近日，當(dāng)代最著名數(shù)學(xué)家之一、菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒（Terence Tao）做客了萊克斯·弗里德曼（Lex Fridman）的播客節(jié)目。在這場(chǎng)長(zhǎng)達(dá)三個(gè)多小時(shí)的深度對(duì)話中，陶哲軒分享了他對(duì)數(shù)學(xué)、物理、人工智能乃至現(xiàn)實(shí)本質(zhì)的諸多思考。這場(chǎng)訪談信息量巨大，不僅探討了諸如納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）、P/NP 問題和黎曼猜想（Riemann Hypothesis）等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“圣杯”，還將話題延伸至人工智能如何重塑數(shù)學(xué)研究的未來。

圖丨相關(guān)訪談（來源：Lex Fridman）

在訪談中，陶哲軒談到了解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的一種實(shí)用策略，他稱之為“策略性作弊”。具體來說，就是面對(duì)一個(gè)包含多個(gè)難點(diǎn)的問題時(shí)，研究者會(huì)先暫時(shí)忽略大部分困難，集中精力攻克其中一個(gè)。通過這種方式逐一解決，最終再將各個(gè)部分的解法整合起來。

與此同時(shí)，陶哲軒詳細(xì)闡述了他對(duì)人工智能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域潛力的看法。他分享了自己使用證明助手語言 Lean 的親身經(jīng)歷，并坦言，盡管 AI 目前在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的能力如同一個(gè)“有時(shí)不太可靠，但能力超群”的研究生，但它正推動(dòng)著數(shù)學(xué)研究范式的轉(zhuǎn)變。他預(yù)言，在不遠(yuǎn)的將來（甚至有可能是 2026 年），AI 將能夠與人類數(shù)學(xué)家合作發(fā)表研究級(jí)別的論文。這種合作模式將徹底改變數(shù)學(xué)的協(xié)作方式，使得大規(guī)模、分布式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為可能。

此外，陶哲軒也談到了他對(duì)一些著名猜想的看法。他認(rèn)為孿生素?cái)?shù)猜想（Twin Prime Conjecture）在未來十年內(nèi)可能會(huì)有重大突破，但對(duì)于黎曼猜想，他則坦言目前尚無線索。他強(qiáng)調(diào)，這些難題的核心在于“結(jié)構(gòu)”與“隨機(jī)”的對(duì)立，而數(shù)學(xué)的本質(zhì)正是在這兩種看似矛盾的力量之間尋找深刻的聯(lián)系。

以下是經(jīng)過整理編譯的對(duì)話全文

第一個(gè)難題

萊克斯：

你遇到的第一個(gè)真正意義上困難的研究級(jí)數(shù)學(xué)問題是什么？有沒有一個(gè)讓你真正停下來、卡住的時(shí)刻？

陶：

在本科學(xué)習(xí)中，我們會(huì)接觸到一些“公認(rèn)很難”的問題，比如黎曼猜想、孿生素?cái)?shù)猜想。這些問題可以人為地制造出極高的難度——因?yàn)槲覀兩踔林烙行﹩栴}是不可解的。但真正有趣的是那些處在“邊界地帶”的問題：它們不是完全絕望，但也遠(yuǎn)非輕松。現(xiàn)有技術(shù)可以解決其中的 90%，但最后那 10% 才是真正棘手的部分。

我想，在我讀博士期間，掛谷問題（Kakeya Problem）無疑吸引了我的注意。而且它最近剛剛被解決了。這是我早期研究中投入了大量精力的一個(gè)問題。

圖丨證明掛谷集合猜想的王虹（來源：NYU）

這個(gè)問題最早源于日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）1918 年左右提出的一個(gè)小謎題：設(shè)想在平面上有一根針（可以想象成一輛車），你想讓它掉頭——也就是做一個(gè) U 形轉(zhuǎn)彎——并且你想用盡可能小的面積來完成這個(gè)轉(zhuǎn)向。你可以無限靈活地操控這根針，比如讓它原地旋轉(zhuǎn)。作為單位長(zhǎng)度的針，如果你繞中心旋轉(zhuǎn)，所需的面積大約是 π/4?；蛘吣憧梢宰鲆粋€(gè)三點(diǎn)調(diào)頭，這個(gè)方式更高效些，所需面積大約是 π/8。

一開始，人們以為這是最節(jié)省空間的方法。但別西科維奇（Besicovitch）證明，其實(shí)可以構(gòu)造一種復(fù)雜的、多次反向旋轉(zhuǎn)的軌跡，使得你能在任意小的面積內(nèi)完成掉頭——比如 0.01 的面積。關(guān)鍵是，這根針在這個(gè)過程中還會(huì)經(jīng)過所有方向。

這個(gè)構(gòu)造是在二維平面里完成的，我們對(duì)二維的理解已經(jīng)很充分了。那么下一個(gè)自然的問題是：在三維空間中會(huì)發(fā)生什么？

想象一下哈勃太空望遠(yuǎn)鏡，它是一個(gè)懸浮在太空中的管狀物體。你想用它觀察宇宙中每一顆星星，就需要讓它轉(zhuǎn)向每一個(gè)可能的方向。假設(shè)空間資源非常緊張，那么你希望在盡可能小的體積內(nèi)完成這個(gè)“方向遍歷”。這個(gè)體積最小能有多?。?/p>

你可以對(duì)別西科維奇的二維構(gòu)造做一個(gè)簡(jiǎn)單修改：如果你的望遠(yuǎn)鏡是零厚度的，那么理論上你仍可以用任意小的體積完成任務(wù)。但問題在于——如果你的望遠(yuǎn)鏡并非完全沒有厚度，而是有一個(gè)非常小的厚度 δ，那要實(shí)現(xiàn)對(duì)所有方向的遍歷，所需體積的最小值會(huì)是多少？

隨著 δ 越來越小，也就是望遠(yuǎn)鏡變得越來越細(xì)，所需體積確實(shí)會(huì)變小。但這個(gè)體積減少的速度是怎樣的？猜想是，它會(huì)非常緩慢地下降，大致是對(duì)數(shù)級(jí)的。這個(gè)猜想后來在經(jīng)歷大量工作之后被證明成立。

表面上看，這像是一個(gè)“幾何小謎題”。但它的有趣之處在于，它和偏微分方程、數(shù)論、幾何、組合等許多領(lǐng)域都有出人意料的聯(lián)系。

舉個(gè)例子，在波傳播問題中：你把水?dāng)噭?dòng)一下，就會(huì)產(chǎn)生朝各個(gè)方向傳播的水波。但波動(dòng)本身既有粒子特性，也有波動(dòng)特性。你可以得到所謂的“波包”（wave packet）：它在空間上高度局部化，并沿某個(gè)方向傳播。

在時(shí)空?qǐng)D中，這種波包會(huì)占據(jù)一個(gè)類似細(xì)長(zhǎng)管子的區(qū)域。某些情況下，一開始分散的波會(huì)在稍后的某個(gè)時(shí)間點(diǎn)聚焦到一個(gè)點(diǎn)上。比如你往池塘里扔一顆石子，水波會(huì)向外擴(kuò)散。但你也可以設(shè)想時(shí)間反演的情景：水波從四面八方匯聚到一個(gè)點(diǎn)，在那里形成一個(gè)巨大“水花”——甚至可能形成奇點(diǎn)。

如果你把這種波看作是光波，可以把它看作是無數(shù)個(gè)光子疊加而成，這些光子都沿光線前進(jìn)，并最終匯聚到某一點(diǎn)。因此，最初非常分散的波可以聚焦到某個(gè)極小區(qū)域，并在時(shí)空中達(dá)到極高濃度，然后再重新發(fā)散。

但如果掛谷猜想有一個(gè)否定的答案，也就是說，如果真的存在一種極其高效的方式，可以把朝各個(gè)方向的“管狀物”都塞進(jìn)一個(gè)極小的體積中，那么我們就有可能制造出一種非常特殊的波動(dòng)結(jié)構(gòu)：它們一開始非常分散，但后來不僅會(huì)聚焦到一個(gè)點(diǎn)，還會(huì)在多個(gè)時(shí)空點(diǎn)集中出現(xiàn)能量聚焦現(xiàn)象。

這樣就可能造成所謂的“blowup”（爆破型奇異性）：波的振幅會(huì)變得極大，以至于原本描述它們的線性波動(dòng)方程不再成立，需要使用更復(fù)雜的非線性方程來描述這個(gè)系統(tǒng)。

納維-斯托克斯奇點(diǎn)

陶：

在數(shù)學(xué)物理中，我們非常關(guān)心某些波動(dòng)方程是否穩(wěn)定，是否會(huì)形成所謂的奇點(diǎn)。有一個(gè)著名的未解問題叫做納維-斯托克斯正則性問題。納維-斯托克斯方程是支配像水這樣的不可壓縮流體流動(dòng)的方程。這個(gè)問題在問：如果你從一個(gè)平滑的初始速度場(chǎng)出發(fā)，是否可能在某個(gè)點(diǎn)速度變成無窮大？這就叫做“奇點(diǎn)”。我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中并不會(huì)觀察到這種情況，比如你在浴缸里攪動(dòng)水，它不會(huì)突然爆炸，或者以光速噴涌而出，但理論上這類現(xiàn)象是有可能發(fā)生的。

事實(shí)上，近年來學(xué)界的共識(shí)逐漸傾向于認(rèn)為，對(duì)于某些非常特殊的初始狀態(tài)，可能確實(shí)會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)。盡管如此，目前還沒有人真正證明這一點(diǎn)?？死讛?shù)學(xué)研究所設(shè)立了七個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題，為解決其中任何一個(gè)問題提供 100 萬美元的獎(jiǎng)金，這就是其中之一。在這七個(gè)問題中，只有一個(gè)被解決了，那就是龐加萊猜想（Poincaré Conjecture）。雖然掛谷猜想與納維-斯托克斯問題沒有直接關(guān)系，但理解它會(huì)幫助我們理解波動(dòng)集中等現(xiàn)象，從而間接幫助我們更好地理解納維-斯托克斯問題。

