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海曼·巴斯 （Hyman Bass，1932 -）

海曼·巴斯（Hyman Bass）教授，是一位在純數學領域做出開創性貢獻（代數K理論的奠基人，研究交換同調代數和投射模，他也是樹上的群作用理論的共同創始人），并在數學教育領域發揮重要領導作用的杰出數學家（擔任AMS美國數學會主席和國際數學教學委員會主席），他的工作極大地豐富了我們對代數和數學教學的理解。

他是美國國家科學院、美國藝術與科學院、世界科學院的院士。曾獲得科爾代數獎、美國國家科學獎章。本文是Lisa Carbone和Yvonne Lai對其采訪內容，內容較長，分為上下篇。

作者：Lisa Carbone（羅格斯大學數學教授）

Yvonne Lai（內布拉斯加大學林肯分校數學教授）

2025-2-13

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-6-23

- 接上篇 -

41970年代至80年代：與布爾巴基一起寫作

圖8： 從左到右依次為 Michel Raynaud、Hyman Bass 和 Armand Borel，科西嘉島，1970年代

采訪者：您曾以尼古拉斯·布爾巴基（Nicholas Bourbaki）的筆名參與出版數學教科書的團隊。您是如何與布爾巴基合作的？您在團隊中擔任什么角色？

巴斯：我知道布爾巴基的存在，而且塞爾（Serre）、艾倫伯格（Eilenberg）和格羅滕迪克（Grothendieck）等人都曾是該協會的成員。 但其中大多數是法國人。 所以當我被邀請時，我感到非常震驚。

我與塞爾的聯系可能與那次邀請有很大關系。我的數學視野遠不及布爾巴基學院的許多人，盡管我的興趣廣泛。也許他們需要一些代數方面的人才，尤其是那些了解非交換代數的人，而我在這方面有所投入和實力。這在法國數學界并非傳統。

我想是讓-路易·維爾迪爾（Jean-Louis Verdier）傳達了邀請。他是我的密友兼同事。我最終在1970年至1982年間成為了其中的一員。

布爾巴基的關注點并非新數學，而是以一種全面而嚴謹的方式，清晰簡潔地闡述當代數學。這種數學寫作必須在浩瀚的領域中保持一致性，而這導致了一些從闡釋角度來看較為繁瑣的地方。

在典型的寫作中，你會將你的主題領域定位到特定領域，并且可以采用一些無需與其他數學領域慣例一致的慣例。但布爾巴基試圖一致地討論整個數學領域。因此，許多交叉引用的內容必須彼此一致，而特定領域的寫作則不需要這樣做。

無論人們對布爾巴基的風格有何好惡，這些著作的作者都是數學家，他們在自己的職業生涯中都是才華橫溢的闡釋者。例如，塞爾是一位優美的作家，讀起來非常悅耳，但他也用布爾巴基風格寫作，符合布爾巴基風格。用布爾巴基風格寫作是另一種類型的項目。它與其說是教學法，不如說是以邏輯順序、一致性和嚴謹性為主導特征。它的簡潔性源于一種嚴肅、極簡主義的優雅。在某些情況下，例如《李理論》，我認為布爾巴基的闡述既新穎又優美。

就我對數學證明的強烈忠誠而言，我想我的寫作風格，盡管有時很粗心，但還是符合這種風格。

布爾巴基的一個有趣之處是它的工作文化。當時，它是一個規模不一的小團隊，最多只有十幾個人。他們著眼于整個數學體系的宏大架構。早期的書籍主要討論基礎結構，例如集合論、代數和拓撲。之后的章節則探討高階結構，例如泛函分析、流形和李群，其中不同的基礎結構相互交織并被綜合。有很多章節需要編寫，或者可能需要修改和更新，它們都融入到這個宏大的架構中。

那么，這種寫作是如何完成的呢？這項工作的性質很大程度上是社交性的。有一章需要撰寫。它可能是新的，也可能是修訂版。小組成員集體對這一章的主題、總體內容以及重點有一些想法。然后，會指派某個人 ——某個小組成員——負責撰寫該章的草稿。

