開拓數論一個嶄新的領域

——基礎數論講義稿

1、 問題的提出

1.1 數論的研究范圍

我們知道在我們這個宇宙里，數學家們的眼中就只有兩樣東西，那就是數字和圖形，以及數字與圖形之間的相互關聯。

人類文明早期的數學運算，就是在正、負數和零的領域里進行加減的運算，運算的結果永遠不會超出這個數學的“數系”。所以負數整數、正整數和零都屬于自然數的范疇。古老的數論其實是限定在“正整數”的范圍里的，也就1、2、3……∞的自然數范圍內。我們可以叫它“正整數的規律問題”，當然也就是“自然數的規律”。高大上的名字就是叫“數論”。而“數論”的重要性不用我多講了，它是自然數最基礎的東西，就是數學大廈的地基。

基礎數論的研究范圍限定在“正整數的”的范圍內。

1.2對于自然數的分類

數論權威的分類是，

單位：1

素數：2、3、5、7、11、13、17、19、23……

合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16……

素數的定義：一個大于1的正整數，如果它僅有的“因子”是1和它自己，這個數就是素數，反之就是合數。

1.3 兩個關鍵問題的提出

在這個“地基”里就是這些數最神秘2、3、5、7、11、13、17、19……，這些數叫“素數”（或稱質數）。

1是一個及其特殊的數，里面內容很多，不宜過早給它定性下結論。把1定義成一個單位是科學合理的。至于1是不是素數？是不是偶數需要數論界重新定義。

千百年來，對于“自然數里面的規律”，雖然許許多多的數學家們，包括人類歷史上最偉大的數學家們都進行了艱難的探索，取得了一些成績，但是總體上還是失敗的。因為至今數學家們都沒有找到“素數在自然數里面的規律”，沒有那個要找到的“素數公式”，也沒有形成一套完整科學的“數論體系”。

數學家們早就知道等差數列中含有素數，但是它們不知道這些不同的等差數列表示的素數之間有什么關系？

看下圖一，

比如，數列3N+2、5N+2、6N±1、7N+2、8N+5等等無窮多的數列，數學家們知道里面有素數。他們證明了只要a和b互素，這個等差數列中就會含有素數。他們卻不知道這些等差數列之間的關系，每一個等差數列里面的素數是不是無窮多的？

這個問題的重要意義，難度遠遠大于哥德巴赫猜想和孿生素數猜想，因為沒有被人們炒作也就忽視了。

總之，基礎數論面臨著這么兩個問題。一是當差數列表示素數的問題；二是素數產生的原因以及在自然數里面的分布規律。

2、自然數空間的概念

2.1自然數空間的發現

2001年8月我從國企下崗失業后，異想天開的想靠寫科幻小說養活自己。我在國企下崗的原因是因為反對國有資產流失和把職工推向社會不管了。人家開大會批判我是“反對國企改革、反對國企改制的壞分子?！边@樣一來我不下崗也不行了，不跑恐怕下場更慘，于是我就夾著尾巴逃跑了。

寫科幻小說需要看參考資料，而我看的參考資料就是一些老外們寫的科普書籍。比如《從一大無窮大》、《現代數學》等等。這里面就有有關于數論問題的科普內容?？春笪揖拖霐祵W家們都是在自然數的內部研究素數的規律，為什么不到自然數的外面尋找整體自然數的規律？一旦找到了自然數的規律這些問題不就解決了嗎？于是就有幾天，我一直都在冥思苦想，整天都思考（那時2002年上半年，半年多沒去打工，沒有失業金，也沒有收入）自然數里到底有什么規律？

有一天晚上在衛生間里解手，看著墻上的瓷磚發呆。忽然眼前的空間中似乎有一個亮點，像是來自高維時空一樣，它在我眼前越變越大。我忽然有了靈感：“全部自然數可以用1、2、3三個自然數來表示。”

2.2 自然數空間概念的表示

我們把全部自然數用不同數量的等差數列組成一組，來代表全部自然數，形成自然數的不同空間，如下表

如果不把自然數用等差數列分成不同的“自然數的空間”，這些問題研究起來相當的困難甚至就是無解。過去數學家們都是在一維自然數空間里，既數列N+1，N=1、2、3……進行研究的。用等差數列代數符號來表示自然數和素數，都是混亂的，都是毫無價值的。因此他們無法深入地探索自然數里的規律。任何一個自然數（包括素數）都會有無窮多的等差數列符號來表示。

