女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

我們仔細觀察一些建筑作品就會發現，在這些作品中，我們經常可以找到相同的幾何形狀。這是一種特殊的平面幾何形狀，它可以以各種方式呈現，但始終保持著規律性和活力：玫瑰窗或玫瑰花飾。我們將把目光停留在兩座建筑上：羅馬的坎皮多格利奧廣場和倫敦綽號“小黃瓜”的摩天大樓。這兩座建筑的歷史、時代和建筑師都截然不同，然而，從特定的觀察點來審視它們，我們會發現它們都有著相同類型和形狀的玫瑰窗。我們的作品旨在激發學生的觀察興趣，同時也建議教師利用這個機會，按照連續的思路，從幾何角度向學生介紹玫瑰窗、組成玫瑰窗的幾何圖形，并分析其在所觀察的建筑中的象征意義和美學意義。

1 簡介

2015 年米蘭世博會。這一備受歡迎且非常成功的活動的標志性雕塑（圖 1）是此次活動的亮點。

圖1 生命之樹（意大利米蘭）。

幾個世紀以來，生命之樹以各種方式代表著人類。它的形狀與其含義密切相關。生命之樹的底部樹根和末端樹枝，呈現出由類似樹葉和水滴的元素形成的規則紋理。樹根和樹頂連接在一起，形成一個旋渦狀的運動，這似乎不僅描述了樹的形狀，還描述了樹緩慢而有規律的生長過程 [1]。圖 2 中的虛擬重建突出顯示了這種感覺。

圖2 生命之樹的虛擬重建。

讓我們從上往下看。我們看到的形狀就是圖中樹根的形狀。樹冠由大葉子組成，這些葉子部分重疊，分布在規則的花冠中。

通過虛擬重建反射圖像，我們可以看到一個名為“玫瑰窗”的物體（圖 3）。

圖3生命之樹的虛擬投影。

首先，讓我們試著給出玫瑰花窗的概念，然后再分析我們的重建作品，以了解它是否是玫瑰花窗以及屬于哪種類型。

用現在的話來說，玫瑰窗是一種裝飾元素，一般出現在羅馬式或哥特式教堂的外墻上（圖4），其特點是造型花卉元素重復 “追逐”，但保持在一個圓周內。從這個意義上說，它的形狀被解釋為基督教的一種象征，象征著人類生命的循環往復與圓圈所代表的上帝的無限性。

圖4 卡普拉尼卡圣弗朗西斯科教堂（意大利維泰博）外墻上的玫瑰窗。

然而，在數學語言中，“玫瑰窗”一詞具有非常精確的含義，甚至可以用來描述非常不同的物體。

玫瑰窗 “一詞可解釋為 ”大朵的玫瑰“，因此從廣義上講，也可解釋為 ”大朵的造型花"。

因此，從幾何學的角度來看，我們可以將數學中稱為玫瑰曲線的幾何圖形作為“花朵”的例子。

玫瑰花如圖5所示。通過觀察，我們可以發現它具有中心對稱的特征，并且可以刻在圓周上。基于這些考慮，我們對幾何玫瑰進行了可能的定義。

圖5 格蘭迪玫瑰，源自十八世紀中葉提供方程的數學家的名字。

首先，請記住，在幾何中，如果存在一個將圖形映射到自身的變換，則該圖形具有對稱性。此外，我們還記得，旋轉和反射是應用于圖形的變換，保持其維度[2，3]。

因此，我們可以推導出，一個有限維度的圖形，如果它具有某種對稱性特征，那么就可以從它的一部分開始，通過旋轉和反射的組合來構建它。

有了這些基本概念，讓我們試著給玫瑰花形下定義。

如果一個中心對稱的平面圖形只能通過圍繞對稱中心旋轉n 次（n = 2、3、......）才能得到，且旋轉角度等于轉角的1/n，那么這個圖形就叫做循環玫瑰形。

圖6是循環玫瑰的一個例子。它是米蘭大教堂最著名的標志之一：“Raza”（或一個光芒四射的太陽，為比斯喬內加冕，是維斯康蒂家族的紋章標志），是位于主祭壇后方天頂中央窗戶內的著名窗戶的主要元素之一。

圖6 米蘭大教堂中的Raza。

圖7和圖8展示了它的幾何重構。特別是，對圖7中的底座“花瓣”進行連續旋轉，就得到了圖 8 中的玫瑰花。

圖7 旋轉玫瑰窗的局部構造。

圖8 循環玫瑰窗的構造。

如果通過圍繞中心的n 次（ n = 2、3、......）旋轉和圍繞通過中心的反射軸的n 次（ n = 2、3、......）反射的組合，可以建立一個具有中心對稱的平面圖形，則稱為二面玫瑰。

在圖9中，我們有一個二面角玫瑰的例子。這是米蘭大教堂彩色玻璃窗的另一個玫瑰窗，位于南耳堂的后殿。

圖9 米蘭大教堂的玫瑰窗。

圖10和圖11顯示了它的幾何重構。可以看出，在玫瑰二面體中，由于全局變換的反射分量，除了對稱中心之外，還有對稱軸。

圖10二面體玫瑰窗的局部結構。

圖11四面體玫瑰窗的構造。

現在讓我們看看圖3的形狀：它是一個中心對稱的平面圖形。它由十二片“葉子”組成，形成一個包含在圓周中的花冠。每個葉片相對于一個軸對稱。形狀的12個對稱軸匯聚于一點，即對稱中心(圖12)。