他們的資金不多，全部來自這些書籍的出版，全部用來支持這項工作。但至少工作條件、氛圍等等，雖然不算奢華，但卻非常舒適宜人。

圖9： 海曼于1978年訪問加州大學伯克利分校

那時，他們每年大約三次聚會“congrès”。他們去了一個偏僻的地方——非常漂亮，但很安靜，而且絕對不怎么公開。在場的其他人根本不知道這群古怪的人是誰，也不知道他們在做什么。這些偏僻的地方包括普羅旺斯、科西嘉島和科莫湖，我們住在舒適的旅館里，吃得非常豐盛。為了去科西嘉島，我們從巴黎乘坐南下的快速列車，在車上享用了一頓豐盛的晚餐。

小組氣氛活躍卻又輕松。每個人都穿著非常隨意，或許穿著短褲之類的。我們圍坐在一起，有人逐行朗讀當前章節的草稿。當讀者需要補充意見時，朗讀會在不同階段進行。草稿被反復審閱。大家提出了各種各樣的批評和建議——大多是他們不喜歡的地方。

當然，作者也在場，并參與了這些有時很粗暴的反饋。唯一的補償是——所有需要修改的地方、需要如何改進的地方都會被詳細記錄下來——草稿作者不必重寫。下一稿則分配給了其他人。某個章節可能歷經無數次的修改輪回，最終并非消亡，而是被束之高閣（封存于“文學冰柜”au frigidaire之中）。換句話說，它可能會被長期保存，甚至可能是永遠。

這是一個非常系統且非常嚴格的過程。當然，它是匿名的。其他科學家想知道所有這些高水平的智力努力和時間，在沒有個人認可或補償的情況下，是如何發揮作用的。參見：1996年企鵝出版集團出版的卡爾·杰拉西《布爾巴基的妙計》（The Bourbaki Gambit, by Carl Djerassi, 1996, Penguin Publishing Group）。

一個經常被公開討論的問題是“為什么布爾巴基沒有范疇論？”嗯，如果不徹底修改布爾巴基的集合論基礎，很難找到一種方法來做到這一點。德利涅（Deligne）寫了一個關于范疇論的非常漂亮的草稿，這些想法被束之高閣（au frigidaire）。有趣的是，雖然布爾巴基沒有定義函子，但他允許自己在某些章節標題中使用“函子性質”（proprieties fonctorielles）這一表達（盡管不是在正文中）。

在“congrès”大會的討論中，一些人物脫穎而出。Jean Dieudonné、Pierre Cartier和Michel Demazure都具有相當鮮明的個人風格和數學觀點。

就我個人而言，參加布爾巴基會議是一種獨特的體驗，而且，從設計上來說，對數學界的其他人來說，這基本上是不可見的。

采訪者：聽起來確實很費勁。所以，在布爾巴基研究中，個人或許會成名，但他們并沒有因為他們對布爾巴基的貢獻而獲得贊譽。

巴斯： 數學思維的魅力吸引著我。我是個思維非常遲鈍的人。我身邊總是圍繞著一些比我聰明得多、反應敏捷得多、對這個領域有更廣闊視野的人。我珍視的就是能夠與這樣的人相處。我從布爾巴基身上學到了很多。接觸到那樣的環境和那些人，對我來說彌足珍貴。

例如，我認為我做過的最好的工作可能是那篇關于同余子群問題的論文。它有三位作者[BassMilnorSerre1967]。實際上，這篇論文是我自己起草的，我可以想象其他兩位作者對它的整理方式并不完全滿意；它很可能被分成兩篇或三篇不同的論文。例如，塞爾的貢獻是在開發后期才做出的。我決定了一些術語，這些術語或許應該歸功于米爾諾的工作。

但我看重這項工作的，與其說是我做了什么，也不說是我想要得到什么贊譽，不如說是整個過程匯集了如此令人印象深刻且令人滿意的思想。這對我來說至關重要。令我驚嘆的是，這個關于矩陣群的自然問題不僅與數論中明確的廣義互反律息息相關，而且如果這些定律當時尚未被發現，那么解決這個問題就需要發現它們。

例如，我認為塞爾和米爾諾雖然彼此欣賞對方的作品，但他們從未合作過任何作品。因此，從這個意義上講，他們各自貢獻的思想更多的是互補而非交織。對我來說，我更欣賞的是整體的一致性；這與其說是個人功勞，不如說是關于匯集思想的美學問題。如果能將其中的各個部分以某種方式分開，或許會更有幫助。