有了這個對“自然數空間”的分類，我們就知道以下事實。

1） 每一組“自然數空間”都可以表示全部自然數（正整數）；

2） 在每一組“自然數空間”里總會有一組數個等差數列包含了自然數里面的全部素數。

以上僅僅是一部分性質。

2.3 回答等差數列包含素數之間的關系

把自然數用一組不同數量的當差數列分成不同的空間后，我們會看到這些包含素數的等差數列，比如3N+1、5N+2、6N±1、8N+5……它們是處于不同“自然數空間”的等差數列，不能混淆在一起研究。當然一些證明里有“等差數列”的運算，是不是可以建立一個“等差數系”我沒有研究，不過我感覺到了它的存在。

還有就是自然數分成空間后，每一組自然數空間里面的等差數列的素數都是無窮多的，分別包含在了某幾個等差數列中。

可以表示成KN+A的形式，其中K是“自然數空間的維數”，N是項數；A是數列的維數。每一組KN+A都可以代表全部自然數。

比如四維自然數空間可以表示成4N+A，代表全部自然數，它包含了這四個等差數列。

4N+1、4N+2、4N+3、4N+4，其中數列4N+1和4N+3包含了自然數里面的全部素數。

2.4 用自然數空間N+1來說明素數的產生和性質

現在我們利用“自然數空間N+1”來研究基礎數論里面的幾個問題。我不使用“初等數論”這個名詞是有原因的。數論沒有初等和高等，只有基礎和高等。連基本的數論概念都無法確定的時期里，何談什么高級數論和解析數論？

使用“N+1”空間可以做一個表格如下：

我們觀察這個表格可以發現一下性質：

1）正整數（自然數）1、2、3、4……就是一個公差為1的等差數列，我們看可以簡單表示成N+1，N是項數，取0、1、2、3……。

2） 自然數里面的合數是這樣產生的，

1分別于1、2、3……相乘，結果還是1、2、3……

2分別于1、2、3……相乘，結果是偶數2、4、6……

3分別于1、2、3……相乘，結果是偶數3、6、9……

我們可以這樣無窮無盡的寫下去。

我們用“合數數列來表示”，就是

1k+0

2k+1

3k+2

5k+4

7k+6 ……

第一個數是素數，第二數是系數，取k=1、2、3……，后面數是素數所在的項數。

注意我們不使用權威的“素數定義”，這里的1是一個“單位”，既是合數也是素數。

比如第一項的1就是一個素數1，而1與（N+1）相乘的數都可以看成是1的合數，包括1X1的1。這里我們不討論1^n的情況。

按這個定義我們可以解釋(1X1)/1=1，1X(N+1)/1=(N+1)和1X(N+1)/(N+1)=1的原因。

注意(1X1)/1=1和1X(N+1)/1=(N+1)性質是不同的。這里我們不做討論。

3） 我們可以寫出來一個“合數項方程式”

Nh=a(b+1)+b （公式1）

其中Nh、a,b都是項數。

4） 我們可以寫出來一個“素數項公式”

Ns=N-Nh （公式2）

利用這個公式可以求出素數所在的項數N，然后代入N+1就可以得到一個素數。

從上面的表格和公式，我們可以看到素數產生的原因。

從第一個素數出現后，它的合數數列都是以這個素數為周期而出現的合數數列。比如2K+1、7K+6等等。但是項數N是連續的，這樣總會出現合數項數N的空位，而這些空位就必須由新的素數來補充進來。這就是素數在自然數里產生的原因。

注意：素數不是隨機出現的，不能用《概率論》來討論素數在自然數里面的分布規律，只要確定了“自然數的空間”，每一個素數都有自己固定的位置N，它們是與項數N一一對應的關系。

在不同的“自然數空間里”素數所對應的位置N也是不相同的。

上面的公式1和公式2，在不同的“自然數的空間”里數量是不同的。比如在6N+A自然數空間里公式2是一組“合數項方程式”，一共有四個公式。這與這個空間里的含素數數列有關。

