Steering an Eigenstate to a Destination

精準操控量子態，量子計算的關鍵技術

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.85.1626

在量子力學中，精密測量和應用通常依賴于對量子態的精心制備和受控演化 [1]。一種常用的相干控制方法是通過施加精確設計的交流脈沖來實現的 [2]，此外，也有大量關于量子態最優控制的理論研究文獻 [3]。絕熱跟隨原則上是另一種通用的相干控制方法 [4]，最近已被用于將超冷原子制備在特定的布洛赫能帶中 [5]。這種方法的關鍵在于哈密頓量的時間演化必須足夠緩慢，并且可能會因為非絕熱躍遷而產生一些損耗 [6]。

在本論文中，我們展示了如何實現這樣一個目標：在沒有任何非絕熱躍遷的情況下完成量子態的絕熱切換——初始本征態在哈密頓量演化結束時仍然保持為最終時刻的本征態。為了表述簡潔以及廣泛的應用前景 [7,8]，我們將問題放在一個兩能級系統或等效地一個自旋-1/2在磁場中的背景下進行討論。我們證明，即使磁場被限制在一個平面內，也可以始終實現絕熱切換；并且當某一磁場分量從 -∞ 到 +∞ 掃過，而其他分量保持不變時，可以通過類似Zener型的哈密頓量實現完全的自旋反轉。我們還討論了如何在實際中應用我們的結果。我們認為“本征態操控”這一概念不應局限于兩能級系統，但將其推廣到三個或更多能級的情況將留待未來的論文中進行。

基礎討論部分 —— 我們從一些基本方面入手，對兩能級系統的控制問題進行一般性的討論，以設定我們方法的范圍和策略。我們將采用逆解薛定諤方程或海森堡運動方程的方法，同時在后續逐步加入哈密頓量的各種物理約束條件。此前使用這種方法的研究已取得了豐碩成果，例如發現了廣義旋轉波態的精確解 [9] 和演化環 [10]。一種密切相關的方法被稱為“追蹤法”（tracking）[11]。

兩能級哈密頓量的最一般形式可以寫成 [12]

其中 1 是 2×2 的單位矩陣，σ 是泡利矩陣，而 B 是時間的實函數。態的時間演化可以完全由一個與時間有關的么正矩陣 U 來描述，并且人們可以逆向求解薛定諤方程，以找出能夠產生這種演化的哈密頓量。

這個故事似乎用一行就講完了。然而，對于許多應用來說，人們只關心對單個態的控制，甚至可能并不在意該態的整體相位。這將為哈密頓量的選擇留下一些設計自由度，從而可以用來滿足裝置的物理約束條件，或實現某些優化目標 [13]。

一個態的兩個分量一般可以寫成 [12]

其中 a 、b 和 g 是時間的三個實函數。在物理上，a 和 b 分別是平均自旋矢量（布洛赫矢量）的極角和方位角 [12]

而 g 是整體相位。顯然，哈密頓量的四個參數無法由波函數的三個參數唯一確定。人們可以任意設定一個與時間有關的 B? ，而哈密頓量的其余參數則由以下方式給出：

對自旋角度 a 和 b 的控制可以不涉及整體相位 g 以及哈密頓量的標量部分 B? 。利用海森堡運動方程，可以得到 [12]

其中 B = (B?, B?, B?) 是磁場（力矩矢量），該方程也被稱為布洛赫方程。
運動方程的一個守恒量是平均自旋的大小 r ，實際上，對于純態來說，這個值等于 1 [14]。
如果人們感興趣的是由同一磁場驅動的兩個自旋矢量（兩個態）的同時運動，那么自旋之間的夾角也是運動方程的一個守恒量。
這種剛體轉動可以完全由三個歐拉角來描述，這三個歐拉角也應該完全決定磁場的三個分量 [9]。
然而，在這里我們關注的是對單個態的控制，此時磁場 B 的一個通解可以寫為：