回答“你為什么要放棄這些時間和精力去做像布爾巴基這樣的事？”——這只是我整個性格的一部分。我從未想過自己會成為某種偉大的數學思想創造者之類的人，但我真的很珍惜身處那種真正美妙、高水平的數學思維環境。這對我來說至關重要。

51990年代至今：數學教育

圖10： 海曼從喬治·W·布什總統手中接過國家科學獎章，2007年

照片由美國國家科學技術獎章基金會的瑞安·K·莫里斯拍攝

圖片由美國國家科學基金會提供

數學教學工作探究

采訪者：從1990年代開始，您開始更多地參與K12數學教育。您在數學教育領域合作時間最長的是與黛博拉·洛文伯格·鮑爾（Deborah Loewenberg Ball）合作。你們兩人是如何認識的？

巴斯：教育發展中心舉辦了一場由Ed Dubinsky組織的關于本科教育的研討會。 黛博拉和我當時就在場。 我記得她的想法給我留下了深刻的印象。 她有一種世故。正如我一直說的，我一直欣賞真正有趣的思想——主要是數學，但也包括政治、國際事務、民權、正義和人民。 這就是我們見面的地方，我們就這些想法進行了通信。

后來，我通過數學科學教育委員會與她有了更正式的聯系。（海曼曾擔任美國國家研究委員會設立的數學科學教育委員會成員（1991 - 1993年）和主席（1993 - 2000年），作者注）我們斷斷續續地邀請她就一些我們正在討論的項目發表演講。就這樣，我們保持著機構層面的聯系，但她也逐漸向我透露了更多她正在進行的教學研究。

作為一名小學教師，她一直渴望提升自己的教學水平，但卻苦于數學教學的不足。她覺得自己對數學有一些理解上的欠缺，需要進一步學習。于是她選修了一些數學課程，這些課程很有幫助。但她并不知道如何將數學學科視角引入課堂，更不了解這種視角在教學實踐中的重要性。這促使她思考： 教學的數學工作是什么？ 但她并不確信自己能看到所有相關的數學事件，即使她能夠觀看自己教學的錄像。

這種知識上的謙遜并不常見。人們可能在自己擅長的領域非常精通。但需要謙遜才能認識到，當你進入一個新領域時，你對想法的理解方式僅適用于某些特定目的，而這些目的可能并不適用于其他環境。你的知識只是貢獻，而不是統治。

然后，她做了一件我想更好地理解某件事時也喜歡做的事情。我喜歡找到我認為對某件事了解最深入的人，然后去找他們，試圖加深理解。她決定招募一些數學家，不是讓他們告訴她什么數學適合教學，而是讓他們觀察實際教學實踐本身。她讓他們觀看教學視頻，并提出一個問題： 你認為什么在數學上有意義且相關？ 那時，我們進行了大量的思想交流，不僅涉及政策，還涉及教學中的數學工作。

在這些視頻中，她正在教三年級學生。我們分析的數據非常驚人。（對這批由斯賓塞基金會和美國國家科學基金會資助項目所產生的數據資料的分析，為教學用的數學知識這一概念奠定了實證基礎。）視頻附有詳細的文字記錄。學生的筆記本和作業都復印了。我們還提供了學生訪談和教師日志。

所以，這是一個非常棒的數據集合，可以用來真正理解教學實踐的內容。黛博拉每年夏天都會在小學數學實驗室繼續秉承這種精神實踐，持續幾周。但這個數據集合來自她一整年的教學，即1989 - 1990學年，當時她教三年級。這非常了不起。如今，任何人都可以用手機拍攝視頻。但在當時，收集這種規模的長期文獻是一項艱巨的任務。 （由Ruth Heaton、Magdalene Lampert和Deborah Loewenberg Ball主導的這項研究，首次采用“超媒體”hypermedia作為理解教學實踐的方法論[LampertHeatonBall1994]）

這很令人驚訝，因為盡管我傾向于抽象概念，但這卻讓我感同身受。當我看到孩子們在那些教室里做事時，感覺就像是在觀看他們做數學題的縮影。這真的令人興奮。我不確定這些孩子在其他老師的指導下是否會有同樣的感受。但不知何故，這些孩子在思考數學，并真正投入其中，我希望我的本科生也能有這樣的感覺。