2.5 合數項公式和素數項公式的應用

利用公式1可以有一個某數是不是素數的判定式，從理論上講可以求出要多大有多大的素數，這就取決于計算機的功能了。

這里這些問題我們不做詳細的討論。

這些定義和公式，從理論上來講就為“基礎數論” 打下了基礎，明確了素數產生的原因和素數在不同的“自然數空間”里的分布規律。

2.6 小結

以上探討我們解決了數論里面極其重要的兩大問題：

一是“自然數空間的分類”，使一些可以表示成素數的等差數列有了明確的意義。明確了這些等差數列之間的關系，及其這類含有素數的等差數列，里面含有的素數都是無窮多的。

二是明確了素數在自然數里面產生的原因，有了一個相對于“素數公式”的“素數項公式”。也就是說我們在傳統意義上所尋找的素數公式是不存在的，但是可以有一個相對的“素數項公式”來代替那個不存在的影子素數公式。

自然數空間的概念以及“合數項公式”和“素數項公式”，決定了“基礎數論”的基礎，為數論的發展研究打開了一個新的領域。

3、幾個特殊自然數空間的介紹

3.1 介紹3N+A空間

我們用3N+A空間做一個表格如下，

注意：任何空間都可以做這樣一個表格。

這樣我們就會注意到，數列3N+1和3N+2里面包含了自然數里面的全部素數，并且每一個數列里面的素數都是無窮多的。而像6N±1是在自然數六維空間里。

這就解決了數學家們多年來對等差數列含有素數有關規律的困惑。

3.2 介紹6N+A空間

3.2.1 公式的來源

這個空間包含著六個等差數列，公式如下

（ 公式3）

這個公式的來源很特殊，開始我是使用一般的等差數列的形式，就是6N+1、6N+2……6N+6的形式，但是很難處理問題。有一天受到《西安半坡》雜志上一個殘陶圖片上的圖案啟發，才寫成了這個形式。我給它命名為“仰韶公式”。

這部分被別人剽竊的很多。

用這個公式寫一個表格如下，

3.2.2 基本性質

1）在這個數表里有許多奧秘，我們只研究了一部分，我們分別研究一下。

如果把這六個公式看成6個數字，從下往上分別記住A、B、C、D、E、F 六個數，這六個數可以進行四則運算，比如

B+D=(6N-1)+(6N+1)=2(6N)=2C。

B+2=(6N-1)+2=(6N+1)=D。

或表示成，6N+2=(6a+1)+(6b+1)=6ab+2 其中a、b都是項數。

6N= (6a+1)+(6b-1)=(6b-1)+(6a+1)=6ab

這里面還有許多內容，不再多講。

2）數列6N±1 里面包含了除2、3外的全部自然數里的素數和這些素數的合數。觀察這個表會看到素數出現的原因和形成合數的原因。比如，在數列6N+1里面，項數N=1時，數列是7。當N=8時，就出現了7的第一個合數49.用公式表示就是，7K+1 K=1、2、3…… 比如 K=1時，N=8從第8項開始第17項，第22項一直下去都是7的倍數的合數。

