保羅·哈爾莫斯，他是杰出的匈牙利裔美國數學家。作為馮·諾依曼的助手和鞅理論提出者約瑟夫·杜布的學生，他在邏輯、概率和統計、泛函分析等領域都做出了基礎性的工作。

同時他還是優秀的數學教育家和作者，曾在美國芝加哥大學和普林斯頓大學等多所知名學府任教，更因為多部數學名著而享譽全球。他是美國數學會（AMS）的“斯蒂爾獎”（Leroy P. Steele Prize）得主。2012 年，美國數學協會（MAA）的一項重要寫作榮譽更名為“保羅·哈爾莫斯 - 萊斯特·福特獎”。

他的著作《我想當數學家》的中文版于1999年首次在國內出版，時隔26年終于再版！

在這本被譽為20世紀“數學社會史”的傳記中，哈爾莫斯講述了自己與數學相伴的一生，以及同時代數學家們的種種趣聞。他親自拍攝或收集了眾多數學家的照片，讓讀者對這一群體產生全面而感性的認識。哈爾莫斯以數學家的角度深入討論了該如何學習數學、如何做研究、如何營造良好的學習和學術環境，同時，他講述了自己對數學的理解，并以親身經歷告訴讀者：什么是真正的數學家，怎樣才能成為一名數學家。

來源 | 《我想當數學家》

作者 | [美]保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）

譯者 | 張十銘

誰能告訴大家，如何做研究，如何發揮創造力，如何發現新東西？幾乎可以肯定，沒人能。很長一段時間以來，我一直努力學習數學，理解數學，尋找真理，證明定理，解決問題。

而現在，我將試著描述我是如何做到的。這個過程中最重要的部分是精神上的，這是無法形容的，但我至少可以嘗試描述一下物質上的部分。

數學不是一門演繹科學，這是老生常談。當你試圖證明一個定理時，你并非只是列出假設，而后開始推理。你要做的是試錯、實驗、猜測。

你想查明事實是什么，在這方面，你所做的與實驗室技術員的工作類似，但在精確度和信息量上是不同的。如果哲學家們有膽量的話，他們可能會像我們看待技術人員一樣看待我們數學家。

我熱愛從事研究，我渴望從事研究，我必須從事研究，而我討厭貿然開始做研究——我總是盡可能地延緩開始時間。

對我來說，重要的是那些外在的大事，那些我可以奉獻一生的東西，而不是那點兒內在的自我滿足。高斯、戈雅、莎士比亞和帕格尼尼都非常卓越，他們的優秀帶給我快樂，我欽佩和羨慕他們。他們也是有奉獻精神的人。

卓越只有少數人才能達到，但奉獻精神是每個人都可以擁有的，并且應該擁有；而沒有奉獻精神，生命就不值得延續。

盡管我在工作中投入了巨大的感情，我還是討厭“開始做”，每次都是一場戰斗和痛苦。難道沒有什么事情可以（或必須）先做嗎？我不該去削削鉛筆嗎？事實上，我從來不用鉛筆，但“削鉛筆”已經成為一種暗號，代表著任何事，只要這件事有助于推遲集中創造性注意力所帶來的痛苦。

在圖書館查找參考資料、整理舊筆記、準備明天上課的教案，都可以當作借口：一旦沒有這些事擋路，我就真的可以不受干擾地集中注意力了。

卡邁克爾抱怨說，作為院長，他每星期用于研究的時間沒法超過 20 小時。

我聽了很驚訝，現在我仍然感到驚訝。在我多產的那些年里，我大概平均每星期花 20 小時集中進行數學思考，但超過這個時間長度的情況非常罕見。

在我有生之年，有過兩三次罕見的例外，那是在漫長的思想階梯接近高潮迸發的時候。盡管我從未擔任過研究生院院長，但我似乎每天只擁有三四小時做研究的精神能量，我是說“實實在在的做研究”，其余的時間，我寫作、教學、評論、商議、評審、講座、編輯、旅行，以及用我能想到的一切方式“削鉛筆”。

每個做研究的人都會遇到“休耕期”，在我的“休耕期”里，其他的職業活動——甚至“墮落”到講授三角學，都成了我謀生的一種借口：是的，是的，我今天可能沒有證明任何新定理，但至少我很好地解釋了正弦定理，我掙得了我的生活費。

數學家為什么要做研究？存在幾種回答。我最喜歡的說法是，我們很好奇——我們“需要”知道。這跟“因為我們想要知道”的含義相差無幾，我同樣接受這種說法，它也是一種很好的回答。然而，還有其他的說法，更實際的說法。