萊克斯：

你能談?wù)劶{維-斯托克斯問題本身嗎？就像你說的，它是一個(gè)關(guān)于平滑解是否存在的千禧年難題。你在 2016 年曾發(fā)表論文《三維納維-斯托克斯平均方程的有限時(shí)間爆破》，對(duì)該問題有不少進(jìn)展。通常我們認(rèn)為納維-斯托克斯方程不會(huì)爆破，但我們能否確定它永遠(yuǎn)不會(huì)爆破呢？

圖丨相關(guān)論文（來源：arXiv）

陶：

沒錯(cuò)。這確實(shí)是那個(gè)價(jià)值百萬美元的問題。數(shù)學(xué)家與其他人最大的不同在于：即使某件事 99.99% 成立，對(duì)大多數(shù)人來說就足夠了。但數(shù)學(xué)家在意的是，是否對(duì) 100% 的情形都成立。所以雖然絕大多數(shù)時(shí)候流體不會(huì)爆破，但是否存在一種特別的初始狀態(tài)能讓它爆破呢？

萊克斯：

我們或許應(yīng)該說明一下，這是一組支配流體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的方程，試圖理解流體的行為。而流體是一種極其復(fù)雜、難以建模的對(duì)象。

陶：

是的，所以它具有實(shí)際重要性。這個(gè)克雷獎(jiǎng)問題關(guān)注的是所謂的不可壓縮納維-斯托克斯方程，主要涉及像水這樣的流體。還有可壓縮納維-斯托克斯方程，例如描述空氣流動(dòng)的，這在天氣預(yù)報(bào)中尤為關(guān)鍵。天氣模型大量依賴于對(duì)納維-斯托克斯方程的數(shù)值求解，同時(shí)也要收集大量數(shù)據(jù)來作為初始條件輸入。這是一個(gè)系統(tǒng)性工程。

萊克斯：

為什么證明關(guān)于這組方程的普適性質(zhì)，比如它不會(huì)爆破，會(huì)如此困難？

陶：

簡(jiǎn)單來說，是麥克斯韋妖（Maxwell's Demon）。這是熱力學(xué)中的一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)：設(shè)想你有一個(gè)裝有氧氣和氮?dú)獾南渥?，氧氣在一邊，氮?dú)庠诹硪贿?，中間沒有隔板。它們自然會(huì)混合，而且一旦混合，就不太可能重新分離。但在原則上，可能存在某種“麥克斯韋妖”的機(jī)制，使得每次氧分子與氮分子碰撞時(shí)，它們都會(huì)以某種方式反彈，從而使得氧氣重新聚集一側(cè)，氮?dú)饩奂硪粋?cè)——極其不可能，但數(shù)學(xué)上無法排除。

這種“極端但可能”的情形在數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)。比如圓周率 π 的數(shù)字 3.14159……這些數(shù)字看起來沒有規(guī)律，我們相信它們是無偏的，也就是說從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，每個(gè)數(shù)字（0 到 9）出現(xiàn)的頻率應(yīng)相等。但或許在某處存在一個(gè)“π 妖”，使得每次多算幾位時(shí)，某個(gè)數(shù)字被偏好。沒有理由發(fā)生這種事，但我們也沒法證明它絕對(duì)不會(huì)發(fā)生。

回到納維-斯托克斯問題：流體有能量，而運(yùn)動(dòng)中的流體會(huì)把能量傳遞到不同位置。而由于水具有粘性，當(dāng)能量分布較均勻時(shí)，粘性就會(huì)將其耗散。我們實(shí)驗(yàn)時(shí)也是如此：水的波動(dòng)、渦旋會(huì)逐漸平息。但理論上也可能存在某種“妖”，它不斷將流體的能量向更小的尺度推進(jìn)，使局部速度越來越快。而當(dāng)速度變快時(shí)，粘性的影響相對(duì)變小。所以有一種可能性：形成所謂的“自相似能量團(tuán)”情景（self-similar blob scenario）——能量原本分布在一個(gè)大尺度區(qū)域，然后被集中轉(zhuǎn)移到一個(gè)較小的區(qū)域，再以更快的速度進(jìn)入更小的區(qū)域，如此反復(fù)。

每次轉(zhuǎn)移耗時(shí)可能只有前一次的一半，那么整個(gè)過程會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)完成，即能量最終在一個(gè)點(diǎn)無限集中，這就是所謂的“有限時(shí)間爆破”（finite time blowup）。

在實(shí)際中，這種現(xiàn)象沒有發(fā)生。水是“湍流”的，也就是說如果你有一個(gè)大的旋渦，它確實(shí)會(huì)破碎成幾個(gè)小旋渦，但能量不會(huì)全部集中到一個(gè)小旋渦中，而是會(huì)分散成三四個(gè)，然后再細(xì)分為更多小旋渦。能量的分散使得粘性得以發(fā)揮作用，從而穩(wěn)定系統(tǒng)。但如果能量被集中得足夠快，使得粘性來不及起作用，那么就有可能發(fā)生爆破。

過去有很多論文聲稱，只要用能量守恒和粘性項(xiàng)就能控制住系統(tǒng)，不只是對(duì)納維-斯托克斯，對(duì)很多類似的方程都適用。人們?cè)噲D證明所謂的“全局正則性”（global regularity），也就是反過來否定“有限時(shí)間爆破”，即速度場(chǎng)始終保持光滑。但這些嘗試全都失敗了。總是會(huì)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤或一些微妙的問題，導(dǎo)致不可修補(bǔ)。

我感興趣的是：我們?yōu)楹我恢睙o法證偽“有限時(shí)間爆破”？我沒法直接在納維-斯托克斯方程上操作，因?yàn)樗珡?fù)雜。但我可以對(duì)其運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行“平均化處理”，也就是人為關(guān)閉某些類型的流體相互作用，只保留我想研究的部分。

我基本上是在“工程化”地制造一個(gè)爆破，通過改變物理規(guī)律來實(shí)現(xiàn)——這是數(shù)學(xué)家被允許做的事情，我們可以改寫方程。

這在數(shù)學(xué)中被稱為構(gòu)造阻礙（obstruction）。我做的事情是：關(guān)閉方程中的某些部分。通常關(guān)閉某些非線性交互項(xiàng)會(huì)讓系統(tǒng)更“溫順”，更容易控制，更不容易爆破。但我發(fā)現(xiàn)，通過精心設(shè)計(jì)地關(guān)閉一組特定交互項(xiàng)，我反而可以強(qiáng)制讓能量在有限時(shí)間內(nèi)爆破。這意味著：如果你想要對(duì)真實(shí)的納維-斯托克斯方程證明正則性（即不會(huì)爆破），那你必須使用那些我這個(gè)“人工方程”所不具備的特性。也就是說，我的構(gòu)造排除了一部分可能的證明路徑。

數(shù)學(xué)的精髓就在于，你不僅要找到能行得通的方法，更重要的是知道哪些方法永遠(yuǎn)行不通。對(duì)于那些真正難的問題，通常有幾十種看似合理的辦法，但只有在深入嘗試之后你才會(huì)意識(shí)到它們注定失敗。構(gòu)造這些“相似但失敗”的反例可以節(jié)省大量時(shí)間和精力，因?yàn)槟阋呀?jīng)知道某些方法在邏輯上根本無法奏效。

萊克斯：

這是否只與你所研究的流體動(dòng)力學(xué)問題有關(guān)，還是你在數(shù)學(xué)上發(fā)展出的一種更普遍的直覺？

陶：

是的，我的這種技術(shù)背后其實(shí)利用了一個(gè)關(guān)鍵現(xiàn)象，叫做超臨界性（supercriticality）。在偏微分方程中，很多問題其實(shí)是不同力之間的拔河比賽。比如在納維-斯托克斯方程中，一方面是粘性帶來的“耗散力”，它是線性的、可控的、會(huì)讓系統(tǒng)趨于穩(wěn)定；另一方面是“輸運(yùn)項(xiàng)”，能量從一個(gè)位置傳遞到另一個(gè)位置，它是非線性的，也正是產(chǎn)生所有問題的源頭。

納維-斯托克斯的兩個(gè)核心項(xiàng)就是：耗散項(xiàng)和輸運(yùn)項(xiàng)。如果耗散占優(yōu)勢(shì)，系統(tǒng)就會(huì)趨于平穩(wěn)，就有希望證明正則性；但如果輸運(yùn)項(xiàng)占優(yōu)勢(shì)，系統(tǒng)就變得不可預(yù)測(cè)，非常非線性，進(jìn)入湍流狀態(tài)。

在不同的空間尺度下，這種力量對(duì)比也會(huì)改變：可能在大尺度下還在平衡，在小尺度下就完全不平衡。納維-斯托克斯的問題在于它是一個(gè)超臨界方程：當(dāng)你觀察得越來越細(xì)時(shí)，輸運(yùn)項(xiàng)的影響變得遠(yuǎn)大于粘性項(xiàng)。

這就是問題難以解決的根本原因。相比之下，在二維空間里，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家拉德任斯卡婭（Ladyzhenskaya）在 60 年代就證明了不存在爆破。

圖丨拉德任斯卡婭（來源：Wikipedia）

那是因?yàn)樵诙S中，這個(gè)方程是所謂的臨界（critical）系統(tǒng)：輸運(yùn)與耗散在所有尺度下影響相當(dāng)。而我們已經(jīng)掌握了大量技術(shù)可以處理臨界或次臨界（subcritical）系統(tǒng)，進(jìn)而證明正則性。

但對(duì)超臨界系統(tǒng)，就很難說清楚。我的研究和許多后續(xù)工作已經(jīng)表明：一旦非線性效應(yīng)在小尺度上主導(dǎo)線性效應(yīng)，各種“糟糕的事”就可能發(fā)生。這也正是這套研究工作的關(guān)鍵洞察之一：超臨界 vs 臨界/次臨界，是決定一個(gè)方程“是否可控”的關(guān)鍵定性特征。

比如行星運(yùn)動(dòng)，它們的方程比較“溫順”、可預(yù)測(cè)，我們可以精確預(yù)測(cè)其數(shù)千年軌跡；但天氣預(yù)測(cè)為什么過不了兩周？就是因?yàn)榇髿庀到y(tǒng)是超臨界的，它在極小尺度上會(huì)發(fā)生各種難以預(yù)料的奇異變化。