以此類推有，13K+2、19K+3等等都是出現一個素數后，到了自身倍數的項后，后面都是出現這個素數的合數項。

由此我們可以觀察到出現素數的原因：項數N的位置，在素數的周期中出現了空缺，必然就會有素數來填補。由此也可以看到素數的合數是如何出現的。

3）數列6N+2、6N-2和6N都是自然數里的偶數。我們觀察這個數表可以看到一個規律。比如，在偶數數列6N+2里去一個項數N，N=15，相對應的偶數是92。

92=7+85=13+79=19+73=25+67=31+61=37+55=43+49

如果我們把這些兩兩相加的數看成一個數對，那么在偶數數列里，每取一個項數N，在相對應的數列6N+1或6N-1里，總會有一組素數對相對應。

隨著項數N的增大，這個對應的數對組里的數對也在增多。關鍵問題是，這些數對有這幾種情況：素數與素數、素數與合數、合數與素數、合數與合數。

我們知道素數在自然數里是有無窮多的，這個前人已經證明了。所以在數列6N+1和6N-1里素數也是有無窮多的。

4 介紹含素數公式

這個公式很重要，所以我單獨把它選做一節來介紹。

4.1 含素數公式

（公式 4）

從“仰韶公式”可以直觀地看到，這個公式包含了自然數里除2、3以外的全部素數。這點不需要證明。當然這個里面也包含了由素數形成的合數。

用這個公式做一個表格，如下

我們詳細的分析這個表格，一步一步的做。

4.1.1 這個表格上面是項數N，它是全體自然數1、2、3……直到無窮。它是連續的不間斷的，這一點很重要。

4.1.2 數列6N±1是一個特殊型的等差數列，取不同的項數N就會出現一連串的數。比如，7、13、19……；5、11、17……它們相差6。

它們的共同點就是包含了自然數里面除2、3外的全部素數，也有這些素數形成的合數。

4.1.3 我們看在數列6N+1里面的合數是如何產生的？

7X7=49、7X13=91、7X19=133、7X25=175……

13X13=169、13X19=247、13X25=325、13X31=403……

19X19=361、19X25=475、19X31=589……

后面的數以此類推，可以用公式表達 。

6N+1=（6a+1）(6b+1)

整理化簡后就是， N=a(6b+1)+b (公式5 )

N是項數，取值范圍是1、2、3…… 全體自然數，它是連續的不間斷的。

a是第一個數所在的位數，取值范圍是1、2、3…… 全體自然數。

（6b+1）的取值范圍就是數列里的數7、13、19、25……

b是（6b+1）所在的位數。舉例， a =1 就是7 ，b=3 就是19。

a(6b+1)+b = 1X19+3 =22 N=226N+1=6X22+1=133

若a=2 b=2a(6b+1)+b=2X13+2 =28 6X28+1=169

這是數列6N+1里面的數，自身相乘產生的合數。還有一類是數列6N-1里面的數相乘后，在數列6N+1里面成生的合數。

（6c-1）(6d-1)=6N+1 化簡整理后，得

N=c(6d-1)-d (公式6 )

4.1.4在數列6N+1 的項數 N 減去這兩個合數方程的N后，留下的那些項，就是素數項。

設，Sk 是數列6N+1相對應的素數項。N是數列6+1的項數，N′和N″

是兩個合數公式的項，那么有，

Sk = N-N′-N″ = N-a(6b+1)-b-c(6d-1)+d = N-a(6b+1)-c(6d-1)-(b-d) (公式7 )

這個就是在數列6N+1里面的“素數項”公式，雖然可以精確地描述合數的位置，但是也可以看到素數產生的原因和素數的分布規律。

注意，它是“素數項”公式，不是直接描述的素數。轉換成素數需要代入6N+1里面去。

4.1.5 下面我們探討一下在數列6N-1里面合數分布的情況。

就是數列6N-1里面的每一個數，分別與6N+1里面的每一個數相乘的結果。

如，5X7=35、5X13=65、5X19=95……

11X7=77、11X13=143、11X19=209……

用公式表示 就是（6e-1）（6f+1）= 6N-1 或 （6e+1）（6f-1）= 6N-1

這兩個公式如果不考慮數字的前后位置，可以用一個公式表示就夠用了。但是必須注意與上面的公式1、2不同。后面的數必須與6+1全部數相乘。比如

11X7=77、11X13=143、11X19=209…… 不能11直接與13相乘。用公式表示就是6N-1里面的每一個數（包括合數）必須與6N+1里面的每一個數相乘。

化簡整理后得到，

N=e(6f+1)-f (公式 8 )

N=g(6h-1)+h （公式9）

同樣，數列6N-1 的素數項公式，是

Sk =N-N′-N″= N-e(6f+1)-g(6h-1)-(f-h) (公式 10 )

4.2 合數方程有無解得判定式

4.2.1 設Sk是數列6N-1里面的素數項，合數方程和它們有無解的判定式。

分析這4個“合數項方程式”就可以知道，項數N是連續取數，是1、2、3……的自然數，而產生的合數卻有周期性。那些不被合數項覆蓋的項數N就是素數項。代入數列6N±1里面就可以得到一個素數。

