《量子雜志Quanta Magazine》每周都會介紹推動(dòng)現(xiàn)代研究的最重要思想之一。

本周，高級主編Konstantin Kakaes討論了素?cái)?shù)是什么以及素?cái)?shù)為何在數(shù)學(xué)中發(fā)揮著如此重要的作用。

作者：Konstantin Kakaes 量子雜志高級主編 2024-8-19

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2024-8-22

1、2、3、4、5 — 數(shù)學(xué)從計(jì)數(shù)開始。接下來是加法，然后是乘法。乍一看，它們似乎非常相似。畢竟，乘法只是重復(fù)的加法（累加）：7 × 5 是 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 的更簡潔寫法。

但如果你深入研究數(shù)字內(nèi)部，看看它們是由什么組成的，這種最初的相似性就不復(fù)存在了。試著用加法將任何整數(shù)劃分成幾個(gè)小的部分之和，你會有很多可能的方式。例如，11 = 5 + 6 = 4 + 7 = 3 + 3 + 3 + 2。（有 56 種方法可以分割 11）。隨著數(shù)字變大，分割的數(shù)量也穩(wěn)步增加 （https://oeis.org/A000041 ）。但如果你試著用乘法來分割數(shù)字，就會出現(xiàn)一個(gè)非常不同的畫面。有好幾種方法可以分割 30 — — 有 3 × 10、5 × 6 和 2 × 15。但 31 根本不能分割。它是素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）。它的因數(shù)只有它自己和 1。

加法和乘法之間的區(qū)別是通往抽象數(shù)學(xué)大荒野的最平緩的山路之一。素?cái)?shù)的定義涉及乘法。但素?cái)?shù)也形成具有神秘質(zhì)感的加法模式。

許多這樣的模式都激發(fā)了數(shù)學(xué)界最大的一些未解問題。例如，數(shù)學(xué)家猜疑存在無數(shù)個(gè)孿生素?cái)?shù)——相差 2（加法）的素?cái)?shù)（乘法），如 29和31 或 41和43。但沒有人能夠確切地證明這一點(diǎn)。同樣，數(shù)學(xué)家認(rèn)為每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，這個(gè)問題被稱為哥德巴赫猜想。這一點(diǎn)也尚未得到證實(shí)。

但許多其他事實(shí)也已得到充分證實(shí)。素?cái)?shù)有無數(shù)個(gè)。盡管這是數(shù)學(xué)中最古老的成果之一，數(shù)學(xué)家們?nèi)栽诓粩嗵岢鲂碌淖C明（參閱20230426文章）。眾所周知，素?cái)?shù)在數(shù)軸上越來越稀少。1896年，雅克·阿達(dá)瑪 (Jacques Hadamard，1865 - 1963) 和夏爾-讓·德·拉瓦萊·普桑 (Charles-Jean de la Vallée Poussin，1866 - 1962) 獨(dú)立證明了所謂的素?cái)?shù)定理（PNT），該定理對素?cái)?shù)的稀有程度進(jìn)行了非常好的估計(jì)。這個(gè)定理是解析數(shù)論的基礎(chǔ)成果之一，解析數(shù)論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，將整數(shù)研究與光滑變化的函數(shù)聯(lián)系起來。

最新動(dòng)態(tài)和值得關(guān)注的內(nèi)容

乍一看，整數(shù)和函數(shù)之間似乎沒什么關(guān)系。但它們之間的聯(lián)系卻十分深刻。其中最吸引人的一條線索是黎曼猜想，它可以說是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的（也是最難解決的）未解問題。

從表面上看，這個(gè)假設(shè)與素?cái)?shù)無關(guān)——它與不直接涉及素?cái)?shù)的無窮和的行為有關(guān)。但如果它是正確的，數(shù)學(xué)家們就有辦法解釋素?cái)?shù)定理預(yù)測的偏差。素?cái)?shù)似乎隨意地散布在整數(shù)中，但黎曼假設(shè)提供了一種解釋它們?yōu)槭裁磿霈F(xiàn)的靈巧方法。