我們給未來的工程師、物理學家、生物學家、心理學家、經濟學家，當然還有數學家講授數學。如果我們只是教他們去解決書中的問題，他們所接受的教育在畢業前就會過時。即使從粗略的、世俗的、工業的、商業的角度來看，我們的學生也必須準備好回答未來的問題，而這些問題在他們上課時甚至都沒有被問過。

僅僅教會他們已知的一切是不夠的，他們還必須知道如何發現尚未被發現的東西。換句話說，他們必須進行解決問題的訓練，也就是做研究。一個并不總是在思考如何解決問題——那些他不知道答案的問題——的老師，他在心理上根本就沒有準備好教他的學生去解決問題。

在做研究時，我不擅長的一個方面是競爭，因此我從來都不喜歡競爭。我沒有足夠快的速度去搶別人的風頭。

我爭取領先的辦法是朝著與主流正交的方向走，希望能找到一片屬于我自己的小而深的靜水。我不愿浪費時間去證明那些著名的猜想，而后以失敗告終；相反，我試著將缺失的概念分離出來，提出富有成效的問題。

你不可能在一生中經常做到這一點，如果這些概念和問題確實是“正確的”，它們就會被廣泛采用，而你很可能會發現，自己在自己的學科發展中被那些擁有強大方法和深刻見解的人超越。很公平，我可以接受。這是一種合理的勞動分工。

我當然希望是自己證明了次正規不變子空間定理，但好在我至少做了一些事情：我引進了這一概念并指明了方向。置身于競爭之外的另一表現是，我從不強調快節奏。

我捫心自問，比最新成果晚上一兩年再去耕耘，有什么不對嗎？我告訴自己，這沒什么錯。但即使是對我來說，這樣回答有時也行不通，而對一些心思不同的人來講，這個回答則總是錯誤的。

當羅蒙諾索夫（Lomonosov）的成果（關于交換緊算子的聯立不變子空間）和斯科特·布朗（Scott Brown）的成果（關于次正規算子）爆發時，我像周圍的算子理論家一樣興奮，我渴望迅速了解細節。但是，這樣的突破非常罕見，因此，我仍然可以快樂地落后于時代而生活。

很好，脫離競爭，與主流正交，落后于時代——我到底在做什么呢？答案是，我在寫。我坐在書桌前，拿起一支黑色圓珠筆，開始在一張8.5 x 11的橫格紙上寫字。

我把“1”標在右上角，然后落筆：“這些筆記的目的是研究秩 1擾動對格結構的影響……”這一段寫完后，我會在頁邊空白處標上大大的黑色粗體字“A”，然后繼續往下寫 B 段。

頁碼和分段字母構成了參考體系，通常有幾百頁，例如，87C 的意思是第 87 頁上的 C 段。我把這些頁放入三環活頁夾里，在書脊處標上“逼近”“格”“積分算子”等。

如果一個專題大功告成，筆記就轉變成論文，但是不管成功與否，筆記本是很難丟棄的。我書桌旁邊的書架上總是放著幾十本筆記。我一直希望那些未完成的筆記能夠繼續增厚，而那些得以出版的筆記最終將包含被忽視的寶貴見解，這些見解正是處理懸而未決的重要問題所必需的。

我會盡量長時間地坐在書桌前，只要我有精力或時間，我就會一直坐在那里。在工作進展到上升期的時候，比如當一個引理得到解決，或在最不濟的情況下，一個未經檢驗但并非明顯無望的問題被提出來時，我會試著將任務停下來。

這樣，我的潛意識就可以繼續工作，在最好的情況下，當我步行去辦公室、去上課，甚至在晚上睡覺的時候，我都能在工作上取得進展。有時，一個難以捕捉的問題會讓我睡不著覺，而我似乎開發出一種糊弄自己的方法。

翻來覆去一會兒之后——時間不長，通常只有幾分鐘——我就“解決”了這個問題。證明或反例在靈光一閃中出現，我心滿意足地翻個身，便睡著了。幾乎所有的閃念都是虛假的，不是證明有一個巨大的漏洞，就是反例不能推翻任何東西。

不要緊，我相信解決方案足夠長，能讓人迷迷糊糊入睡。奇怪的是，在夜里，在床上，在黑暗中，我從不記得要懷疑當時的“靈感”，它是如此受歡迎，讓我毫無疑問地接受了它。

在某些情況下，它甚至被證明是正確的。我不介意按鐘點工作。到了要去上課或該出去吃晚飯，必須停止思考的時候，我會高高興興地把筆記放在一邊。我可能會在下樓去教室的時候，或在發動汽車并關上車庫門的時候，一直在思考問題，但我并不討厭被打斷（我的一些朋友說他們討厭被打斷）。