萊克斯：

所以說，只要存在巨大的非線性源頭，就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)難以預(yù)測(cè)？

陶：

是的，尤其是當(dāng)這種非線性在越小的尺度上越“活躍”時(shí)，問題就更嚴(yán)重。并非所有非線性方程都難以處理——在很多情況下我們可以通過看系統(tǒng)的“整體行為”來近似局部結(jié)構(gòu)。

比如，如果你想研究月球或火星的軌道，你并不需要知道月球的地震波結(jié)構(gòu)或質(zhì)量分布細(xì)節(jié)。你幾乎可以把它們看作點(diǎn)質(zhì)量，其運(yùn)動(dòng)主要由整體重力決定。

但如果你想模擬流體，比如天氣系統(tǒng)，你不能只是說“洛杉磯的氣溫是 X，風(fēng)速是 Y”來近似整個(gè)系統(tǒng)。對(duì)于超臨界方程，微小尺度上的信息是極其關(guān)鍵的，你忽略不了。

萊克斯：

你曾提到過一種構(gòu)想，也許可以請(qǐng)你詳細(xì)解釋一下：你設(shè)想通過構(gòu)建一種“液體計(jì)算機(jī)”，從而將計(jì)算理論中的停機(jī)問題（halting problem）引入到流體動(dòng)力學(xué)中。也就是說，通過這種方式展示計(jì)算復(fù)雜性對(duì)流體行為的影響。你能講講這個(gè)思路嗎？

陶：

這個(gè)想法源自我之前構(gòu)造出一個(gè)平均方程會(huì)爆破的工作。為了做到這一點(diǎn)，一種天真的做法是：你每到一個(gè)尺度，就立即將能量推向下一個(gè)尺度，盡可能快地推進(jìn)。這種做法在五維及以上的空間維度中確實(shí)有效。但在三維中，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：如果你不斷將能量往更小的尺度壓縮，結(jié)果是能量會(huì)在多個(gè)尺度之間分散。也就是說，當(dāng)你將能量從一個(gè)尺度推向下一個(gè)時(shí)，雖然它剛進(jìn)入下一個(gè)尺度，但上一層仍有殘留的能量——你試圖同時(shí)推進(jìn)一切，這會(huì)導(dǎo)致能量過于分散。

而一旦能量分散過多，就會(huì)讓它更容易被粘性所抑制，從而失去爆破的可能性。所以這種“直接推進(jìn)”的方法在三維中不奏效。后來有其他研究團(tuán)隊(duì)專門寫了論文證明這一點(diǎn)。因此，我需要設(shè)計(jì)一種“延遲機(jī)制”，就像“氣閘”一樣：流體在一個(gè)尺度上活動(dòng)時(shí)，只有等它將該尺度的全部能量完整傳遞到下一尺度之后，才開啟通道進(jìn)入下一級(jí)。

通過這種方式，能量可以逐級(jí)向前推進(jìn)，而始終保持在一個(gè)特定尺度內(nèi)局部集中，從而避免被粘性效應(yīng)削弱。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，我不得不構(gòu)造一個(gè)非常復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)，它幾乎就像是一個(gè)電子電路的設(shè)計(jì)。我也很感謝我的妻子，她是電子工程專業(yè)出身，曾和我聊過如何設(shè)計(jì)電路。

比如你想要一個(gè)燈能按一定頻率閃爍，那你就得用電容、電阻等基本元件組合成某種結(jié)構(gòu)，畫成電路圖。這些電路圖可以通過“用眼睛追蹤電流”來理解其工作原理。于是我就模仿這些電路元件，構(gòu)造出數(shù)學(xué)上的對(duì)應(yīng)物，例如模擬“電容”或“電阻”等組件。然后將它們組合在一起，形成一個(gè)能夠定時(shí)打開或關(guān)閉“閘門”的結(jié)構(gòu)。整個(gè)系統(tǒng)就像一個(gè)數(shù)學(xué)版的魯布·戈德堡機(jī)器（Rube Goldberg machine）——復(fù)雜但可控。而這個(gè)設(shè)計(jì)最終確實(shí)起作用了。

這讓我意識(shí)到：如果你能用在真實(shí)的流體方程上做出同樣的事情，比如納維-斯托克斯方程真的能夠“支持”某種計(jì)算機(jī)制，那我們就可以構(gòu)建一種“液體朋克”風(fēng)格的系統(tǒng)。我們現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)是由電子在細(xì)小電路中流動(dòng)實(shí)現(xiàn)的，而這里，我們?cè)O(shè)想的是讓水流脈沖充當(dāng)信息載體。

你可以想象兩種水流配置，分別表示“比特 1”與“比特 0”。如果兩個(gè)水流“碰撞”后得到的輸出狀態(tài)是可預(yù)測(cè)的，那么這個(gè)碰撞就可以實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算，比如“與門”“或門”等。將它們串聯(lián)起來，你就可以構(gòu)建出圖靈機(jī)。這臺(tái)機(jī)器完全由水組成，是一種“流體計(jì)算機(jī)”。

再進(jìn)一步，如果你能用水來控制機(jī)器的形態(tài)，就像液態(tài)機(jī)器人，你甚至可以制造一種馮·諾依曼機(jī)（von Neumann machine）。

圖丨馮·諾伊曼架構(gòu)（來源：Wikipedia）

馮·諾依曼曾提出一種理論：如果你想殖民火星，運(yùn)送人類和機(jī)器的成本太高，那不如送一臺(tái)可以自我復(fù)制的機(jī)器。只要它能采礦、制造、組裝，就可以在火星上不斷復(fù)制自己，完成擴(kuò)張。

同理，我們也可以設(shè)想這樣一種流體機(jī)器人：它的使命就是復(fù)制出一個(gè)更小的自己。在某個(gè)“冷啟動(dòng)狀態(tài)”下，小機(jī)器尚未運(yùn)作；當(dāng)準(zhǔn)備就緒后，大機(jī)器人將自己的全部能量傳輸給小機(jī)器人，自己“關(guān)閉”，清空殘余能量。接著，小機(jī)器人啟動(dòng)、重復(fù)這一過程，但更小、更快。

由于納維-斯托克斯方程具有尺度不變性（scaling symmetry），這一過程理論上可以無限進(jìn)行，從而實(shí)現(xiàn)“爆破”現(xiàn)象。這正是我在“平均化的納維-斯托克斯”上所完成的構(gòu)造——一種為理解原方程爆破機(jī)制提供路線圖的方法。

當(dāng)然，這仍是一個(gè)夢(mèng)想，要真正實(shí)現(xiàn)它還有很多障礙。例如，我現(xiàn)在還不能真正構(gòu)建出那些“流體邏輯門”，我也沒有那些特定的水流配置（雖然像渦環(huán)之類的結(jié)構(gòu)可能是候選）。此外，模擬計(jì)算比數(shù)字計(jì)算要脆弱得多，誤差傳播是一個(gè)巨大挑戰(zhàn)，需要復(fù)雜的糾錯(cuò)機(jī)制。

我也還不清楚如何讓大機(jī)器完全“關(guān)機(jī)”，以免干擾小機(jī)器的運(yùn)行。但從物理角度來說，這一構(gòu)想并不違背任何自然法則，所以它是“理論可行的”。目前也有其他團(tuán)隊(duì)在嘗試推動(dòng)納維-斯托克斯爆破的證明，只不過他們使用的方法遠(yuǎn)沒有我這種方案復(fù)雜。他們采用的是更直接的“自相似模型”（self-similar model），雖然仍未完全奏效，但思路可能更簡(jiǎn)潔可行。

從納維-斯托克斯方程到圖靈機(jī)，這個(gè)跳躍真的很驚人。你最初設(shè)想的是“自相似團(tuán)塊”，不斷生成更小、更精細(xì)的結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在則是液體圖靈機(jī)不斷縮小復(fù)制自身，并且從中得出關(guān)于爆破的洞見——這個(gè)轉(zhuǎn)化非常具有天才般的創(chuàng)造力。

萊克斯：

從納維-斯托克斯方程跳到這臺(tái)圖靈機(jī)，這中間真是一次天才的飛躍。從一開始設(shè)想的那個(gè)越來越小的自相似斑點(diǎn)，到后來構(gòu)想出一個(gè)越來越小的液體圖靈機(jī)，并洞察到這可以用來解釋爆破。這真是一個(gè)巨大的跨越。

生命游戲

陶：

這在數(shù)學(xué)中其實(shí)是有先例的。數(shù)學(xué)的一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)就在于，它善于揭示那些看似完全無關(guān)的問題之間的深層連接。只要數(shù)學(xué)形式相似，就可能存在可以轉(zhuǎn)化或類比的路徑。

例如，有一類研究叫做“元胞自動(dòng)機(jī)”（cellular automata），最著名的就是康威提出的生命游戲。這是一個(gè)無限的離散網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)要么被一個(gè)“細(xì)胞”占據(jù)，要么是空的。整個(gè)系統(tǒng)依靠一套非常簡(jiǎn)單的規(guī)則演化，細(xì)胞會(huì)因鄰近環(huán)境而“生”或“死”。

我在學(xué)生時(shí)期，這種動(dòng)畫非常流行，甚至被用作屏保。這些圖像看起來非常混亂，甚至某種程度上有點(diǎn)像流體的湍流行為。但隨著時(shí)間的推移，人們?cè)凇吧螒颉敝邪l(fā)現(xiàn)了越來越多有趣的結(jié)構(gòu)。

比如說，有一種叫做“滑翔子”（glider）的結(jié)構(gòu)，只需要四五個(gè)細(xì)胞組成，演化過程中會(huì)穩(wěn)定地朝某一方向“滑動(dòng)”，就像渦環(huán)一樣。這類現(xiàn)象說明，雖然“生命游戲”是一個(gè)離散系統(tǒng)，而納維-斯托克斯是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，但在數(shù)學(xué)特征上卻存在一定的相似性。