其中涉及一個與時間有關的自由參數 f 。那么，f 的物理意義是什么？

如果觀察者在一個以角速度 Ω 旋轉的參考系中觀察 r 的運動，則等效場會變為 B' = B + Ω [15]。
如果選擇的參考系由正交軸 r 、? 和 r × ? 張成，則角速度為 Ω = r × ? ，此時等效場為 B' = f r 。

換句話說，在隨自旋矢量一起運動的參考系中，等效場完全沿著自旋方向，其大小和符號由 f 給出。

那么，當 f = 0 時，場的解（7）具有什么樣的物理意義？
它的物理意義是：這種場可以被理解為在旋轉參考系中由慣性力所模擬出的一種場。

這樣的場必須滿足什么樣的約束條件？

由于 B = ? × r 和 ? = ??r × r 都垂直于 r ，所以向量 B × ? 必須與 r 平行。
因此，如果我們計算 B × ? 的單位向量的時間導數，其結果的大小必須等于 |?| = B ，即：

其中 y = |?| 是沿單位矢量 n(t) 曲線的運動速度，而s = ∫ dt y 是該曲線的弧長變量。上述條件意味著：場 B 的大小必須等于其方向單位矢量所形成的曲線的速度與測地曲率的乘積。

平面場（Planar fields） —— 自由參數 f 可用于滿足實驗中的物理約束。一個在實際中非常有趣的情況是：磁場被限制在一個平面內 [7,8]。不失一般性，我們設該平面為 x-y 平面 。在 Eq. (7) 中，條件 B? = 0 確定了參數 f = ?? sin a tan a 。
此時，磁場的另外兩個分量則被確定為：

這些表達式在除了赤道 a = π/2 以外的任何地方都是光滑的。因此，任何完全局限于北半球或南半球內的自旋運動都可以由一個完全位于赤道平面上的磁場生成。這一結果可能對雙勢阱中動力學局域化問題有一定的啟示意義，這類問題通常被建模為一個兩能級系統（每個勢阱對應一個能級）[16]。

在有限平面場作用下，自旋的運動必然受到一定限制：當它穿過赤道面 a = π/2 時，? 必須為零。這意味著，如果自旋以一個有限速率穿過赤道（即 ? ≠ 0 ），那么其軌跡在赤道處必須是垂直的（即 da/db = ? / ? = ±∞ ）。然而，如果自旋以趨于零的速率接近赤道（即 ? = 0 ），則軌跡不必是垂直的，甚至可以與赤道相切。

無論如何，如果人們只關心從某個特定初始態到達一個目標末態，那么使用平面場已經足夠。有一個普遍定理 [17] 表明，幾乎所有的態旋轉都可以通過依次施加兩個不同方向的場來實現，而我們的解表明，僅用兩個分量隨時間光滑變化的場也可以實現同樣的效果。

接下來，我們希望尋找一些控制問題的解，這些解對初始和末態的場方向有額外的要求。

假設自旋最初固定在一個方向上，且此時磁場也指向該方向。是否有可能在磁場逐漸旋轉到另一個方向的過程中，將自旋引導到該方向上？根據絕熱定理，只要磁場旋轉的速度始終遠小于其大小（該大小給出了兩個絕熱本征態之間的能量差 [4,6]），那么這種引導是可以實現的，誤差最多是指數小的。然而，也有可能設計出沒有任何非絕熱修正、且磁場旋轉速度不一定很慢的解。

為了實現這一點，可以簡單地指定一種在初始和末態時刻滿足 ? = 0 的自旋運動，并利用 Eq. (7) 中的逆解法求得所需的時變磁場。然而，當存在對磁場的約束時，這種方法并不奏效。對于磁場被限制在某一平面上的情況，文獻 [7] 的 Eq. (4.49) 給出了具有所需性質的一個精確解。在這里，我們展示一種獲得此類解的一般方法，該方法要求在初始和末態時刻滿足 a → π/2，b → u ，其中 u 是磁場相對于 x 軸的角度。

為了使這些條件更加簡潔，我們將 Eq. (10) 用磁場的極坐標形式重新寫出：

其中 a? = da/db 。Eq. (12) 中時間導數的消失表明，磁場的角度是軌跡的一個幾何性質：即只要知道 a 作為 b 的函數，就可以知道 u 作為 b 的函數，而無需考慮 b 如何隨時間變化 [18]。