這全是生活模式的一部分，我很欣慰地知道，在幾小時之后，我們——我的工作和我——將重新聚攏到一塊兒。

好的問題、研究的對象，從何而來呢？它們可能來自一個隱秘的洞穴，作家們在那里尋找情節，作曲家們在那里尋找旋律。沒有人知道這個洞穴在哪里，甚至在幸運地偶然進入一兩次之后，也沒有人能記得它在哪里。

有一件事可以肯定：它們并非來自一個意在推廣的模糊愿望。恰恰相反，幾乎所有偉大數學思想的源泉都是特殊的情形，都是具體的例子。在數學中經常出現這樣的情況：一個看似極具普遍性的概念，它的每一個實例在本質上都與一個小而具體的特殊情況相同。

通常情況下，推廣或一般化首先是由特殊情況引起的。表達“在本質上相同”的一種精確方法是表示定理。關于線性泛函的里斯定理就是典型例子。在內積中固定一個向量來定義有界線性泛函，而有界線性泛函的抽象概念似乎是一個很好的推廣，這個定理是說，實際上，抽象概念的每一個實例都以具體的特定方式產生。

這似乎是迪厄多內和我有意見分歧的眾多主題之一。我曾經在美國馬里蘭大學做過一次研討會報告，當時迪厄多內正在那里訪問。報告的主題是正逼近（positive approximation）。我給自己設置的問題是，在希爾伯特空間上給定任意算子 A，求一個正（非負半定的）算子 P，使得||A-P||極小。我很幸運，

事實證明，有一個很小的具體特例，它本身包含了所有的概念、所有的難點，以及理解和克服它們所需的全部步驟。我的報告集中在這個特例上，即C2上由矩陣定義的算子。

我感到自豪：我認為，我成功地傳達了一個漂亮的問題及其令人滿意的解決方案，而沒有陷入分析上無關緊要的技術性細節的泥沼當中。迪厄多內彬彬有禮，態度友善，事后卻明顯表現得居高臨下。

我記不清他講的原話了，但實際上，他祝賀我做了一場滑稽表演。這似乎給他留下了“休閑數學”的印象。在他的詞匯中，這是一種嘲諷，休閑足夠令人愉快，但做作而膚淺。我認為（至今也認為），事情遠不止如此，我們在價值觀上的差異是由我們在觀念上的差異造成的。

我想，在迪厄多內看來，重要的結果是強有力的一般性定理，從中能夠很容易推斷出你想要的所有特例；而對我來說，向前邁出的最偉大的一步是具有啟發性的核心例子，從中很容易全面洞察出其周圍的籠統的一般性。

作為一名數學家，我最大的優勢就是能夠看出兩件事物什么時候“相同”。

例如，我一直在苦苦思考戴維·伯格（David Berg）的定理（正規算子等于對角算子加上緊算子），當我注意到他的一堆證明與“每個緊統都是康托爾集的連續像”的證明類似時，我就頓悟了。由此開始，我運用那些經典的陳述，而不必絞盡腦汁地去看伯格的證明，最終就伯格的結論得到了一種清晰易懂的新方法。

我可以舉出許多類似的例子，最突出的案例出現在對偶理論中，比如，緊阿貝爾群的研究與傅里葉級數的研究相同，布爾代數的研究與全不連通緊豪斯多夫空間的研究相同。還有一些不是對偶理論的例子，比如，經典的逐次逼近法與巴拿赫不動點定理相同，概率論與測度論相同。

這種洞察力讓數學變得干凈利落，它去除贅肉，顯示出真實面貌。這促進了數學的發展嗎？偉大的新思想真的只是識別兩種原理的相同之處嗎？我經常這么認為，但我并不總是確定。

如上，我回答好“如何做研究”這個問題了嗎？

《我想當數學家》

作者：[美]保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）

譯者：張十銘

被譽為“20世紀數學社會史”的頂級數學家群像寫真傳記！

豆瓣8.7高分經典再版！這不只是一本數學家傳記，更是讓你成為一名真正數學家的書；

著名數學家、教育家哈爾莫斯是數學界難得一見的“大家”，書中關于人生、學習、研究和教育的思考影響了一代數學家。

這本傳記刻畫了20世紀最有代表性的一批數學家的姿態，以及什么是真正的數學家，怎樣才能成為一名數學家。

林群、張景中、湯濤，三位中科院院士，數學家聯袂推薦的著作！