“生命游戲”本身非常簡(jiǎn)單，只有三四條演化規(guī)則，但你卻可以在其中設(shè)計(jì)出非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。比如有一種叫“滑翔子槍”（glider gun）的結(jié)構(gòu)，它能周期性地發(fā)射滑翔子。后來又有人構(gòu)建出了用于滑翔子的“與門（AND gate）”“或門（OR gate）”等邏輯結(jié)構(gòu)。

這聽起來很夸張，但這些結(jié)構(gòu)是實(shí)實(shí)在在地被構(gòu)造出來了。比如有一個(gè)巨大的系統(tǒng)：當(dāng)兩個(gè)方向上都有滑翔子流進(jìn)入時(shí)，才會(huì)輸出滑翔子流；若只有一邊輸入，則無輸出——這就是典型的“與門”邏輯。

而一旦你可以用滑翔子構(gòu)建出這些基礎(chǔ)邏輯門，就可以像在軟件工程中一樣，逐層搭建出圖靈機(jī)。盡管這些構(gòu)造在圖像上看起來像是“蒸汽朋克”風(fēng)格的機(jī)械，但它們確實(shí)是可以自我復(fù)制的結(jié)構(gòu)。有些系統(tǒng)耗費(fèi)大量時(shí)間，通過滑翔子槍的組合，最終實(shí)現(xiàn)了一種可以復(fù)制自身的大型裝置，即圖靈意義上的自復(fù)制機(jī)。

很多這樣的成果，其實(shí)都是由業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者以眾包的方式完成的。我早就關(guān)注這些研究，它們也成為我思考納維-斯托克斯類似構(gòu)想的啟發(fā)來源之一。

當(dāng)然，“生命游戲”是數(shù)字系統(tǒng)，而納維-斯托克斯是連續(xù)系統(tǒng)，不能簡(jiǎn)單照搬它們的結(jié)構(gòu)。但它至少表明：這種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的涌現(xiàn)在原則上是可能的。

萊克斯：

這種由“局部規(guī)則”所引發(fā)的“宏觀結(jié)構(gòu)”的涌現(xiàn)非常神奇——像“生命游戲”中的局部規(guī)則，在大規(guī)模運(yùn)行下可以生成極其復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。你覺得這些現(xiàn)象是否可能被數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乜坍?？我們是否擁有工具能?duì)這種復(fù)雜性說出深刻的見解？

陶：

問題在于，這些“復(fù)雜結(jié)構(gòu)的涌現(xiàn)”往往需要精心設(shè)計(jì)的初始條件。像滑翔子槍、邏輯門、自復(fù)制系統(tǒng)這些結(jié)構(gòu)，如果你只是隨便在網(wǎng)格上撒一些隨機(jī)細(xì)胞，它們是不會(huì)自然出現(xiàn)的。

這其實(shí)也與納維-斯托克斯方程的情形相似：在一般的初始條件下，我們并不會(huì)看到任何“計(jì)算”或者“圖靈機(jī)”的行為。但如果你用“工程方法”對(duì)初始條件精心設(shè)計(jì)，那么確實(shí)可以實(shí)現(xiàn)一些精妙的結(jié)構(gòu)性演化。

萊克斯：

有沒有可能證明它的反面……也就是說，證明只有通過“工程設(shè)計(jì)”，你才能創(chuàng)造出有趣的東西。

陶：

這其實(shí)是數(shù)學(xué)中一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的難題，我稱之為“結(jié)構(gòu)與隨機(jī)性”的二元張力。我們?cè)跀?shù)學(xué)中遇到的大多數(shù)對(duì)象，其實(shí)是“看起來隨機(jī)”的。比如圓周率的數(shù)字序列（π 的十進(jìn)制展開），我們普遍相信它沒有任何模式。

如果一個(gè)結(jié)構(gòu)確實(shí)有規(guī)律，那我們是可以證明它的，比如周期性重復(fù)、等間距結(jié)構(gòu)等等，這就屬于“結(jié)構(gòu)定理”的范疇。而我們也可以證明，在一個(gè)給定的統(tǒng)計(jì)框架下，“大多數(shù)”數(shù)字序列沒有規(guī)律。比如大數(shù)法則告訴我們，隨機(jī)序列中 1、2、3 這些數(shù)字應(yīng)該在長(zhǎng)遠(yuǎn)來看出現(xiàn)得一樣多。

但困難在于：如果給你一個(gè)特定的序列，比如 π 的小數(shù)位，你該如何證明它沒有隱藏的復(fù)雜結(jié)構(gòu)？

這方面我做了很多研究，涉及到所謂的“結(jié)構(gòu)定理”與“逆定理”，其核心在于：如果一個(gè)函數(shù)表現(xiàn)出某種看似結(jié)構(gòu)化的行為，那可能是因?yàn)樗咏谀硞€(gè)真正具有明確結(jié)構(gòu)的函數(shù)。

比如，有些函數(shù)是所謂的“加性”的。如果你有一個(gè)從自然數(shù)到自然數(shù)的函數(shù)，比如 2 映到 4，3 映到 6，如果它滿足“兩個(gè)輸入相加，等于兩個(gè)輸出相加”，那它就是加性的。最簡(jiǎn)單的例子就是乘以一個(gè)常數(shù)。如果你把一個(gè)數(shù)乘以 10，那么（A+B）×10 就等于 A×10 + B×10。有些函數(shù)是嚴(yán)格加性的，還有一些則是幾乎加性的。

舉個(gè)例子，如果我取一個(gè)數(shù)，乘以根號(hào) 2，然后取整數(shù)部分。比如 10 乘以根號(hào) 2 約等于 14 點(diǎn)幾，所以 10 映到 14，20 映到 28。在這種情況下，10+10=20，14+14=28，加性是成立的。但由于取整操作，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差，可能你把 A 和 A 相加，得到的結(jié)果并不完全是兩個(gè)獨(dú)立輸出的和，而是差了那么一點(diǎn)點(diǎn)，比如加一或減一。所以，它是“近似加性”（almost additive），但又不完全是。

我研究的很多成果表明：若某個(gè)對(duì)象顯示出某種結(jié)構(gòu)的跡象，那么它就近似某個(gè)真正有結(jié)構(gòu)的對(duì)象。通過這樣的逆定理，我們能劃分出一個(gè)清晰的二分世界——一個(gè)對(duì)象要么是徹底無結(jié)構(gòu)的，要么就可以追溯到某種隱藏的結(jié)構(gòu)，從而我們就有了進(jìn)一步分析的可能性。

一個(gè)很好的例子是數(shù)學(xué)中一個(gè)叫做塞邁雷迪定理（Szemerédi s Theorem）的古老定理，它是在 1970 年代被證明的。它討論的是在一組數(shù)字中尋找一種特定模式——等差數(shù)列，例如 3、5、7 或 10、15、20。

塞邁雷迪證明了：只要一個(gè)數(shù)字集合足夠大、具有所謂“正密度”（positive density），那么這個(gè)集合中一定包含任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列。

比如，奇數(shù)集合的密度是二分之一（因?yàn)樗紦?jù)所有整數(shù)的一半），我們顯然可以在其中找到各種長(zhǎng)度的等差數(shù)列。比如 11、13、15、17。因?yàn)槠鏀?shù)集合本身就很有結(jié)構(gòu)，找出這種序列不難。

但塞邁雷迪定理的強(qiáng)大之處在于，它也適用于隨機(jī)集合。比如我們?nèi)∷衅鏀?shù)，然后對(duì)每個(gè)數(shù)拋硬幣，只保留拋出正面的那些。這樣我們得到的就是一個(gè)“完全隨機(jī)”的子集，表面上看似毫無規(guī)律。然而，即便在這樣一個(gè)隨機(jī)集合中，仍然會(huì)存在大量的等差數(shù)列。

萊克斯：

你能證明在一個(gè)隨機(jī)集合里存在任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列嗎？

陶：

是的。你聽說過“無限猴子定理”（infinite monkey theorem）嗎？通常數(shù)學(xué)定理的名字都很無聊，但這個(gè)還挺形象。

“無限猴子定理”的流行版本是說，如果你有無限只猴子，每只都在打一臺(tái)打字機(jī)，隨機(jī)敲字，那么幾乎可以肯定，其中至少有一只猴子最終會(huì)打出整部《哈姆雷特》的劇本，或者任何你想要的有限文字序列。

這說明：如果你有一條無限長(zhǎng)的數(shù)字序列或字符串，任何你想要的有限模式終將出現(xiàn)。這當(dāng)然需要時(shí)間，可能是很長(zhǎng)很長(zhǎng)的時(shí)間，但只要是“無限”，它就會(huì)發(fā)生。

具體到我們之前討論的等差數(shù)列：只要序列夠長(zhǎng)，任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列就一定會(huì)在其中出現(xiàn)。當(dāng)然，需要的是極其巨大的隨機(jī)序列。

我們可以把“無限”理解為一個(gè)沒有上限的有限值的抽象化。現(xiàn)實(shí)世界中沒有什么是真正“無限”的，但我們會(huì)思考：“如果我有無限多的錢會(huì)怎樣？”“如果我可以無限快會(huì)怎樣？”等等。

數(shù)學(xué)中有一套嚴(yán)格的形式系統(tǒng)來處理這些理想化的狀態(tài)，把“非常大”或“非常小”的概念，抽象為“無限”或“零”，從而讓問題變得更清晰、更易處理。

就像物理中我們經(jīng)常開玩笑說“假設(shè)奶牛是球形的”，意思是我們故意忽略很多現(xiàn)實(shí)復(fù)雜性，用一種理想模型來近似分析。

萊克斯：

那你覺得，當(dāng)我們引入“無限”這個(gè)理想化工具時(shí)，會(huì)不會(huì)有時(shí)偏離了物理現(xiàn)實(shí)？

陶：

確實(shí)有很多陷阱。所以我們?cè)诖髮W(xué)數(shù)學(xué)課程中會(huì)花很多時(shí)間教“數(shù)學(xué)分析”，它基本上就是在教人如何正確使用極限和無限。

舉個(gè)例子：有限個(gè)數(shù)相加時(shí)，交換順序不影響結(jié)果。但如果是無窮級(jí)數(shù)，事情就沒那么簡(jiǎn)單了。你可以用不同順序排列這些項(xiàng)，竟然會(huì)得到不同的收斂值！這就容易出錯(cuò)。