這樣我們就看到了自然數里素數產生的原因，還有素數在數列6N±1里面是有無窮多的。

4.2.2 這4個“合數項方程式”可以有4個“判定式”，來判別這4個“合數項方程式”有沒有解。有解相對應的數就是一個合數，無解相對應的數就是一個素數。判定式如下

在數列6N+1里面

（N-b）/ (6b+1) =K (公式 11)

（N+d）/ (6d-1) =K （公式12）

在數列6N-1里面

（N+f）/ (6f+1) =K (公式 13)

（N-h）/ (6h-1) =K （公式 14）

K必須是正整數，方程才有解。

從這4個判定式中我們可以看到，取一個項數N后，這個N所對應的數，如果是前面“根素數”的合數，那么方程就有解。否則就無解，就是一個新出現的素數。

那些使判定式成立的N，都是6N±1里面的“根素數”形成的合數。而使判定式不成立的N所對應的數，就是一個新的素數。

根素數是指5、7、11、17…….。

4.3含素數公式里的合數項數列

在數列6N-1里面的“合數數列”可以表達如下，

5K+1

7K-1

11K+2

13K-2

…… K=1、2、3……

在數列6N+1里面的“合數數列”可以表達如下，

5K-1

7K+1

11K-2

13K+2

…… K=1、2、3……

注意6N±1里面合數的數量都是一定的，一樣多。出現的周期相同。比如，5的周期，7的周期等等。但是合數在兩個數列里出現的初始位置不同。

比如，在數列6N-1里面周期7的合數的第一個數，出現在項數N等于6，這個數是35。而在數列6N+1里面，7的第一個合數出現在項數N等于8，這個數是49。

在這兩個數列里面素數都是無窮多的，這本身就證明了“在自然數里，孿生素數對是有無窮多的”。

4.4 小結

含素數公式是一個很重要的公式，它有許多實際的使用。比如證明孿生素數有無窮多就用到了它。這就是我單獨介紹它的原因。其實從“自然數一維空間”N+1起，至2N+A、3N+A、4N+A、5N+A、6N+A……，乃至無窮它們都有共性和特殊性，都有自己應用的價值。甚至一些特殊的等差數列組，也有自己的價值。這里不做介紹了。

5. 利用這個理論證明三個古老的猜想

5.1 證明哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想簡述：

1742年，德國數學家哥德巴赫提出：每一個不小于6的偶數都是兩個奇素數之和。

5.1.2使用“2N+A”空間代表全部自然數

如果沒有這一條，下面的證明都是無效的，毫無意義的。做表格如下，

分析這個表格的性質。

1） 用等差數列2n+1和2n+2表示全部自然數。

2） 數列2n+1是奇數列，但是它包含了除2以外自然數里面的全部素數。

3） 數列2n+2是偶數列，它包含了自然數里面的全部偶數。

4） 我們看到任何一個偶數，都是奇數列兩個數的首尾相加。

比如 12=1+11=3+9=5+7 。

5.1.3證明哥德巴赫猜想

我們知道任何一個素數都可以表示成一個奇數與一個形成這個素數的偶數之和。

比如，13=7+6=11+2 17=11+6=15+2 等等。

可以表示成，S=J+P 其中，S是一個素數，J是一個奇數可以表示成2n+1，

P是一個偶數。

在數列2n+1中任取兩個素數S′和S″則有，

S′+S″= （2n′+1）+p′+(2n″+1)+p″

整理后，S′+S″= 2（n′+n″）+1+(p′+p″)

分析：

以為素數是任取的，并且兩個素數項相加不一定等于素數項，所以n′+n″=n 。

而p′+p″是偶數，可以為0.

所以，2（n′+n″）+1+(p′+p″)等價于 2n+2.