因此，“當 b → u ”這一條件可以表示為軌跡的一個幾何條件：a? cot a → 0 ，當 b → u? （其中 u? 是初始和末態的磁場方向角度）時成立。

如果 |a ? π/2| 在 |b ? u?| → 0 時以 |b ? u?|^p?2 的方式趨于零，則上述條件等價于 p?2 < 1/2 ，即 p < 1 。

在文獻 [7] 所給的例子中，實際上對應了一種自旋軌跡形式：sin b tan a = 常數 ，這對應于 b? = 0, π ，并且 p = 1 。

類Zener模型（Zener-like models） ——
現在我們再對哈密頓量施加一個物理約束：只有一個磁場分量可以隨時間變化。

在典型的絕熱躍遷問題——Zener問題 [6] 中，哈密頓量的參數可以寫成：

• B? = D
• B? = γ t
• B? = 0

此時磁場方向角為：u = tan?1(γt / D) ，極角和方位角 a、b 可以用拋物柱函數表示。

如果初始時刻（t = ?∞ ）自旋沿著磁場方向，則在終態時刻（t = +∞ ）它將偏離磁場方向一個角度：

2 sin?1{exp(?πD2 / 2?γ)} ，

這表示存在有限的非絕熱躍遷概率。

相比之下，我們將展示：構造一種類似的哈密頓量是可能的，并且其總的非絕熱激發完全為零 [19]。

我們的模型哈密頓量具有如下形式：

• B? = 0
• B? = 常數（記作 D）
• B?

  單調地從 ?∞ 變化到 +∞ ，變化方式類似于 Zener 模型。

我們希望構造出滿足以下條件的軌跡：

在初始和末態時刻，有 a → π/2 和 b → ±π/2 ，這表示自旋完全反轉，與磁場方向相反。

例如，滿足這些條件的一族軌跡（如圖1所示）可以定義為：

sin a = exp[?ε cos(qb)] ，其中 ε > 0 ，q > 1 ，

這里 q > 1 的條件來自于前面提到的 p < 1 的要求。

接下來，磁場分量 B? 的行為就被唯一確定了。根據 B? = B cos u = D 以及 Eq. (11) 和 Eq. (12)，我們可以得到：

應用（Applications） ——
最后，我們討論本研究可能的應用場景。

在量子信息領域，一個基本操作是量子比特（qubit）的旋轉 [20]，也就是從一個量子態到另一個量子態，或者到達它們的某種疊加態的轉變，這通常通過施加精確設計的交流脈沖來實現。

如果該量子比特在物理上是由一個自旋表示的，那么我們的方法直接展示了如何按照期望進行旋轉，并且還有一個額外的優勢：在初始和末態時刻，自旋與磁場方向對齊，從而在操作開始和結束時免受諸如噪聲和耗散過程等小擾動的影響。

如果量子比特是由一個兩能級原子表示的，則需要照射一個激光，其頻率從遠低于共振頻率連續掃頻到遠高于共振頻率，以實現我們提出的類似Zener的模型。

在旋轉波參考系中，并在旋轉波近似下，這個問題可以有效地簡化為我們提出的自旋模型，其中磁場的一個分量由失諧量給出，另一個分量由偶極耦合振幅給出 [7]。

另一個應用方面，人們可以利用我們的方案來改進光晶格運動的設計，從而將冷原子加速到高速。

光加速方法已被用于將原子制備到合適的初始條件，并用于觀察凝聚態物理中的一些經典量子效應 [5]。

在恒定加速度下，原子有一定的概率通過隧穿離開一個布洛赫能帶。這種隧穿由兩個能帶之間避免交叉處的能隙主導，并且可以用Zener模型進行有效分析：其中 B? 為能隙，B? 隨時間以與加速度成正比的恒定速率變化。

根據我們對 B?(t) 的設計，通過隨時間調整加速度，應該可以完全抑制這種隧穿過程。

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.85.1626