問題在于真正深入其中。 數學上究竟發生了什么？教學是如何觀察和辨別學生所見所聞的？ 對于這些問題的答案，數學家們可以提供一些幫助。但他們無法講述全部。傾聽至關重要，不僅要傾聽孩子們的聲音，還要傾聽同事和其他人的聲音——更重要的是，關注教學的動態及其復雜性。我沉浸于這些材料和問題之中，并被深深吸引。

數學“使人相信”

采訪者：您如何描述這種教學和學習？

巴斯：黛博拉和我寫了一篇論文， 我們嘗試傳達這個想法 我們可以將這種數學課堂文化與學科中發生的事情聯系起來[BallBass2000MakingBelieve]。

這些三年級學生，正在進行數學推理。他們思辨、推測、爭論。我們探索的問題是： 與學科中發生的事情相對應的環境結構是什么樣的？ 在本文中，我們稱這種結構為“使人相信”。

“使人相信”（making believe）是一個常見的短語，意思是“自稱”（pretending），就像孩子們做的那樣。但我們用它來比喻實際的數學推理、證明和論證。因為當你證明一個數學定理時，你在做什么？什么時候它被證明？什么時候它被接受為知識和學科的一部分？是當你說服了該學科的專家——當你讓他們相信它的時候。當審稿人說：“是的，這是對的，可以發表?！?換句話說，當你證明一個數學定理時，這是一個讓人們相信某事的過程。

當你想要證明某件事時，你可以說 B 為真，因為 A 蘊含 B 。那么 A 呢？你可以說 A 為真，因為 C 蘊含 A 。那么 C 呢？這到哪里為止？對于數學家來說，它止于公理、定義或先前建立的結果。你需要一些無需證明就能被接受的東西。當然，這些東西是什么會有所不同，取決于人們的專業知識和社群是什么。

我們稱之為公共知識的基礎 。這種共享知識不是先驗明確的。它必須通過經驗確定。它與該社群的共同假設有關，例如你已同意的定義以及所需的細節粒度。例如，如果你在高中，如果有人進行常規數值計算，你不會要求他們證明為什么這樣做。但如果這是一個復雜的幾何論證，你會希望他們詳細解釋這一點。

在數學中，我們有一個“公共知識基礎”的概念。如果你是一位邏輯學家，你正在學習數學的基礎知識。在分析中，你不會問關于實數性質的問題。你假設的是基礎知識。但它并非精確確定的；必須對起點達成某種默契。

換句話說，每個社群都有自己的公理和定義。我們有一些可以引用的定理，它們也是文獻的一部分。

如何讓這個基礎變得易于理解？在三年級的教室里，墻上貼滿了海報。有些海報是關于學生契約的——學生們同意如何遵守話語規范之類的。但也有一些海報是關于數學的。有些海報后來受到了質疑，但在張貼時，學生們已經暫時達成了某種共識，認為海報上的陳述是正確的。所以這些海報就是文獻，記錄了已經取得的成果。它們還記錄了話語規則、事物如何受到質疑，以及辯論的過程是怎樣的。

為了描述使數學作業成為可能的課堂結構，我們不僅僅重述結果和規范，而且根據1989 - 1990年的數據語料庫提供了記錄。我們的分析包括學生之間的實際陳述以及他們爭論的內容。我們確定了數學探索過程的要素，包括數學語言的發展和論證的推理。

例如，1990年1月，學生們正在學習偶數和奇數。但她（黛博拉）并沒有從定義這些數字開始。相反，她給出了這樣的問題：

橡皮擦售價2美分，鉛筆售價7美分。你可以買鉛筆和橡皮擦。如果你愿意花30美分，你能買到多少種不同組合的橡皮擦和鉛筆？

關鍵在于鉛筆的數量必須是偶數，因為它們的價格是7美分，而7是奇數。橡皮擦每塊價格是2美分，而2是偶數。所以你需要偶數支鉛筆，才能使鉛筆和橡皮擦的總價正好是30美分。（關于該事件的詳細記載，請參閱Ball與Bass（2003）的研究[BallBass2003Reasonable]）