今年五月，詹姆斯·梅納德（James Maynard，1987 -，參閱20220705 ）和拉里·古斯（Larry Guth，1977 -，參閱20240715文章）證明了該假設(shè)可能存在例外的新界限。（物理學(xué)家也有解決該問題的想法）。去年，梅納德的三名學(xué)生證明了一個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)如何分布到不同類型的數(shù)學(xué)桶中的新結(jié)果（參閱 20231026 ）。其他研究則研究了素?cái)?shù)如何在更短的區(qū)間內(nèi)分布。

人們早就知道素?cái)?shù)會聚集成團(tuán)——有時(shí)它們之間會留有很大的空隙，有時(shí)則留很小的空隙。2013年，當(dāng)時(shí)還默默無聞的數(shù)學(xué)家張益唐（1955 -）證明了間隔小于7000萬的素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。這是證明孿生素?cái)?shù)有無窮多個(gè)的第一步：7000萬雖然很大，但卻是有限的數(shù)。

幾個(gè)月后，有梅納德在其中的合作成果，證明可以做得更好：他們將差距從7000萬縮小到600。

數(shù)學(xué)家們同樣感興趣的是素?cái)?shù)之間的距離可以有多遠(yuǎn)。（即使一些素?cái)?shù)之間的距離很近，但別的相鄰素?cái)?shù)之間的距離卻很遠(yuǎn)。參閱20220721文章）對于大數(shù)，平均間隔趨向于無窮大，但數(shù)學(xué)家們試圖描述間隔增長的速度。

除了分布方式之外，素?cái)?shù)還具有許多模式。除了2，所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)。這意味著有些素?cái)?shù)（如 5）除以 4 后余數(shù)為 1，而其他素?cái)?shù)（如 11）余數(shù)為 3。事實(shí)證明，這兩種不同的素?cái)?shù)具有根本不同的行為，這一事實(shí)稱為二次互反律（quadratic reciprocity，參閱20231101 ），由卡爾·高斯（Carl Gauss，1777 - 1855）在19世紀(jì)首次證明。互反律是當(dāng)今數(shù)學(xué)家的基本工具。例如，它在去年夏天關(guān)于如何將圓堆積在一起的證明中發(fā)揮了關(guān)鍵作用（參閱20230810 ）。

素?cái)?shù)或不可整除的概念不僅限于數(shù)字。稱為多項(xiàng)式的表達(dá)式，如x ? + 3 x 2 + 1，也可以是素多項(xiàng)式（不可約多項(xiàng)式）。2018年，兩位數(shù)學(xué)家證明，在某個(gè)特定類別中，幾乎所有多項(xiàng)式都是素多項(xiàng)式。

乍一看，素?cái)?shù)的特殊性并不明顯。當(dāng)你數(shù)數(shù)時(shí)，你可能會覺得很奇怪，比如說，7 和 11 是不可被（1和自身之外的數(shù)）整除的，而不像某些其他數(shù)字那樣。但簡單的計(jì)數(shù)行為會創(chuàng)造出微妙而復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，讓任何人都能瞥見數(shù)學(xué)真理的不可阻擋的宏偉。

網(wǎng)絡(luò)上的資料

YouTube頻道Numberphile（https://www.youtube.com/watch?v=vKlVNFOHJ9I ）采訪了OEIS整數(shù)數(shù)列在線百科全書（https://oeis.org ）的創(chuàng)建者 Neil Sloane，采訪內(nèi)容涉及一些特別令人難忘的質(zhì)數(shù)，例如 12345678910987654321。

《前5000萬個(gè)素?cái)?shù)》（https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BF03039306/fulltext.pdf ）是數(shù)論學(xué)家唐·扎吉爾 (Don Zagier，1951 -) 撰寫的一篇經(jīng)典但技術(shù)性很強(qiáng)的文章，非專業(yè)人士也可以從中獲益。他寫道：“關(guān)于素?cái)?shù)的分布有兩個(gè)事實(shí)，我希望能夠讓你們信服，讓它們永遠(yuǎn)銘刻在你們心中。”

互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜尋GIMPS（Great Internet Mersenne Prime Search，https://www.mersenne.org ）正在尋找已知的最大素?cái)?shù)。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/the-odd-math-of-social-insects-2493061

https://oeis.org/A000041

https://www.youtube.com/watch?v=vKlVNFOHJ9I

https://oeis.org

https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BF03039306/fulltext.pdf

https://www.mersenne.org

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