|作者：吳從軍

(西湖大學物理系 新基石科學實驗室)

本文選自《物理》2024年第9期

我國長征5號B火箭的第一級采用液氫液氧做推進劑。相比較于傳統燃料(例如四氧化二氮搭配偏二甲肼)，液氫液氧燃料的推力大幅度增加，大大提高了火箭的有效載荷。長征五號B的成功，標志著我國加入了世界火箭發展的第一梯隊，令人振奮。

目前，化學燃料仍然是各國火箭的主要推進劑，但是其推進原理有很大的局限性，而且這個局限性是本質的。化學鍵的能標(energy scale)，即形成或打破化學鍵時能量的變化范圍，只有幾個電子伏(eV)的數量級。這樣小的能標決定了單靠化學燃料難以把火箭推進到第三宇宙速度(16.7 km/s)。化學燃料推進可以實現太陽系內的行星際航行，但是要像科幻小說《三體》中描述的那樣，翱翔于星辰大海，進行恒星際航行，就需要擺脫太陽引力，對于這個目標化學燃料顯然是力不從心了。

要提高推進速度的上限，則需要提高推進原理的物理能標。本文不分析技術性的困難，只討論原理上的可能性。文獻中經常提到的離子推進(ion propulsion)，屬于電磁推進(electromagnetic propulsion)的一種，很容易把能標提高到千電子伏(keV)量級1)。在科幻小說里流行的核動力推進，其能標在兆電子伏(MeV)量級。更加奇幻的正反物質湮滅推進，則可以把火箭推進到逼近光速的程度。下面我們通過簡單地推導，來估算這些推進速度的上限。

火箭通過噴射氣體獲得反沖而被推進

先回顧一下大學物理課上學過的Tsiolkovsky(齊奧爾科夫斯基)方程。最簡單的火箭，莫過于二踢腳了。盡管簡單，原理并沒有什么不同，也是以噴射火藥燃燒的氣體來驅動。設其噴射速度相對于火箭為vp。如圖所示，在時刻t，火箭的飛行速度為v(t)；在此之后dt的時間內，向后噴出了質量為-dm的氣體(火箭質量在減小，所以-dm>0。)根據動量守恒，有mdv+dmvp=0。對此式進行積分，可得噴射完成時的火箭速度，

其中，r=mf/m0被稱作火箭的干濕質量之比。火箭噴射結束時的質量mf被稱為干質量，火箭初始質量稱為濕質量m0。如果火箭有多級結構，則可以得到，

其中，ri是第i級推進階段結束和開始時的干濕質量之比。

vp也叫做比沖(specific impulse)，即燃燒單位質量的燃料使得火箭得到的沖量，

文獻中，比沖也有另外一種定義，即把式(3)中的單位質量換成單位重量，這樣定義的比沖為vp/g，其單位是時間(g是重力加速度)。

下面對各種推進原理的比沖vp進行數量級估計，包括化學燃料推進、電磁推進、核動力推進、正反物質湮滅推進等。

1化學燃料推進

化學燃料的燃燒，其實是化學鍵的斷裂和再形成的過程，這中間能量的釋放形成火箭推進的動力。化學鍵是原子間的電子成鍵，其鍵能在幾個eV量級，因此可以推斷其燃燒熱為c×6×1023 eV/mol≈c×100 kJ/mol，其中c是數量級估計中不能確定的常數，大致介于1到10之間。可以查到H2的低熱燃燒熱，即生成物為水蒸氣形態時的燃燒熱為120 kJ/g，即240 kJ/mol。這個數據和上面的估算在數量級上是相符的。1 mol H2燃燒生成1 mol水，其質量為18 g。據此可以折算出每生成質量為1千克的水蒸氣，其放熱約Q=13 MJ。設這些能量完全轉化為水蒸氣噴射的機械動能，則給出化學燃料推進的比沖上界，

水是分子量最小的燃燒生成物，氫氧燃料火箭只生成水，其比沖是最佳的。因此，vchm(值為5 km/s)可以作為化學燃料比沖的上限。

再考慮(2)式右方的對數因子。以長征5號B火箭為例，其總重837噸，載荷25噸。火箭除了載荷以外，不會全是燃料，還有箭殼等。估計一下，等式右方的對數之和不會超過。所以，對于一個完全采用化學推進的火箭來說，它所能達到的速度上限可以被估計為，

這樣，我們可以得出結論：只采用化學燃料推進方案的火箭，可以達到第二宇宙速度(11.2 km/s)，但對于第三宇宙速度則是很勉強的。

2電磁推進

這是一種用電磁場來加速工作介質并噴射，從而獲得反沖的驅動方式。比如“離子推力器”(ion thruster)方案，先將惰性氣體電離，用電場把離子加速后噴出。離子動能可以很容易地達到1 keV的量級。Deep space、Dawn等航天器上采用的氙氣推進，其比沖可以達到1700—3300 s(以時間為單位)，也就是17—33 km/s(以速度為單位)。