學生們就這樣發現了兩種數：偶數和奇數。有了這些概念，他們開始探索，如果把兩種數相加會發生什么。他們開始猜測：

偶數+偶數=偶數

偶數+奇數=奇數

奇數+奇數=偶數

然后兩個學生說：“我們不同意?！?其中一個學生提出了一個他們認為正確的論證。但這兩個學生又說：“我們考慮過了，我們認為你無法證明它總是成立?！?黛博拉問他們：“為什么？” 學生們說：“數字是無限的，奇偶數也是無限的，所以你無法證明它總是成立?！?/p>

這真是令人震撼。

這些學生是對的，因為他們所有的證明方法到目前為止都是通過檢查案例來實現的。今年早些時候，問題的范圍是有限的，而不是無限的。他們可以通過檢查所有案例來證明他們已經處理了所有可能出現的情況。所以，說無法在所有情況下證明這一命題是錯誤的，而他們認為無法用檢查案例的方法證明這一點是正確的。

圖11：密歇根大學的海曼，2006年

他們所做的不僅僅是數學思考——他們實際上是在構建證明本身的基礎架構。他們沒有奇數的正式定義。但是，如果數字意味著事物的集合，而當你把一個奇數分成兩對時，總會剩下一個。當然，當你把兩個奇數放在一起時，剩下的兩個1可以組成另一對。

那么，這個論證是如何超越這個挑戰的呢？盡管奇數有無限多種情況，但奇數的定義本身的范圍是無限的。它是無限量化的。所有奇數，當你把它們分成兩對時，總會剩下一個。因此，結論的無限范圍是可能的，因為它已經嵌入在定義本身中。

這是數學思維的一次令人印象深刻的進化。而且它并非程式化，也并非某些課程教給他們如何行動的腳本。這是一種隨著時間推移而發生的教學過程。當時是一月，正值學年中期。

九月份的時候，老師還在問他們類似的問題，他們的數學思維也比較活躍，但比一月份的時候發展得慢多了。九月份的時候，他們有點不習慣，甚至對以前遇到過的類似問題不適應。這對他們來說很新鮮。他們能夠說出一些有趣的事情，并開始對它們產生好奇心。但他們還沒有形成那種讓九月份的孩子變成一月份的孩子，做出這些驚人之舉的文化。

這就是擁有整個學年教學記錄的重要性。所有課程都錄像了。你可以看到哪些舉措促進了這種發展。這種記錄不容易記錄，即使是書面記錄也很難。能夠查看原始數據非常有用。

數學教學能力建設

采訪人：需要什么條件才可以學習這樣的教學？

巴斯：這種教學方式蘊含著深刻的洞見。問題是，你能大規模復制這種教學方式嗎？ 你將如何構建一個能夠復制這種教學方式的教師教育項目？你很難培養出另一個黛博拉。但黛博拉本人非常熱衷于在教學中培養這種素質的能力。

她和其他志同道合的人，比如帕姆·格羅斯曼（Pam Grossman），所采用的方法是觀察其他工作領域如何培養出技能型的專業人員，并從中汲取經驗教訓。你是如何成為一名外科醫生的？你是如何成為一名飛行員的？你是如何成為一名水管工的？

他們有一個想法：實踐分解（decomposition of practice）。（Grossman及其同事（2009）[GrossmanEtAl2009]通過對比神學院、臨床心理學與教師培訓項目的研究，首次提出這一概念。）當你遇到一個困難而復雜的問題時，有時可以嘗試將其分解成更小的問題，然后將它們組合起來，或許再做一些額外的工作，就能解決整個問題。在數學證明中，我們稱之為引理（lemma）。它們是論證中可以分離出來的部分。

黛博拉在密歇根大學教職工中組織了一個小組，尤其是在她擔任院長之后。這個小組致力于識別和發展他們最終稱之為 “高杠桿實踐”的東西——教師日常工作中會做的事情，這些事情能夠真正影響教學。

我們希望教師們能夠各自掌握這些技能，并最終將它們融會貫通。就像你是一名網球運動員，你會學習正手、反手、發球等等。但即使你把這些都學好了，也不意味著你就能打好比賽。你必須協調這些技能，并以某種方式將它們融合在一起。

圖12： 2001年7月26日，從左到右依次為Deborah Loewenberg Ball、眾議員Vernon Ehlers、Hyman Bass和Roger Howe，出席AMS美國數學會在國會山為國會議員及其工作人員舉行的午餐簡報會

