們主要通過4個步驟實(shí)現(xiàn)突破，其中第四步是“熵產(chǎn)生機(jī)制，通過碰撞序列的馬爾可夫性解釋時(shí)間箭頭起源”云云，這部分疑似由AI生成……按照他們團(tuán)隊(duì)的思路，完全不需要解釋熵產(chǎn)生機(jī)制——他們只需要從牛頓力學(xué)推出玻爾茲曼方程，后者原本就蘊(yùn)含H-定理。從前文可知，H-定理相當(dāng)于針對氣體的熱力學(xué)第二定律。此外在論文中也沒有看到關(guān)于馬爾可夫性的應(yīng)用。

雖然他們的成果還需要等待漫長的同行評議過程，但學(xué)術(shù)界普遍比較樂觀。現(xiàn)在北大國際數(shù)學(xué)中心正在組織研討會，已經(jīng)邀請鄧煜和馬驍于3月17日至22日作5天報(bào)告。

鄧煜現(xiàn)就職于芝加哥大學(xué)的數(shù)學(xué)系，在他的個人主頁上有如下個人介紹：

喜愛詩歌、故事、小說、拼圖、漫畫、圍棋、足球以及任何美麗迷人的事物。

誠哉斯言。

參考資料

[1]Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, Hilbert's sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann's kinetic theory, arXiv:2503.01800

[2]Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics, arXiv:2408.07818

[3]鄧煜芝加哥大學(xué)的個人主頁https://mathematics.uchicago.edu/people/profile/yu-deng/

[4]Yu Deng,https://www.zhihu.com/question/34782710/answer/354811354

本文轉(zhuǎn)載自《返樸》微信公眾號

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