防走失，電梯直達

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作者：杰克·默塔（Jack Murtagh）

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請思考這樣一個問題：假設我在過去9年（2016年4月至今）中隨機選取某個具體時刻，精確到年、月、日、時、分乃至秒。你能猜中這個時間點嗎？這看上去似乎絕無可能。但其實猜中這一特定時刻的概率仍然比贏得強力球（Powerball）彩票頭獎的概率高。

強力球是美國最受歡迎的彩票之一。2023年10月，強力球彩票因頭獎金額累積至17億美元登上頭條，這是該彩票歷史上第二高的獎金。眾所周知，彩票中獎的概率微乎其微。但當頭獎獎金如滾雪球般刷新紀錄時，天文數字的潛在回報能否抵消極低的中獎概率？換言之，購買彩票是否可能成為一項理性選擇？答案或許令人意外——即便數學計算顯示，購彩存在好的“期望”（期望值為正），但在現實中，這可能依然是個糟糕的決策。

“期望值”這個數學概念有時被用于區分賭局的好壞。以骰子游戲為例：花1元錢下注1~6中的某個數字，若猜中則贏回賭注，外加額外的1元獎金，猜錯則損失本金。顯然你不會選擇下注，因為潛在的收益與損失一樣，都是1元，但失敗損失本金的概率高達5/6。

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如果下注成本仍為1元，但猜中可贏得100元呢？此時的獎金額度似乎足以補償失敗風險。通過概率計算，我們能精確界定玩家愿意參與賭局的臨界金額。其中的核心變量有三項：下注成本、潛在收益與獲勝概率。通過對所有可能結果（收益與損失）做加權平均，我們可以計算出賭局的期望值：期望值=獲勝概率×收益金額-失敗概率×損失金額。計算得到的期望值反映了長期重復下注時，每次投注的預期平均收益（負值則表示預期虧損）。

在骰子游戲的案例中，獲勝概率為1/6，失敗概率為5/6，盈虧金額均為1元。因此，期望值=（1/6×1）-（5/6×1）=-0.67元。這意味著，如果在骰子游戲中長期重復下注，將導致平均每次損失約0.67元。若把獎金提升至100元，期望值將變為正16元，骰子游戲則會成為明顯有利的賭局。我們還可以用期望值公式求解賭局的盈虧平衡點（令期望值為0）。對于骰子游戲，平衡點處獎金應為5元——失敗概率是獲勝的5倍，5倍的獎金恰好能抵消風險。

我們可以用期望值方法來分析強力球彩票。強力球頭獎的初始獎池約為2000萬美元，每注成本為2美元，而頭獎的中獎概率為1/292 201 338。代入公式計算可得，單張彩票的期望值約為-1.93美元——與其購買彩票，不如直接把兩塊錢換成一毛錢來的劃算。更不用說，這一計算過程還忽視了各種復雜因素：首先，它假設你選擇了年金的支付方式（美國彩票獎金提取的方式之一，首次提取后29年內每年分期領取，其長期價值高于一次性領取）；其次，它并未計入37%的美國聯邦稅以及比例各不相同的州稅；此外，它還忽略了部分號碼匹配的小額獎項分走的獎金。

如果將這些都納入考量，那-1.93美元的虧損預期都顯得過于樂觀。不過，2000萬美元的獎池和17億美元的獎池的確是兩碼事。強力球彩票的玩法是：如果某一期沒有人贏走頭獎，那么獎池的總金額將會累積到下一輪。當獎池一次又一次地積累增長，巨大的數額總有一天能抵消微小的中獎概率，使期望值大于零。

如果簡單套用期望值的公式，在3億分之一的概率下，17億美元的獎金的確對應了正期望值。媒體常宣稱此時購彩在數學上很合理，但這種說法忽略了一個關鍵細節：多人同時中獎導致獎金被分攤。此時，精確計算期望值就需要考慮所有的可能情形：獨中頭獎概率×全額獎金+兩個人平分頭獎的概率×半數獎金+三個人平分頭獎的概率×1/3的獎金......

