輔導數學作業

從入門到放棄

今天，超模君打算說一個不開心的事，讓大家開心一下。

前兩天超模君在知乎熱搜上看到這么一個問題：“教兒子減法，個位不夠要向十位借，兒子問「十位不肯借怎么辦」該如何回答？”。

超模君瞬間回憶起了，輔導表妹做作業的日子。相信很多家長也是一樣吧？

當初表妹學加減法時，也問過類似的問題：

“為什么要向十位借呢？”

“你怎么知道十位有呢？”

“十位不肯借怎么辦？”

天知道超模君都經歷了什么。好了，正片開始。

老師家長的噩夢

我們都知道：當兩個數相減，被減數的個位不夠減時，往前一位借位，相當于給這位數加上10，再進行計算。

其實“借”十位這個說法并不是特別準確，畢竟借了后面也沒有還。在數學上，叫“退位減法”，也叫“借位減法”。

表妹當時問的是這么一個題目：15-6=？

超模君一開始沒有當回事，說：“找十位的1借一下就好了啊。”

表妹恍然大悟：“原來還有這個操作。大師，我悟了！”

然后她把算出來的結果給我看：15-6=0

超模君：……How？Why？What？

表妹：你說借一下的啊。我把1借給了5，那不就是5+1=6，然后6-6=0嘛。前面的1都被借走了，十位空著了不就是0嘛？

沒辦法，超模君只能拿出了加減法教學的神器：綠色小棒棒。

首先，要計算的是15-6，那么上下一比劃，很明顯15-6不可能等于0，正確答案應該是9才對。

表妹說這個當然知道，不過還是不能理解“借”十位的概念。

那我們繼續擺這些小棒棒。

首先，15=10+5，因次我們把十根小棒棒捆在一起，再列出剩下的五根。很明顯，多出的五根小棒棒減不了六根小棒棒。

表妹一拍大腿：我懂了。所以說從十根小棒棒那里借一根來和六減，這樣6-6=0，然后還剩下九根，所以15-6=9對不對？

超模君搖頭，并讓她注意兩件事。

第一，以后拍大腿拍自己的大腿，不要拍表哥我的。

第二，借位不是這樣借的。

個位向前面的十位借的1不是單純的一個1，應該是借1*10=10。比如這里的15-6，5＜6減不了。5向1借的時候是借了一個10，這樣原來的5就變成了10+5＞6。

然后10-6=4，接著4+5=9.，最后得出15-6=9。

表妹聽完后，還是有點懵：說來說去最后還是數字，有沒有更淺顯易懂的直觀做法？

怎么會沒有呢？不用小棒棒，我們可以還有自己的兩只手。

首先，我們用右手代表十位，左手代表個位，然后給兩只手設定一下各自代表的數值。

比如要計算12-9，那么先擺出一個“15”的手勢來，右手一個手指代表十位上的“1”，左手代表個位做出一個“2”的手勢。

2是減不了9的，所以這時候就找十位去借。找十位借，就借了個10來減9，那么10-9=1。這個時候，左右增加了一根手指。

于是可知12-9=3。采用這種手勢，能夠比較直觀地清楚“借十位”的概念。

表妹點點頭：那如果被借位是0怎么辦？比如202-14怎么算？

那也很簡單，如果被借的是0，那它自己都沒有，只能繼續借。十位沒有，就找百位。百位的2通過十位借給了個位后，按上述的做法就是（10+2）-4=8。

然后十位上的0退一位得9，百位的2退一位得1，于是1-0=1，9-1=8。所以202-14=188。

表妹表示理解了，然后問我2020-1024最后是多少。

超模君只能按照剛剛的算法，給她演示了一遍。

得出的結果是996……

表妹你想說什么？

如果十位不肯借怎么辦？

在知道了借位減法后，表妹有點委屈的樣子：十位太辛苦了，個位不夠要自己借，自己不夠也要去借。

然后是那句直擊靈魂的疑問：如果十位不肯借怎么辦？

雖然聽到這個問題，超模君的內心只想到了：ca……一種植物的名稱。

但這樣的問題還是難不倒我的。

超模君如是說：從博弈論的角度來說，十位肯定會借的。

于是我跟她講了一個故事。

兩個同案犯關在不同的牢房。如果一方出賣對方，而另一方沉默，那么坦白者可以釋放，另一個會獲刑10年。如果雙方都講義氣，保持沉默，則各自獲刑1年。要是雙方互相背叛揭發，那么各自獲刑8年。

我們用C代表背叛，D代表合作。整理成表格就是：

可以看出，如果兩個囚徒共同合作，選擇了策略CC，大家只坐一年牢即可。皆大歡喜。

但是如果信息不公開，互相攻擊搞零和博弈，互相揭發背叛，那么就做不到利益最大化。

這說明了：在信息不公開的情況下，個體追求最大利益的理性卻導致雙方實際得到的收益并非最大。相反，當信息公開后，理性人很有可能會尋求合作達到最優解。

所以如果十位不借給個位，這就是不肯讓渡自己的利益。個位減不了，整個算式就算不了，不能實現集體利益的最大化。

數學是理性的，所以數字們也都是理性的。加上做數學題時，所有信息都是公開的。他們會知道怎么做最好。因此十位肯定會借！

在這樣的攻勢下，表妹恍然大悟。

她說：表哥，你早點用這個理論教我不就好了！不就是subgame perfect Nash equilibrium（完美子博弈納什均衡）嘛。

表妹你是真不懂還是假不懂？

各位家長們，學會了嗎？

其實“借”這個說法并不是特別準確，畢竟借了后面也沒有還。在數學上，叫“退位減法”，也叫“借位減法”。

在全世界范圍內，如何解釋“退位減法”一直是教育界的一大難題。我國著名教育家顧泠沅就曾和外國學者做過一個實驗，發現四個國家的小學生學習“退位減法”時，只有中國的小學生能夠理解。但也僅僅是“20以內加減自動化”。

這么看來，超模君和各位家長們被折磨得也不算冤枉，如果家長讀者有同感的，可以點贊讓我能看到你們。

當然了，如果有些孩子比較有個性，還是堅持說：“如果十位還是不肯借怎么辦？”

那么請跟十位報上超模君的大名，他一定肯借。耶穌都攔不住他，我說的。

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簡介：超模君，數學與交叉科學教育自媒體博主，中大數學博士，有倆崽崽和一潔癖的太太。愛分享有用的數學建模知識，愛深挖有趣的交叉科學人物故事，愛為靠譜的現代教育、提升幸福感的產品打call。著有 《芥子須彌·大科學家的小故事》、《數學之旅：閃耀人類的54個數學家》、《漫畫數學：閃耀人類的54個數學家》、《一份鐘數學》 （已售罄）、《薛定諤的貓：漫畫大科學家的小萌寵》（已售罄）、超模君幽靈魔方、超模君丙烯馬克筆等廣受大人與孩子們喜愛的作品。

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