證明完畢。

5.2證明孿生素數猜想

使用6N+A自然數空間， 用含素數公式做一個表格，見圖七。

在6N+A空間里，數列6N±1包含了除2、3外的自然里面的全部素數，并且，有

（6N-1）+2=6N+1 這顯然是一個“素數對”。見表格里面的（5,7）、（11,13）等等。

在數列6N-1里面的“合數數列”可以表達如下，

5K+1

7K-1

11K+2

13K-2

…… K=1、2、3……

在數列6N+1里面的“合數數列”可以表達如下，

5K-1

7K+1

11K-2

13K+2

…… K=1、2、3……

在這兩個數列里面同一個素數產生的合數是一樣多的，僅僅是它們的初始位不同。

比如5K+1和5K-1，7K-1和7K+1等等。

我們知道素數在這兩個數列中都是有無限多的。假如這兩個數列的同一素數的合數數列的初始位相同，就會出現兩種情況，合數數對和素數數對。

由于“同一素數形成的合數”在兩個數列里出現的初始位不同，所以這兩個數列的數對就有四種情況，合數對（121,119）、合數素數對（25,23）、素數合數對（37,35）、素數對（13,11）.

這四種素對每一種都是無窮多的，所以素數對也是無窮多的。

既，在自然數中孿生素數有無窮多。

5.3 證明勒讓德猜想

使用6N+A自然數空間，看圖六。

1）全部自然數可以用這六個等差數列表示，任何一個等差數列的平方都代表了這個數列的平方，直到無窮大。

2）全部自然數都是這六個等差數列以六為周期重復出現，所以在以六為周期中，必然經過數列6N±1一次，而6N±1既有合數，也有素數。

3）數列(6N-2)?2= 36N?2-24N+4

數列(6N-1)?2= 36N?2-12N+1

數列(6N)?2= 36N?2

數列(6N+1)?2= 36N?2+12N+1

數列(6N+2)?2= 36N?2+24N+4

數列(6N+3)?2= 36N?2+36N+9

某數列的平方數就是這個數列里全部數的平方數。這六個數列的平方數就是全部自然數的平方數。

4）我們在“仰韶公式”任取相鄰的兩個數（6N-2） 和（6N-1）。

它們平方數的距離是：

（36N?2-12N+1）- （36N?2+24N+4）=12N-3

注意這個項數N不同于仰韶表格里的項數N。

比如N=1 距離是 12X1-3= 9。就是從16到25是9的距離。

當N取2、3、4……時是同樣道理，可以得到無窮多的兩個相鄰數（在數列6N-2和數列6N-1中）的平方數的距離。

其它數列里兩個數的平方數的距離，都用同樣的方法可求。

注意，這個距離數除以6才是“仰韶公式”里的項數N，這點不要混淆。

5）由兩個平方數之間的距離可以決定一個區間（N1，N2）。

N2>N1。

N2里面的合數我們可以用數列6N±1的合數方程求出來。因為在自然數里數列6N±1以6為周期重復出現的，我們可以忽略數列6N+1只研究數列6N-1里面的素數分布，這樣不會影響我們的證明的結果。

在數列6N-1里面的合數方程可以使用

N=a(6b+1)-b 來表示，里面的字母都是項數。

于是有，

N2= a″(6b″+1)-b″

N1= a′(6b′+1)-b′

數（6N-2）相鄰數（6N-1）的平方數之間的項數是（12N-3）/6 。

在這個區間內的素數表示成Ns，合數表示成Nh。

于是有，

Ns = (N2-N1) – Nh =（12N-3）/6 - ﹝a″(6b″+1)-b″- a′(6b′+1)+b′﹞

整理得，

Ns =﹝（12N-3）/6﹞-﹝6（a″b″- a′b′）+（a″- a′）+（b″- b′）﹞

分析這個公式

前項（12N-3）/6 是一個線性方程，項數N是連續取正整數。

后項是一個二次拋物線方程，不是連續取項數N。

所以，在區間（N1，N2）中總會有素數出現。

這樣就證明了在自然數中，任意兩個相鄰完全平方數之間，都存在至少一個質數。即，對任意正整數n，存在質數p，滿足n^2 < p < (n+1)^2。

6文章總結

這篇文章的核心是“自然數分空間”的概念，解決了數論界幾千年來等差數列表示素數的問題。然后闡述了素數產生的原因和性質。在這個自然數空間的基礎上論述了“合數項公式”和“素數項公式”。

利用這個理論解決了“哥德巴赫猜想”、“孿生素數猜想”和“勒讓德猜想”問題。其實這僅僅是是一個開始，里面的內容極其豐富，我不再探討。同樣這個理論也可以解決許多古老的數論里面的猜想，這里不再累述。

2024年9月6日星期五 李鐵鋼于保定市