不過，這樣精確的計算是否有意義？既然中頭獎本身已是概率極低的事件，那么同一期出現兩名頭獎得主的概率是否更是低到可以忽略不計？這種直覺在獎池較小、購彩人數較少時或許成立——比如當獎池僅有2000萬美元時，多人同時中獎的概率確實微乎其微。但在一些關鍵時刻，現實往往違反直覺：當銷售額達到數億量級時，頭獎“撞車”的概率其實相當高。

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以2016年為例，彼時頭獎金額有史以來首次突破10億美元（最終為15.6億），引發了美國全民購彩狂潮，單期銷量飆升至6.35億張（達當年平均銷量的20倍）。這種情況下，出現多名頭獎得主的概率超過了60%！事實上，最終的確有三名得主瓜分了當期獎金。而即使是如此龐大的獎金池，在平分頭獎、抽稅和小額獎項的疊加影響下，其收益期望值仍為負數。

此外，60%分攤頭獎的概率源自人們完全隨機選擇號碼的假設，可事實并非如此。盡管所有號碼組合的中獎概率相等，但人們總傾向于選擇那些有意義的號碼組合，比如生日或紀念日（這導致有大量數字≤31），或者看似更隨機的奇數與非10的倍數。這種行為導致較小數字的獎池更容易“撞車”，而其他數字則相對“安全”，比如選擇大偶數與10的杰克·默塔是一位數學科普作家和謎題設計師，他為《科學美國人》撰寫數學趣聞專欄，也是《晨間簡報》（MorningBrew newsletter）每日謎題的創作者。默塔擁有美國哈佛大學理論計算機科學的博士學位。

倍數雖不會提升中獎率，卻能降低分攤獎金的風險。自2016年以來，購彩狂潮已逐漸消退。近年的兩大歷史級頭獎（2022年11月和2023年10月）因人們較為克制的購買欲望，在計入稅費與分攤后短暫出現了正期望值，但這種情況極為罕見。美國某些州的地方性彩票因熱度較低，或許更易找到正期望值機會。

不過，請不要因此急著去彩票店掏空錢包。正數學期望值的確很有吸引力，但我還是想要提醒：即便如此，彩票依然是一項糟糕的“投資”。具有正期望值的彩票極為罕見，且存在一個關鍵限制：由于每期彩票的銷量數據在開獎前并不會公開，因此其實你并不能精確估算期望值。2016年的案例表明，更大的獎池可能對應著更小的期望值。所以本質上，對彩票期望值的估計本身也是一種賭博。

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然而，即使你有能力推算出購買人數，正期望值本身也并不代表“好的投資”。更根本的問題在于，期望值模型在涉及中等規模數額且概率顯著大于零的場景下能有效指導決策，但在像彩票這類極小概率、超大賠率的極端概率場景中，它的作用存在局限。

首先，期望值以長期重復行為為前提。當你在骰子游戲中押注100元，其實并不能單次就獲得16元的期望收益，你要么輸掉1元，要么獲得100元。只有不斷地押注，才能逐漸逼近16元的平均收益。但彩票中獎的極端稀缺性讓“長期平均”失去了意義。其次，金錢存在邊際效用遞減——第二個一億元帶來的快樂遠不及第一個。但期望值模型卻將每一元錢等值對待。類似的是，該模型也忽視了人類厭惡風險的心理：人們對損失的厭惡通常強于對收益的渴望。因此盡管期望值模型適用于概率系統的評估，卻無法簡單地適用于我們的人生決策。

最后，讓我們退出數學討論，回歸彩票的本質屬性——購買彩票其實更像是一場短暫體驗幻想的消費。研究表明，購彩行為增加了參與者在開獎前的期待幸福感。對人們來說，重要的不僅僅是彩票的結果，還有參與這項游戲本身。人生難免有非理性支出，而消費彩票的錢也并非毫無意義，反而具有特殊的社會功能：彩票收入多用于教育、扶貧、養老及醫療救助等民生領域，同時也為國家提供了一定的財政稅收。所以，盡管從數學理性出發，我無法推薦你去購買彩票，但幸福的生活也不全然依靠數學指導。

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