經過幾年的時間，這個團隊列出了大約一百項實踐。這很繁瑣，而且它們彼此之間并非相互獨立。下一步是將這些實踐提煉成真正關鍵、對教學至關重要且影響深遠的內容。最終，他們列出了19項高杠桿實踐。例如，其中一項就是“引導數學討論”。這份清單不斷修改，內容或減少或擴充。之后，她在密歇根大學成立了一個名為 TeachingWorks 的機構，在全國范圍內開展專業發展，以開發這些各種各樣的高杠桿實踐。

該領域的另一個問題是， 成為一名教師需要什么條件才能獲得執照？ 在美國，執照是由州政府頒發的。這本身并無不合理之處。 例如，在法律上， 每個州的做法都不同，因為法律實際上不同。 但在醫學領域，有全國考試。做心臟手術在密歇根州和阿拉巴馬州的情況其實并沒有什么不同。心臟、身體，總體來說都是一樣的。同樣，分數跨越州界時不要改變。

因此，數學國家標準的想法有道理。 但這個國家的政治結構不適合以那種方式做事。 黛博拉曾召開過一次會議，討論在全國范圍內推行數學教師執照制度的想法。這個想法有很多優點，但目前尚不清楚它是否能獲得足夠的政治支持。

圖13：海曼出席于2007年在Oberwolfach（奧伯沃爾法赫）舉行的數學教師專業發展會議

照片源：Ingeborg Pietzko

以連接為導向的數學思維

采訪者：您什么時候決定將研究重點轉向數學教育？

巴斯：它更具進化性，并且與年齡也有一定的關系。 做嚴肅數學的要求很高，不僅要按時，還要在洗澡或散步時思考你的事情 。記憶力也起著重要作用，但隨著年齡的增長，記憶力會變得越來越差。 全力以赴地進行嚴肅的數學研究和認真思考教育問題，同時又不失為一件很困難的事。

我和黛博拉一起做的工作主要集中在基礎層面，但在數學上仍然比較復雜。在基礎數學教育領域，很多工作都圍繞著文化、公平和人類行為展開。這些方面很重要，而且絕對必要。但這些領域也是我感覺自己專業知識不足的領域。

我從來都不是一個思維敏捷的人，即使在K理論方面，我從一開始就深度參與其中。后來，當這個話題變得非?；钴S時，就有人比我更快地參與其中，它也就變得意義深遠，影響也遠遠超出了我的專業知識。

在教育領域，我對很多事情都很感興趣，甚至有一些獨到的見解。但我知道，這個領域有很多人思考的時間更長，可能也更有洞見。我覺得自己無法發表超越他們現有能力的言論。

所以我試著思考，哪些問題我感覺沒有得到充分的重視，哪些方面我可以有新的見解？最近，我的思考開始圍繞“數學連接”的概念，關于數學的統一性。從廣義上講，它關乎數學思想的一致性，而這些思想應該成為數學教育的一部分。

這里有一個問題： 如果你認為數學是人們應該學習的知識和技能體系，那么我們該如何構建一個教育體系來為人們提供這些資源呢？ 在數學中，有分析和專門化與綜合相對，還有分解和組合。 你可以把數學分解成幾個部分，然后分解它—— 這就是分析。 通過這樣做，我們可以識別你要教授的學科的一致部分并給它們命名，如數論、代數、幾何、概率、微積分等等。我們有一個核心結構，它代表了學科的分解，這也是我們的教育結構。 但合成又如何呢？

我研究過很多課程和教學。即使在本科教學中，學生們也覺得這些課程就像一座座孤島，彼此之間毫無聯系。這是一種孤立的結構。這會產生影響。

當學生遇到一個問題時，他們做的第一件事就是把它類型化（typecast）。這是一個數論問題。這是一個幾何問題。這是一個微積分問題。

然后，如果問題解決方案需要他們從多個領域部署資源，而問題又不屬于他們所定義的類型，他們就會下意識地不允許自己跨越界限，進入另一個領域。沒有人告訴他們不要這樣做。他們就是不這么做。