所以在處理無限的時(shí)候，你必須非常謹(jǐn)慎。我們引入了 ε 和 δ 這樣的參數(shù)，制定一套非常嚴(yán)密的邏輯和推理方式，來防止在“無限”問題上犯錯(cuò)。

而近年來，數(shù)學(xué)家們開始把那些在“極限下成立”的結(jié)論轉(zhuǎn)化為有限版本。也就是說：雖然你知道某件事在某個(gè)無限條件下是對(duì)的，但你會(huì)問：“那我到底要多大、多久才行？”

比如說，如果我沒有無限只猴子，而只有一億只，那我要等多久才能等出《哈姆雷特》？這是一個(gè)定量問題，而我們可以用純粹的有限方法去分析它。結(jié)果是：所需時(shí)間是與目標(biāo)文本長(zhǎng)度呈指數(shù)增長(zhǎng)的。

所以你永遠(yuǎn)看不到猴子敲出《哈姆雷特》，最多可能敲出個(gè)四個(gè)字母的單詞罷了。我個(gè)人覺得，一旦你把一個(gè)“無限陳述”有限化，它就變得更容易理解，也不再那么玄乎了。

萊克斯：

所以即使你在處理無窮大的問題，最好也把它“有限化”，這樣能幫助你建立直覺？

陶：

是的，缺點(diǎn)是有限化的證明要復(fù)雜得多。無限的證明通常是先被發(fā)現(xiàn)的，早了幾十年，然后人們才將它們有限化。

數(shù)學(xué) vs. 物理

萊克斯：

既然我們剛才提到了很多關(guān)于數(shù)學(xué)和物理的問題。那作為兩種不同的學(xué)科、理解世界的方式，數(shù)學(xué)與物理的根本差異是什么？

陶：

我認(rèn)為科學(xué)總體上可以被看作是三個(gè)元素的互動(dòng)：現(xiàn)實(shí)世界、我們對(duì)現(xiàn)實(shí)的觀察，以及我們關(guān)于現(xiàn)實(shí)運(yùn)行機(jī)制的心智模型。

我們無法直接接觸真實(shí)本身，我們擁有的只是觀察結(jié)果——這些結(jié)果通常不完整、帶有誤差。很多時(shí)候我們想知道的事，比如明天天氣如何，我們尚未有觀察數(shù)據(jù)，但我們希望預(yù)測(cè)它。

在此基礎(chǔ)上，我們建立了一些簡(jiǎn)化模型，有時(shí)會(huì)做出不太現(xiàn)實(shí)的假設(shè)（比如假設(shè)奶牛是球形的那類）。這些模型就是我們說的數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)研究的，就是模型本身?？茖W(xué)則是收集觀察數(shù)據(jù)，并據(jù)此提出能夠解釋這些觀察的模型。而數(shù)學(xué)的做法是：我們從模型的前提出發(fā)，思考其邏輯結(jié)果，推導(dǎo)出這個(gè)模型可能帶來的預(yù)測(cè)或結(jié)論，并檢查這些結(jié)論是否符合已有數(shù)據(jù)或可能的數(shù)據(jù)。

所以二者之間確實(shí)是一種共生關(guān)系。我想數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相比的特殊之處在于：數(shù)學(xué)從假設(shè)出發(fā)（比如模型的公理），然后推導(dǎo)出可能的結(jié)論。而其他大多數(shù)學(xué)科是從目標(biāo)出發(fā)：我要造一座橋，我想賺錢，我要達(dá)成某個(gè)目標(biāo)，然后再反推該怎么做。

在人類活動(dòng)中，絕大多數(shù)事情都是結(jié)論導(dǎo)向的，包括物理與科學(xué)研究。例如他們會(huì)問：這個(gè)小行星的軌道將會(huì)如何？或明天天氣如何？而數(shù)學(xué)除了從結(jié)果出發(fā)外，還會(huì)從假設(shè)出發(fā)：假設(shè)這個(gè)成立，那么會(huì)有什么結(jié)果？

萊克斯：

物理學(xué)里常常有理論與實(shí)驗(yàn)之間的張力。你覺得哪一種方式更能引導(dǎo)我們真正發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中的新思想？

陶：

你需要兩者兼?zhèn)?，自上而下和自下而上。理論、觀察與建模應(yīng)該逐漸趨近現(xiàn)實(shí)。但一開始，它們總是相距甚遠(yuǎn)。要靠彼此推進(jìn)彼此。

如果你的模型預(yù)測(cè)出了實(shí)驗(yàn)未曾觀測(cè)到的異?，F(xiàn)象，這恰好能告訴實(shí)驗(yàn)者去哪里找數(shù)據(jù)，以進(jìn)一步校正模型。這個(gè)過程是不斷往返推進(jìn)的。

在數(shù)學(xué)內(nèi)部其實(shí)也存在“理論”與“實(shí)驗(yàn)”的劃分。只不過直到最近，數(shù)學(xué)幾乎被理論方法完全主導(dǎo)。大約 99% 的數(shù)學(xué)是純理論的，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)占比很小，但確實(shí)有人在做，比如研究素?cái)?shù)分布，他們可能會(huì)生成大量數(shù)據(jù)。

早在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)前，人們也進(jìn)行過實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的嘗試。比如高斯，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)著名的猜想，后來發(fā)展成了素?cái)?shù)定理（prime number theorem），這個(gè)定理預(yù)測(cè)：小于某個(gè)數(shù)（比如一百萬、一萬億）之間有多少個(gè)素?cái)?shù)。這不是一個(gè)顯然能答的問題。高斯基本上是靠自己（也雇了一些人肉計(jì)算員），計(jì)算了前十萬以內(nèi)的素?cái)?shù)，并制作出對(duì)照表，從中得出預(yù)測(cè)。

這是早期“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”的一個(gè)例子。但直到最近，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)還不是主流。

理論數(shù)學(xué)成功率更高也是因?yàn)椋哼^去復(fù)雜計(jì)算幾乎無法實(shí)現(xiàn)，即便今天計(jì)算機(jī)已很強(qiáng)大，也只有少部分?jǐn)?shù)學(xué)問題可以通過數(shù)值方法探索。

有一個(gè)概念叫做“組合爆炸”（combinatorial explosion）。比如你想研究塞邁雷迪定理，設(shè)你考慮從 1 到 1000 的所有數(shù)字中選子集。表面看：一千個(gè)數(shù)，能有多難？但實(shí)際情況是，它的子集數(shù)有 2 的 1000 次方，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了目前任何計(jì)算機(jī)所能枚舉的范圍。

所以有些數(shù)學(xué)問題，一旦規(guī)模變大，就根本不可能靠窮舉法解決。國(guó)際象棋也是經(jīng)典例子：所有可能的棋局狀態(tài)數(shù)量巨大，計(jì)算機(jī)也無法全部列出。

但現(xiàn)在我們有了 AI，能用另一種方式探索這種空間。它們不一定能給出“100% 有保障”的解法，但可以通過實(shí)驗(yàn)性模擬給出答案。比如現(xiàn)在的國(guó)際象棋 AI 非常強(qiáng)大，它們不窮盡所有棋步，但卻能找到非常好的近似方案?，F(xiàn)在很多人用這些 AI 引擎來做“實(shí)驗(yàn)性國(guó)際象棋”：重新評(píng)估那些舊的棋局理論，比如某個(gè)開局到底好不好，有些結(jié)論甚至推翻了傳統(tǒng)的棋譜智慧。

我希望未來數(shù)學(xué)也能有更多的實(shí)驗(yàn)成分，可能由 AI 推動(dòng)。

現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)

萊克斯：

你提到了柏拉圖的“洞穴寓言”。從某種意義上說，這不就是數(shù)學(xué)家，甚至所有人類正在做的事情嗎？我們只是在觀察現(xiàn)實(shí)的影子。我們有可能真正地觸及現(xiàn)實(shí)本身嗎？

陶：

我們可以將世界分為三個(gè)本體層次：現(xiàn)實(shí)本身、我們的觀察，以及我們對(duì)世界運(yùn)作方式的模型。從嚴(yán)格意義上說，它們彼此是區(qū)分開的，而且我認(rèn)為它們永遠(yuǎn)都會(huì)是分離的。但它們之間的距離可以隨著時(shí)間縮小。而要讓模型更接近現(xiàn)實(shí)，往往意味著必須舍棄你最初的直覺。

天文學(xué)就是個(gè)很好的例子。一開始我們對(duì)世界的模型是“地是平的”，因?yàn)樗雌饋砭褪瞧降?，而且它非常大；而天空中的其他東西，比如太陽，看起來非常小。所以你最初的模型雖然離真實(shí)非常遙遠(yuǎn)，但它能很好地解釋你當(dāng)時(shí)的觀察現(xiàn)象，因此它“看起來沒問題”。

但隨著你觀察得越來越多，模型就會(huì)被拉近現(xiàn)實(shí)——我們逐步認(rèn)識(shí)到地球是圓的，它會(huì)自轉(zhuǎn)，它圍繞太陽公轉(zhuǎn)，太陽系圍繞銀河系運(yùn)動(dòng)，宇宙在膨脹，而且這個(gè)膨脹還是加速的自我膨脹。甚至就在最近的一年，我們發(fā)現(xiàn)，這種加速度本身也不是恒定的。

我們現(xiàn)在有一個(gè)模型能夠解釋，能夠很好地?cái)M合數(shù)據(jù)。但也有人批評(píng)說：“這不就是乏晰因子（fudge factors）嗎？只要參數(shù)足夠多，你什么都能解釋?！钡珨?shù)學(xué)的觀點(diǎn)是：你希望模型的參數(shù)盡量少于觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量。

如果你用 10 個(gè)參數(shù)來解釋 10 個(gè)觀測(cè)值，這模型毫無意義，過擬合。但如果你用兩個(gè)參數(shù)解釋了一萬億個(gè)觀測(cè)值——比如說“暗物質(zhì)模型”，它大約有 14 個(gè)參數(shù)，卻解釋了天文學(xué)家所擁有的數(shù)百萬 TB 的數(shù)據(jù)，那這個(gè)模型就極具價(jià)值。