可以通過簡單地估算來驗證這些數據的合理性：氙的原子量為131，其原子的質量用eV做單位是131 GeV。如果用1 kV的電壓來加速氙離子(設只帶一個正電荷)，獲得動能1 keV。其比沖可以估算為

其中c=3×108 m/s是光速。

離子推進的比沖大，并不代表其推力(specific thrust)大。推力反映的是火箭的加速性能，而比沖決定了最終能達到的速度。離子推進遠比化學推進所產生的推力要小，一般小于1牛頓。這是因為在單位時間內，能夠噴射的離子數目非常少。離子推進只能在無重力高真空的環境中使用，使得火箭經過長時間微小的加速來達到高速度。

3核反應推進

核反應的能標在MeV水平，非常高。先考慮裂變，一個鈾235核裂變放出200 MeV能量。質量M為1千克的鈾235，即4.25 mol，里面有2.5×1024個核，釋放出5×1026 MeV的能量，也就是E=8×1013 J。1克TNT的能量是1 kcal。簡單換算可知，1千克鈾235爆炸的當量相當于2萬噸TNT。

假設把核反應生成物噴射出去來實現推動。裂變反應的質量虧損只有千分之一左右，可以忽略不計。如果能量利用率η=0.2，也就是說只有20%可以轉換為噴射物的動能，那比沖大致為

這已經超過了光速的百分之一。

核聚變的能量要更高一點，其相應的比沖會更加可觀。考慮聚變核反應：

質量M為1千克核燃料，其中氘核、氚核等數目混合。這將生成200 mol氦核，放出E=200×6×1023×17.6=2×1027 MeV的能量，合3.2×1014 J。這是裂變能量的4倍左右。同樣假設20%的能量轉換為噴射物的動能，比沖可以達到：

這已經達到了光速的1/30。

在《三體》一書里面，人類的星際戰艦的推進速度，可以達到光速的1/10。考慮到在上面的估算中對能量轉化率估計得比較保守，再考慮到火箭干濕質量的對數因子，核聚變推進確實可以使得火箭達到1/10的光速。這時候相對論效應開始出現，但還不明顯，式(1)還可以適用。

4正反物質湮滅推進

正反物質湮滅發射γ射線，采用這種方式來推進火箭，有望逼近光速。這時需要考慮相對論效應，公式(1)就不再適用了。下面來推導相應的火箭運動方程。假設γ射線可以由反射裝置全部向后方噴射。當然設計能夠反射γ射線的鏡子并不容易，那是未來科學家們的事，我們現在就假設其可行好了。

在地面參照系中，設在時刻t火箭的速度為v(t)，并沿著x方向；火箭的靜止質量為m(t)。則火箭的能動量四矢量為

其中。在此之后Δt的時間內，噴出的γ射線能動量四矢量為。

能動量守恒給出。因為γ光子的能動量四矢量的x分量和時間分量之和為0，所以火箭能動量四矢量的相應分量之和則是一個和時間無關的常量：f=。從，經過簡單的代數運算可得，

設火箭從靜止開始推進，對上式進行積分可得，

其中r是火箭干濕質量比。

5總 結

各種火箭推進原理的物理能標不同，這決定了它們能達到的速度的上限。化學燃料推進的能標是eV，比沖的上限5 km/s；電磁推進的能標是keV，其比沖可以達到30—40 km/s的量級。核動力推進的能標是MeV，其比沖保守估計可以達到10000 km/s的量級。這些方案中的噴射物運動都是非相對論的。在相同能量轉化率的條件下，比沖和能標的平方根成正比。對于正反物質湮滅的推進方案，其噴射物是γ光子，比沖就是光速本身。

再考慮上火箭干濕質量比的對數因子，化學燃料火箭的推進速度可以達到第二宇宙速度，但是要達到第三宇宙速度會很困難。因此，化學燃料推進是行星際航行的驅動方式。將化學燃料驅動和電磁驅動結合，可以超越第三宇宙速度，是恒星際航行入門階段的驅動方式。核動力驅動可以達到1/10光速的驅動速度，是恒星際航行正常的驅動方式。當然，正反物質湮滅推進可以逼近光速，是驅動原理的天花板，是星系際航行的推進方式。

致 謝感謝西湖大學程子正、劉鴻祎同學檢查本文中的計算。本工作得到了新基石科學基金會的資助。

注：

1)https://en.wikipedia.org/wiki/Ion_thruster

《物理》50年精選文章