就像人們剛開始學習幾何時，沒有人會說， 你不能在那個圖形里畫輔助線 。但這是一種文化障礙。因此，有很多跡象表明，即使學生受過良好的教育，并且在各個領域都展現出高度發達的技能，他們仍然無法感受到數學整體的一致性。

當然，在外面的世界，問題是多學科的，跨越界限的。即使在數學內部，也是如此。

我從認知科學中想到的一個信息是你有多少知識，或者你有什么知識，都不夠。更重要的是你的人脈有多廣。 換句話說，你所擁有的知識就是其各部分之間的連接發展得有多好。有各種證據可以證明這一點，其中一個來自認知心理學與一個叫做遷移（transfer）的概念相關。

如果你獲得了A的知識，你能將其應用到B嗎？其中B的結構與A大致相同。（例如，如果你在學校通過數軸學習了負數概念，能否將其運用于理解貨幣兌換場景？）遷移是關于你是否能夠將知識輸出到不同背景下結構相似的問題。 嗯，實驗表明轉移很少發生。

所以我一直在思考， 如何教人們建立數學連接？

當然，有很多種連接。有些連接相當明顯。如果你給一張作業練習紙，那些問題都是相關的，學生們也能看出它們之間的聯系。

圖14： 從左到右依次為 Hyman Bass、Charles E. Wilkes II、Deborah Loewenberg Ball 和 Yvonne Lai，攝于內布拉斯加大學林肯分校，2024年5月

我對那些不明顯的連接很感興趣，那些具有深度和微妙之處的聯系。我對此感興趣的一個原因是，數學以及科學領域的一些重大突破，往往源于人們意識到，兩件看似毫不相干、或許屬于同一學科不同領域的事物，實際上卻以某種深層的方式相互關聯。

例如，龐加萊在登上公交車時，突然意識到他所研究的富克斯函數變換與非歐幾里得幾何的變換完全相同。

“……就在我的腳剛踏上臺階的那一刻，這個想法突然閃現。我之前的任何思考似乎都未曾為此鋪墊：我曾用于定義富克斯函數（Fuchsian function）的變換，竟與非歐幾何中的變換完全一致。由于剛落座談話便重新開始，我無暇驗證這一想法，但在那一刻我感受到了絕對的確定性?！?/blockquote>——龐加萊，1908年，第388頁 [Poincare1908]

或者以朗蘭茲綱領為例。它涉及數論和伽羅瓦表示到調和分析的連接。這不是一個理論，而是一個人們將在未來幾十年內繼續研究的綱領。

數學就是尋找模式。數學家在實踐中發現，當他們在不同情境下一遍又一遍地重復著本質上相同的工作時，他們發現了一種模式。當這種情況發生時，他們會問，所有這些“事物”究竟是什么，它們都是特例？ 這是一個概念性問題，因為這是一個還不存在的新概念。

抽象并非如此奇特。數字就是抽象。數字5。數字5在哪里？你能指出它嗎？不能。但你可以舉起5個手指，這就是5個事物的一個例子。我可以說，如果另一個事物是5個事物的一個例子，我可以具體地實現它，我可以證明元素之間存在一一對應的關系。說這兩個事物相同是具體的。但如何給這種相同性命名呢？這是在創造新的東西，一個以前不存在的新概念。而這通常就是抽象的意義所在。

我的想法是，當你構建一個理論時，它實際上是在創建一個概念框架，涵蓋許多看似不同，但其實是同一事物的案例。我嘗試從許多不同的方向來探討這個想法。

現在，我們無法教會學生擁有朗蘭茲綱領或龐加萊那樣的遠見卓識，因為首先，你必須了解很多不同的東西才能做到這一點。但我最近一直在努力培養所謂的“面向連接的數學思維”。

我可以舉出很多易于理解的例子。（例如，在[Bass2017]中可以找到若干示例：當海曼證明了一個通用的測度理論結構時，該結構構成了一組關于液體混合、離散計數和面積問題的基礎。作者注）關鍵在于辨別和使用連接，并非指望我們無需指導就能做到。那么問題來了： 如何教授面向連接的數學思維呢？ 這些是我最近一直在探索的想法。下個學期我休假了。 我希望能夠寫一些有關它的東西。