你可以這樣看：一個(gè)物理或數(shù)學(xué)理論，本質(zhì)上是一種對(duì)宇宙的“壓縮”，就像數(shù)據(jù)壓縮。你手里有幾百萬 TB 的觀測(cè)數(shù)據(jù)，你希望用五頁紙的公式加上幾個(gè)參數(shù)把它們概括出來。如果這個(gè)模型能以合理精度擬合幾乎所有觀察結(jié)果，那么你壓縮得越徹底，理論就越好。

萊克斯：

而事實(shí)上，我們宇宙中最驚人的一點(diǎn)就是，它居然是可壓縮的。這正是數(shù)學(xué)“不合理的有效性”。

陶：

是的，愛因斯坦有過一句類似的話：“關(guān)于宇宙，最不可理解的事情就是，它居然是可以被理解的?！睌?shù)學(xué)中有一個(gè)叫做“普適性（universality）”的現(xiàn)象。很多宏觀系統(tǒng)雖然來源于無數(shù)微觀相互作用，但宏觀規(guī)律本身并不復(fù)雜。本來你會(huì)以為，宏觀規(guī)律應(yīng)該比微觀結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多、甚至是指數(shù)級(jí)復(fù)雜，如果你想完全精確建模，確實(shí)如此。

比如你要模擬一盒空氣里的所有原子，阿伏伽德羅常數(shù)非常大，跟蹤每一個(gè)粒子幾乎是不可能的。但在某些情況下，一些宏觀定律幾乎不依賴微觀細(xì)節(jié)，或僅僅依賴極少數(shù)參數(shù)。

所以你要模擬 1023 個(gè)粒子的氣體，只需知道溫度、壓強(qiáng)、體積，加上五六個(gè)參數(shù)，就足夠描述這個(gè)系統(tǒng)的行為了。我們?cè)跀?shù)學(xué)上對(duì)“普適性”的理解遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠充分，但在一些簡(jiǎn)化模型中我們已經(jīng)知道為什么這種現(xiàn)象出現(xiàn)。最經(jīng)典的是中心極限定理：它解釋了為什么“鐘形曲線”（bell curve）無處不在，為什么那么多自然現(xiàn)象都符合高斯分布。

萊克斯：

而且這個(gè)梗本身也具有普適性。

陶：

對(duì)，甚至可以再“元”一點(diǎn)。確實(shí)存在很多過程，比如你取一堆獨(dú)立的隨機(jī)變量，用各種方式把它們平均起來，無論是簡(jiǎn)單平均還是復(fù)雜加權(quán)平均，最終都會(huì)得到鐘形曲線，在很多情況下我們都可以證明這一點(diǎn)，非常令人滿意。

當(dāng)然，有時(shí)候不會(huì)出現(xiàn)鐘形曲線。如果你有很多變量，但它們之間存在系統(tǒng)性相關(guān)性，你就可能得到遠(yuǎn)非高斯分布的結(jié)果。這種情況也非常重要。比如 2008 年金融危機(jī)就是一個(gè)著名例子。人們當(dāng)時(shí)假設(shè)，按揭違約率是呈高斯分布的：你有 10 萬個(gè)房貸用戶，推測(cè)有多少人會(huì)違約，如果每個(gè)人違約行為是相互獨(dú)立的，那就會(huì)呈鐘形分布，你可以據(jù)此做期權(quán)、衍生品的風(fēng)險(xiǎn)管理。這套理論非常優(yōu)雅。

但現(xiàn)實(shí)中，如果存在系統(tǒng)性沖擊——經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)整體波動(dòng)導(dǎo)致所有人同時(shí)違約，那就是高度非高斯行為，而 2008 年的模型沒能充分預(yù)見這種風(fēng)險(xiǎn)。

現(xiàn)在大家多少意識(shí)到了：系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)比我們之前以為的更嚴(yán)重。一個(gè)模型再優(yōu)美，不代表它符合現(xiàn)實(shí)。所以理解數(shù)學(xué)模型的推理邏輯很重要，但理解模型與現(xiàn)實(shí)契合度的科學(xué)判斷也同樣重要。你需要二者兼顧。

數(shù)學(xué)可以幫助我們找出模型的薄弱之處。比如中心極限定理會(huì)告訴你：只要輸入變量互不相關(guān)，結(jié)果就會(huì)呈現(xiàn)高斯分布。它能幫你定位問題源頭。

假如你了解塞邁雷迪定理，有人想用高斯分布去建模違約風(fēng)險(xiǎn)，你作為數(shù)學(xué)家就可以質(zhì)問：“你這些輸入變量之間的系統(tǒng)性相關(guān)性有多大？”然后你可以問經(jīng)濟(jì)學(xué)家，這種風(fēng)險(xiǎn)是否被低估了，是否能找到證據(jù)。這就是科學(xué)與數(shù)學(xué)之間的協(xié)同。

萊克斯：

在普適性這個(gè)話題上，你因在數(shù)學(xué)領(lǐng)域涉獵之廣、之深而聞名并備受贊譽(yù)，讓人想起一個(gè)世紀(jì)前的希爾伯特（Hilbert）。事實(shí)上，偉大的菲爾茲獎(jiǎng)得主、你的同事蒂姆·高爾斯（Tim Gowers）曾說過，你就是我們這個(gè)時(shí)代最接近希爾伯特的人。

圖丨希爾伯特（來源：Wikipedia）

那么，作為一個(gè)能在數(shù)學(xué)中兼顧深度與廣度的人，你是最合適回答這個(gè)問題的人：你認(rèn)為所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間存在某種深層的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)嗎？

陶：

其實(shí)數(shù)學(xué)的很多進(jìn)步，都是兩個(gè)原本毫無關(guān)聯(lián)的領(lǐng)域，后來發(fā)現(xiàn)了深刻的聯(lián)系。比如一個(gè)古老的例子：幾何與數(shù)論。在古希臘時(shí)期，這兩個(gè)領(lǐng)域被視作完全不同的學(xué)科。當(dāng)然，數(shù)學(xué)家可能同時(shí)研究它們，比如歐幾里得，他既寫了幾何，也研究數(shù)論。但那時(shí)這兩個(gè)領(lǐng)域并沒有真正融合。

直到笛卡爾發(fā)明了解析幾何——用兩個(gè)實(shí)數(shù)坐標(biāo)來參數(shù)化平面，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。今天我們覺得這再自然不過：平面當(dāng)然就是 x 和 y，但當(dāng)時(shí)這可是一項(xiàng)革命性突破。

這類融合在數(shù)學(xué)史上反復(fù)發(fā)生：代數(shù)與幾何曾分離，后來發(fā)展出代數(shù)幾何；概率論和數(shù)論也開始融合；每一次跨領(lǐng)域連接，都是數(shù)學(xué)的重要進(jìn)展。我個(gè)人非常喜歡這種數(shù)學(xué)。

我認(rèn)為數(shù)學(xué)家有不同的風(fēng)格——刺猬型與狐貍型。刺猬知道一件事，但非常深入；狐貍則對(duì)很多事略懂皮毛。

我個(gè)人更多地認(rèn)同自己是“狐貍”。我喜歡套利式的探索：學(xué)會(huì)一個(gè)領(lǐng)域的工具后，把這些技巧帶到另一個(gè)看似毫不相關(guān)的領(lǐng)域，而那里的人通常沒用過這些方法，我能做出些新貢獻(xiàn)。

還有一些數(shù)學(xué)家比我深刻得多，他們是典型的刺猬型，非?？?、非常高效。但我可以為他們帶來一些額外的工具。

萊克斯：

你曾說過，你可以根據(jù)具體語境或合作關(guān)系的不同，在“刺猬”和“狐貍”這兩種思維方式之間切換。那么，如果可能的話，能否談?wù)勥@兩種處理問題的方式有什么區(qū)別？比如說，當(dāng)你面對(duì)一個(gè)新問題時(shí)，是選擇尋找跨領(lǐng)域的聯(lián)系，還是保持高度專注的單一視角？

陶：

我更習(xí)慣于“狐貍”的范式。我喜歡尋找類比和敘事。我經(jīng)常會(huì)花很多時(shí)間——比如當(dāng)我在某個(gè)領(lǐng)域看到一個(gè)有趣的結(jié)果時(shí)，我可能很喜歡這個(gè)結(jié)果本身，但它的證明方式卻用了一些我不太熟悉的數(shù)學(xué)工具。這種情況下，我會(huì)試著用我自己擅長(zhǎng)的工具重新去證明它。

往往我自己的證明更差，但這個(gè)過程本身很有價(jià)值。因?yàn)樵趪L試重建的過程中，我會(huì)逐漸明白：原來的那個(gè)證明其實(shí)是想達(dá)成這個(gè)目標(biāo)。通過這樣“繞路”的方式，我反而能理解那個(gè)領(lǐng)域里使用的那些工具。這是一種非常探索性的過程，也意味著我經(jīng)常會(huì)去一些陌生的領(lǐng)域、做些瘋狂的嘗試，甚至常常在“重復(fù)造輪子”。

相比之下，我覺得“刺猬式”的風(fēng)格更學(xué)術(shù)化，知識(shí)體系也更穩(wěn)固。這種風(fēng)格依賴對(duì)某一領(lǐng)域的發(fā)展始終保持最新了解，熟悉所有歷史脈絡(luò)，并且對(duì)每種具體技術(shù)的優(yōu)劣都有非常清晰的把握。我覺得這種風(fēng)格更強(qiáng)調(diào)計(jì)算，而不是通過講述故事或建構(gòu)類比來理解。

我也能做到那種方式，但我知道有些人在那方面真的非常擅長(zhǎng)。

萊克斯：

讓我們退一步，來看一個(gè)稍微浪漫化一點(diǎn)的數(shù)學(xué)版本。你曾說過，在你年輕的時(shí)候，對(duì)你而言數(shù)學(xué)更像是一種解謎游戲。你是在什么時(shí)候第一次遇到一個(gè)問題或一個(gè)證明，讓你意識(shí)到數(shù)學(xué)可以擁有一種優(yōu)雅和美感？