在認知心理學的遷移實驗中，參與者會被給予一對所謂的同構問題，比如 問題 A 和問題 B 。實驗者會將問題 A 教給參與者，然后給他們問題 B 。實驗者想知道參與者是否能夠識別結構等價性，并運用 A 的知識來解決 B 。他們發現這種情況很少發生。我的重點不在于遷移，而是強調建立連接 。關鍵在于，即使你能夠獨立解決 A 和 B ，你仍然可能看不到它們之間的聯系。而且，有時，即使問題看似等價，但實際上并非如此。

即使是相當基礎的問題，根據它們的結構關聯性進行排序或分類也可能頗具挑戰性，尤其是它們是否真的等價或同構。我一直在開發各種材料，用于設計針對此類思維的教學活動。

6數學家和教育家之間的關系

圖15：2024年，海曼在密歇根州德克斯特的家中

照片源：加布里埃拉·巴斯 (Gabriella Bass)

采訪者：在1990年代到21世紀初的數學戰爭中，您擔任過多個管理職位，包括美國數學會和美國國家科學院。您認為這些數學戰爭最大的影響是什么？

巴斯：我認為數學戰爭是有點做作。盡管如此，它們還是讓事情倒退了很長一段時間。

這是一個復雜的故事。數學和數學家們所遭受的困擾之一，就是精英主義，甚至是傲慢。在“數學戰爭”中，一些數學家試圖維護自己的權威，因為他們證明了一些定理，而且他們在一所好大學里擁有職位。因此，他們不受質疑。

這就像社會認定，如果你擁有某種真正高度發達的技能和技術領域，那么你就很有智慧，擁有真知灼見，可以為幾乎所有人類關注的領域做出貢獻。甚至有人認為，當工程師因為某些行業轉型而失業時，他們有資格當老師，這也是其中的一部分原因。

數學家們對嚴謹、誠實地處理數學主題非常講究。但有趣的是，即使是優秀的數學家也并不總是能就如何以最佳方式呈現這些思想達成共識，更不用說了解教學的內涵了。

所以，事實上，人們普遍對教師懷有一種蔑視。人們可能不會直接表達這種蔑視。只是覺得教師沒有地位。一些數學家認為，教師不應該被聽取，而應該聽取我們的意見。這才是阻礙進步的真正障礙。

如何提升教師職業的水平和地位？這很復雜。即使在教育領域，要做到這一點也有很多問題。例如，發展高水平的實踐需要高水平的評審。如果你是藝術家或建筑師，同行會進行“評審”。學醫時，也會有評審會。在藝術工作室里，其他藝術家會圍著你的畫稿或作品，提出一些非常有見地的問題。你為什么這樣做？你覺得換個位置怎么樣？顏色、構圖等等怎么樣？藝術家、建筑師和外科醫生都習慣了這種做法。他們是認真的實踐者，會傾聽同行的意見。在很多領域，這種做法都非常有效。

但教學本身就非常私密。當其他人介入并試圖評估他們的工作時，教師們常常感到不安全——這是有充分理由的。評估的方式過于懲罰性且缺乏建設性，有時甚至是由對這項工作缺乏足夠了解的人進行的。因此，有很多方面需要改變。數學家并沒有幫助人們安全地發展和改進文化。如果你想改善一個龐大職業的實踐，你就無法通過嘲笑該職業的成員來推進這一事業。

當然，辯論是必要的。教育必須不斷發展，這個領域也有一些好的想法，例如持續改進的理念，以及從系統層面審視問題（例如[ParkHironakaCarverNordstrum2013]）。

黛博拉所做的工作非常扎實，非常注重實踐層面。如果不了解實踐者在基層如何運用，任何事物都無法完全實現。但我們也需要在系統層面進行更多思考。然而，諷刺的是，實際的教學工作卻是教育領域中研究最少的部分。

采訪人：您對未來數學家和教育家之間的互動有什么期望？

巴斯：嗯，總的來說，我認為是和諧。 我認為 這方面實際上已經取得了很大進展。

數學家們應該更加重視教育——不僅要尊重K12教育，還要尊重大學階段的教育。

并非每個人都應該以同樣的熱情投入這項工作。但我們必須給予部門內從事這項工作的人員更多的尊重和地位。數學家需要認識到這項工作與他們的研究同等重要，甚至具有協同作用，事實上，這項工作能夠豐富他們的研究。

參考資料

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