陶：

這是個(gè)好問題。我剛到普林斯頓讀研究生的時(shí)候，約翰·康威（John Conway）當(dāng)時(shí)還在那里，他幾年前去世了。但我記得我去聽的第一場(chǎng)研究講座之一，就是康威的一個(gè)關(guān)于他稱之為“極端證明”（extreme proof）的講座。

康威有一種神奇的思考方式，他總能以一種你完全想不到的方式看待各種事物。他把證明本身看作是占據(jù)了某種空間。比如你要證明一個(gè)命題，比如“素?cái)?shù)是無窮的”，那么就會(huì)有很多種證明方法。你可以根據(jù)不同的維度對(duì)這些證明進(jìn)行排序：有些證明很優(yōu)雅，有些很長(zhǎng)，有些很基礎(chǔ)。于是這些證明在某種意義上構(gòu)成了一個(gè)證明空間，而他感興趣的是這個(gè)空間的“極限點(diǎn)”——也就是那些在某一方面達(dá)到極致的證明，比如最短的、最基礎(chǔ)的、最不依賴其他定理的那一個(gè)。

他舉了一些著名定理的例子，然后給出了他認(rèn)為在不同方面堪稱極端的證明。我發(fā)現(xiàn)那真的讓我大開眼界，原來不僅僅是為一個(gè)有趣的結(jié)論找到一個(gè)證明，一旦你有了那個(gè)證明，再去從不同角度優(yōu)化它，證明本身這個(gè)行為就蘊(yùn)含了某種匠心。

這無疑影響了我的寫作風(fēng)格。比如，你做數(shù)學(xué)作業(yè)，作為本科生，你的作業(yè)之類的，你被鼓勵(lì)只要寫下任何一個(gè)能行的證明，交上去，只要能得到一個(gè)對(duì)勾，你就繼續(xù)往下走了。但如果你希望你的成果能真正產(chǎn)生影響，能被人閱讀，那它就不能僅僅是正確的。它還應(yīng)該讀起來令人愉悅，有清晰的動(dòng)機(jī)，能夠被推廣到其他問題上。這和很多其他學(xué)科很像，比如編程。數(shù)學(xué)和編程之間有很多類比。我喜歡類比，如果你還沒注意到的話。你可以寫出一段代碼，意大利面條式的代碼——它能完成任務(wù)，但非?；靵y，結(jié)構(gòu)很差。雖然能用，但別的人看不懂，也很難修改或擴(kuò)展。所以我們有各種寫好代碼的原則——寫得更整潔、更易維護(hù)、更少 bug。數(shù)學(xué)也是一樣的：一個(gè)好的證明，不只是為了“能用”，還要能被別人理解、引用和延續(xù)。

萊克斯

那你心中最優(yōu)美、最優(yōu)雅的數(shù)學(xué)公式是什么？很多人評(píng)價(jià)“美”時(shí)強(qiáng)調(diào)的是“簡(jiǎn)潔性”，比如說愛因斯坦的 E=mc2。而在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，大家最常提的美麗公式是歐拉恒等式。你覺得這個(gè)公式美嗎？

正如我所說，我發(fā)現(xiàn)最吸引人的是不同事物之間的聯(lián)系……所以如果……eiπ=?1。是的，人們用上了所有基本常數(shù)。好吧，我是說，這很可愛，但對(duì)我來說……指數(shù)函數(shù)，由歐拉提出，是用來衡量指數(shù)增長(zhǎng)的。比如復(fù)利或衰變，任何持續(xù)增長(zhǎng)、持續(xù)減少、生長(zhǎng)和衰變，或擴(kuò)張或收縮的東西，都由指數(shù)函數(shù)建模，而 π 則來自圓和旋轉(zhuǎn)，對(duì)吧？如果你想旋轉(zhuǎn)一根針，比如說，180 度，你需要旋轉(zhuǎn) π 弧度，而 i，復(fù)數(shù)，代表了交換虛軸的 90 度旋轉(zhuǎn)。所以是一個(gè)方向的改變。

所以，指數(shù)函數(shù)代表了在你當(dāng)前方向上的增長(zhǎng)和衰減。當(dāng)你把一個(gè) i 放入指數(shù)中，運(yùn)動(dòng)就不再是與你當(dāng)前位置相同的方向，而是與你當(dāng)前位置成直角的運(yùn)動(dòng)。所以是旋轉(zhuǎn)，然后，eiπ=?1 告訴你，如果你旋轉(zhuǎn)時(shí)間為 π，你最終會(huì)到達(dá)相反的方向。所以它通過這種復(fù)化的行為，即乘以 iπ 的旋轉(zhuǎn)，統(tǒng)一了通過擴(kuò)張的幾何學(xué)和通過指數(shù)增長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)。所以它把所有這些數(shù)學(xué)領(lǐng)域聯(lián)系在一起，動(dòng)力學(xué)、幾何學(xué)和復(fù)數(shù)。由于這個(gè)恒等式，它們?cè)跀?shù)學(xué)中都被認(rèn)為是近鄰。

萊克斯：

你覺得這些符號(hào)的“偶然碰撞”只是巧合，還是說它其實(shí)揭示了更深的東西？比如不同領(lǐng)域的符號(hào)相遇，是否也有其內(nèi)在的價(jià)值？

陶：

我覺得這證明了你擁有了正確的概念。當(dāng)你第一次研究任何東西時(shí)，你必須去測(cè)量事物，給它們命名。一開始，有時(shí)候因?yàn)槟愕哪Ｐ碗x現(xiàn)實(shí)太遠(yuǎn)，你可能會(huì)給錯(cuò)誤的東西起了最好的名字，你只有在后來才發(fā)現(xiàn)什么才是真正重要的。

萊克斯：

物理學(xué)家有時(shí)會(huì)這么做，但結(jié)果還不錯(cuò)。

陶：

實(shí)際上，物理學(xué)也一樣，比如說愛因斯坦提出 E=mc2?；氐礁绲臅r(shí)候，亞里士多德、伽利略和牛頓提出了最初的運(yùn)動(dòng)定律。他們能測(cè)量的是質(zhì)量、加速度和力，于是牛頓力學(xué)中最核心的就是 F = ma，這些可測(cè)量的量在理論中占據(jù)核心地位。

但隨著人們對(duì)這些方程的進(jìn)一步分析，出現(xiàn)了一些“額外的量”，比如動(dòng)量和能量。能量并不是一個(gè)你能像質(zhì)量和速度那樣直接測(cè)量的東西，但人們逐漸意識(shí)到它在物理系統(tǒng)中極為關(guān)鍵。

到了 19 世紀(jì)，哈密頓重構(gòu)了牛頓力學(xué)，提出了所謂的哈密頓力學(xué)。在這個(gè)體系中，“哈密頓量”（Hamiltonian）才是真正的核心對(duì)象。只要你能準(zhǔn)確地測(cè)量出一個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量，你就可以描述整個(gè)系統(tǒng)的演化。這種思維方式在后來面對(duì)量子力學(xué)時(shí)起到了關(guān)鍵作用。

早期的物理學(xué)家試圖用牛頓的粒子圖景去理解量子世界，發(fā)現(xiàn)完全不對(duì)勁，因?yàn)榱孔恿W(xué)強(qiáng)調(diào)的是“波”。

你要問，“量子版的 F=ma 是什么？”根本沒人能說清楚。但幸運(yùn)的是，哈密頓量這個(gè)概念依然適用，它只是以不同的形式出現(xiàn)，是一個(gè)算符（operator），而不是一個(gè)函數(shù)。

只要你能給出哈密頓量，就能通過薛定諤方程描述量子系統(tǒng)的演化過程。

所以，雖然經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)在表面上完全不同，一個(gè)是粒子，一個(gè)是波，但因?yàn)槎蓟诠茴D量，我們就能將很多經(jīng)典力學(xué)中的直覺遷移到量子力學(xué)中。

比如說，經(jīng)典力學(xué)中有諾特定理（Noether theorem）：每一個(gè)對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒定律。如果物理規(guī)律不隨空間平移而改變，那就有動(dòng)量守恒；如果不隨角度旋轉(zhuǎn)而改變，那就有角動(dòng)量守恒；如果不隨時(shí)間變化而改變，那就有能量守恒。

如果你等 10 分鐘，所經(jīng)歷的物理定律仍然相同，這種時(shí)間平移不變性對(duì)應(yīng)的就是能量守恒。也就是說，對(duì)稱性和守恒律之間存在著根本性的聯(lián)結(jié)。而這在量子力學(xué)中同樣成立，盡管方程形式完全不同。但因?yàn)閮烧叨家怨茴D量為核心，只要這個(gè)哈密頓量保持某種對(duì)稱性，那么對(duì)應(yīng)的方程就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)守恒量。

一旦你找到了“正確的語言”，很多事情就會(huì)變得清晰許多。

至于為什么我們還無法統(tǒng)一量子力學(xué)與廣義相對(duì)論，其中一個(gè)問題是我們還沒搞清楚“基本的對(duì)象”到底應(yīng)該是什么。比如，我們很可能要放棄將時(shí)空看作類歐幾里得空間的想法。我們知道，在極小的尺度上存在量子漲落，存在所謂的“時(shí)空泡沫”，而此時(shí)再使用笛卡爾坐標(biāo)系（x, y, z）顯然是走不通的。但問題是：我們還不知道該用什么來替代。我們甚至沒有找到類比于哈密頓量那樣的組織性概念，能夠像哈密頓量在經(jīng)典和量子力學(xué)中那樣，統(tǒng)攝一切。

萬有理論

萊克斯：

你是否在直覺上相信，真的存在一套“萬有理論”？我們真的可能找到這樣一種語言，來統(tǒng)一廣義相對(duì)論與量子力學(xué)？

陶：

我相信是存在的。從歷史來看，物理學(xué)的發(fā)展就是不斷統(tǒng)一的過程，某種程度上和數(shù)學(xué)的發(fā)展也類似。比如說，早期電學(xué)和磁學(xué)是兩套完全不同的理論，后來被麥克斯韋統(tǒng)一了；牛頓則統(tǒng)一了天體的運(yùn)動(dòng)與地球上的物體運(yùn)動(dòng)。因此，這種統(tǒng)一是有前例可循的，它應(yīng)當(dāng)可以實(shí)現(xiàn)。

不過，回到理論與觀測(cè)的關(guān)系，我們現(xiàn)在遇到的問題之一是物理學(xué)反而成為了它自身成功的受害者。因?yàn)槲覀兡壳暗膬纱笪锢砝碚摚簭V義相對(duì)論與量子力學(xué)，實(shí)在太有效了。這兩者加起來，已經(jīng)可以解釋我們能觀測(cè)到的 99.9% 的現(xiàn)象。

為了找到它們失效的邊界，我們必須進(jìn)入極端的實(shí)驗(yàn)條件，比如極高能量的粒子對(duì)撞機(jī)，或者宇宙早期的狀態(tài)——這些都是難以實(shí)現(xiàn)的。因此，真正看到這兩者之間差異、并據(jù)此找到融合路徑，非常困難。但我相信，這條路我們已經(jīng)走了幾個(gè)世紀(jì)，一直都在進(jìn)步，沒有理由會(huì)停下。

萊克斯：

你認(rèn)為你會(huì)是那個(gè)發(fā)展出萬有理論的數(shù)學(xué)家嗎？

陶：

通常發(fā)生的情況是，當(dāng)物理學(xué)家需要某種數(shù)學(xué)理論時(shí)，往往已經(jīng)有數(shù)學(xué)家早先一步做出了某種雛形。比如，當(dāng)愛因斯坦開始意識(shí)到空間是彎曲的，他去找了一位數(shù)學(xué)家問：“有沒有關(guān)于彎曲空間的理論，是數(shù)學(xué)家已經(jīng)搞出來的，可能能用？”然后那位數(shù)學(xué)家說：“有的，黎曼搞出過一些類似的東西?！苯Y(jié)果，黎曼發(fā)展出的黎曼幾何——一個(gè)關(guān)于空間如何以各種方式彎曲的理論——幾乎就是愛因斯坦的理論所需要的。這又回到了數(shù)學(xué)“不合理的有效性”上。我認(rèn)為，那些能很好地解釋宇宙的理論，往往也涉及到那些能很好地解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)對(duì)象。歸根結(jié)底，它們都只是以有用的方式組織數(shù)據(jù)的不同方法。

萊克斯：

只是感覺你可能需要去到一個(gè)非常奇特、非常難以憑直覺把握的地方。比如弦理論。

陶：

是的，那在很長(zhǎng)一段時(shí)間里都是一個(gè)主要的候選理論。但我想它正慢慢地失寵，因?yàn)樗c實(shí)驗(yàn)不太匹配。

萊克斯：

所以，一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)當(dāng)然在于，就像你說的，實(shí)驗(yàn)非常困難，因?yàn)閺V義相對(duì)論和量子力學(xué)本身就極其有效。但另一個(gè)挑戰(zhàn)在于，這不是簡(jiǎn)單地“偏離”時(shí)空結(jié)構(gòu)，而是走向一些非常極端的想象空間——比如多維空間、各種我們難以感知的構(gòu)造。我們已經(jīng)從平地走到了“彎曲空間”，你還得不斷往前跳躍，而我們作為類人猿后代的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，很難真正直覺地理解那種現(xiàn)實(shí)。

陶：

這就是類比如此重要的原因?！暗貓A說”是不直觀的，因?yàn)槲覀儽焕г诘厍蛏?。但是，我們?duì)圓的物體本身是有直覺認(rèn)知的，也理解光是如何傳播的。所以，實(shí)際上是可以通過一些簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證這一點(diǎn)的，比如日食、月相變化等現(xiàn)象，都可以通過圓形的地球和月亮模型輕松解釋。你只需要一個(gè)籃球、一顆高爾夫球和一個(gè)燈光源，就可以自己在家動(dòng)手模擬。所以直覺是可以培養(yǎng)的，只要你肯把它“遷移”過來。

萊克斯：

對(duì)我們來說，從“地平”到“地圓”，在認(rèn)知上確實(shí)是一個(gè)巨大的飛躍，因?yàn)槲覀兊纳畲蟛糠质窃谄降厣隙冗^的。如今我們對(duì)這些事情習(xí)以為常，是因?yàn)榭茖W(xué)已經(jīng)提供了大量證據(jù)。但你想想，我們其實(shí)正處在一個(gè)圓形的巖石上，以極快的速度在宇宙中飛行。這本身就是一種巨大的跳躍。而且，在科學(xué)進(jìn)步的過程中，你需要不斷地進(jìn)行這類飛躍，一次又一次。

陶：

完全正確?，F(xiàn)代科學(xué)或許又是“成功的受害者”——為了追求更高的準(zhǔn)確性，它不得不與人類最初的直覺越來越遠(yuǎn)。而對(duì)于沒有接受過完整科學(xué)教育的人來說，越是如此，就越容易顯得“難以置信”。所以我們需要提供更扎實(shí)的基礎(chǔ)。

當(dāng)然，現(xiàn)在有很多科學(xué)家做著非常出色的公眾傳播工作。其實(shí)還有很多科學(xué)實(shí)驗(yàn)是可以在家里完成的。有很多 YouTube 視頻，我最近也和一個(gè)叫 Grant Sanderson 的 YouTuber 合作了一個(gè)視頻，我們就討論了古希臘人是如何測(cè)量月亮和地球之間的距離的。他們所用的技術(shù)，其實(shí)今天我們每個(gè)人也可以自己動(dòng)手試一試。根本不需要太空望遠(yuǎn)鏡或復(fù)雜數(shù)學(xué)模型。

視角的轉(zhuǎn)換非常重要。常言道，旅行開闊視野，那么這是一種“智識(shí)上的旅行”。你試圖把自己放入古希臘人、或任何歷史時(shí)期的人的視角，提出一些假設(shè)，比如“球形地球”，然后進(jìn)行推演與想象。這其實(shí)就是數(shù)學(xué)家的工作方式，某種意義上，也類似于藝術(shù)家的創(chuàng)造。

只要你設(shè)定一組公理，數(shù)學(xué)的推演就會(huì)展開。你沿著這些公理不斷推理，常?？梢宰叩帽茸畛醯募僭O(shè)遠(yuǎn)得多。

廣義相對(duì)論

萊克斯：

你提到了廣義相對(duì)論，你也曾在理解愛因斯坦場(chǎng)方程的數(shù)學(xué)方面做出過貢獻(xiàn)。你能否介紹一下這部分工作？從數(shù)學(xué)的角度來看，廣義相對(duì)論中哪些方面最吸引你？又有哪些挑戰(zhàn)？

陶：

我確實(shí)研究過一些相關(guān)方程。其中有一個(gè)叫“波映射方程”（wave maps equation），也稱為 σ 場(chǎng)模型（Sigma field model），它并不是直接描述時(shí)空引力本身的方程，而是關(guān)于存在于時(shí)空之上的某些場(chǎng)的模型。

愛因斯坦的廣義相對(duì)論方程描述的是“空間”與“時(shí)間”本身，但在這個(gè)基礎(chǔ)之上還存在其他的場(chǎng)，比如電磁場(chǎng)、楊-米爾斯場(chǎng)（Yang-Mills fields）等等。這些方程形成了一個(gè)層級(jí)體系，而愛因斯坦方程雖然是其中最非線性、最復(fù)雜的之一，但在整個(gè)層級(jí)中卻并不處于最高位置。

我研究的是其中相對(duì)低階的一個(gè)——波映射方程。它的物理圖景是這樣的：想象一個(gè)波動(dòng)，它在每一點(diǎn)上都被限制在球面之上?？梢园阉胂蟪蓵r(shí)空中有一大堆小箭頭，這些箭頭指向不同的方向，像波一樣傳播。你輕輕撥動(dòng)一個(gè)箭頭，它的擾動(dòng)就會(huì)擴(kuò)散開來，讓周圍的箭頭也開始運(yùn)動(dòng)，就像麥田中隨風(fēng)搖曳的麥穗一樣。

我關(guān)注的問題是所謂“全局正則性問題”（global regularity problem），也就是：這些能量是否有可能集中在某個(gè)點(diǎn)上？我研究的這個(gè)方程屬于“臨界方程”（critical equation）類別，其特征是它在所有尺度上的行為基本相似。

我最終證明了：你無法構(gòu)造出一個(gè)讓所有能量集中在一點(diǎn)的情形——能量必須在某個(gè)時(shí)刻稍微地分散開來，即便只是一點(diǎn)點(diǎn)分散，也足以維持解的正則性。這項(xiàng)工作大約是在 2000 年完成的，也是我后來開始對(duì)納維-斯托克斯方程產(chǎn)生興趣的原因之一。

為了解決這個(gè)問題，我開發(fā)了一些新的技術(shù)。因?yàn)檫@個(gè)方程是高度非線性的，主要是因?yàn)榍蛎姹旧淼那蕩砹四撤N“非微擾效應(yīng)”（non-perturbative effect）。在常規(guī)視角下，這些非線性效應(yīng)甚至比波動(dòng)方程的線性部分還要強(qiáng)，使得問題很難控制，即便能量很小也不例外。

于是我引入了一種稱為“規(guī)范變換”（gauge transformation）的方法。你可以把這個(gè)系統(tǒng)想象成一大片麥穗在風(fēng)中來回?cái)[動(dòng)，極其復(fù)雜。如果我們能讓這些運(yùn)動(dòng)“穩(wěn)定”下來，比如在空間的各個(gè)點(diǎn)上掛上小攝像頭，這些攝像頭可以隨著主流動(dòng)方向一起運(yùn)動(dòng)，從而捕捉到主要?jiǎng)討B(tài)。

在這種穩(wěn)定坐標(biāo)系下，原本非線性的流動(dòng)就變得更線性了。我正是通過這種方式找到了一個(gè)可以轉(zhuǎn)換方程的坐標(biāo)系統(tǒng)，成功減少了非線性影響，并最終得以解決該方程。

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參考資料：

1.https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k&t=7487s

運(yùn)營(yíng)/排版：何晨龍