圖12生命之樹虛擬投影中的對稱性。

因此，它是一種幾何形式，可以通過相對于對稱軸的十二次“半葉”反射和圍繞對稱軸的十二次十二分之一轉角幅度的旋轉來產生。

在這一點上，我們能夠得出結論，圖3中的形狀可以解釋為二面角玫瑰，其中每片葉子在幾何上是伯努利雙紐線的一半[2]。

但是什么是伯努利雙紐線呢？雙紐線(圖13)是一個封閉的平面曲線，中心有一個雙點，有一個對稱軸，它立即讓人想起無限的數學符號，從而給玫瑰窗中的內在增加了象征性的標志。

圖13伯努利雙紐線。

這種特殊的二面體玫瑰將成為建筑中有趣和有意義的元素。

在這部作品中，我們提供了兩個例子，兩位建筑師米開朗基羅和福斯特設計的兩個建筑的俯視圖：時間上相隔幾個世紀，不會弄錯，但由同一個符號聯系在一起。

這是兩張天頂圖。第一個在羅馬的Piazza del Campidoglio，第二個在倫敦的Foster著名的小黃瓜。

我們在兩個完全不同的地方有兩朵玫瑰，也不同于教堂正面的經典玫瑰窗。

讓我們試著去觀察它們，找到幾何形狀，解讀它的象征意義。

2 觀察與組合

2.1 羅馬坎皮多格里奧廣場

羅馬七座山丘中最著名的卡皮托利尼山（Capitoline Hill）荒廢不堪，甚至被放牧的山羊侵占，教皇保羅三世（Paul III）于 1540 年左右委托米開朗基羅對廣場進行改造。

米開朗基羅提議并獲得了一個正面開闊、略呈梯形的廣場，目的是使廣場轉向羅馬廣場，而不是轉向同樣處于荒廢狀態的羅馬廣場，主要是轉向圣彼得廣場，在那里，通過文藝復興時期的建筑，城市的活力再次得到發展。

米開朗基羅設計或重新設計的宮殿俯瞰著廣場。如今，卡皮托利尼博物館和羅馬市政府就設在這些建筑中（圖 14）。

圖14羅馬的坎皮多利奧廣場。

在廣場上，米開朗基羅設計了著名的樓梯，由于工程進展緩慢，在現代按照米開朗基羅的設計(圖15)，代替了以前的土路，路面實際上已經完成。事實上，僅在四個世紀后的1940年，米開朗基羅的最初想法再次得到考慮，廣場根據米開朗基羅的設計鋪設，米開朗基羅在中心放置了著名的馬庫斯·奧勒留鍍金銅像(目前放置在Capitoline博物館，由復制品取代)。

地板為深色石材，配以白色石材圖案。所代表的圖案通常被定義為一個鑲嵌在橢圓形中的十二角星。

通過這個圖案，人行道必須表現出這個被古羅馬人視為神圣之地的中心地位的重新發現。

米開朗基羅在設計中準確地選擇了生命的象征，生命本應在這個地方重生。

在這個圖案（圖16）中，我們發現了與本章開頭所述相同的理念。在這里，一連串鱗片狀的部分通過旋轉相互追逐，并有一個變體：輪廓變成了橢圓形。換句話說，幾何玫瑰窗發生了變形：向一個方向擴展。

圖16坎皮多利奧廣場地板的裝飾圖案。

著名的米開朗基羅廣場圖案也出現在2007年所有歐元區國家為紀念歐洲經濟共同體成立50周年而發行的兩枚歐元硬幣上，該共同體的條約是在國會大廈的Palazzo dei Conservatori簽署的。

2.2倫敦圣瑪麗亞克斯街30號摩天大樓

我們改變環境和歷史時期。讓我們去倫敦，觀察由當代建筑師諾曼·福斯特的工作室設計的建筑，我們看到他在他的家鄉工作。

我們所觀察的建筑是倫敦的圣瑪麗斧 30 號摩天大樓，位于倫敦金融城，非正式地稱為“小黃瓜”（圖 17）。

圖17圣瑪麗斧街30號摩天大樓。

這座建筑高180 米，于2004年竣工，目前由一家保險公司使用，其原址是1992年被愛爾蘭共和軍引爆的炸彈嚴重損壞的大樓。由于該建筑遭受了嚴重破壞，因此決定不對其進行修復，而是建造一座完全不同的新建筑。

設計的結果是一座新穎而不笨重的建筑，內部空間寬敞、實用而明亮。

材料和能源生產組織使其成為一座環境可持續發展的建筑。

讓我們來看看它的外形。這個昵稱來自于它特有的魚雷形狀。

然而，我們的幾何眼光促使我們做出兩個考慮。

首先，我們觀察到，它是一個圍繞垂直軸旋轉的圓周表面，其上疊加了一個錐形表面，并由一個圓圈封閉，這個圓圈就是閉合燈籠的形狀。在這個意義上，我們提出了一個重建方案（圖18）[4]。

圖18圣瑪麗亞克斯30號摩天大樓的虛擬重建。

其次，沿著穿過表面的較暗的線，我們抓住了一個類比，同時，也抓住了與生命之樹的一個深刻的區別。這個長條，沿著投影在建筑表面的阿基米德螺旋圖案，像生命之樹樹干的木質構件一樣纏繞著。好好看看這兩個數字！

由此可以看出兩者的不同之處：生命之樹的樹根和樹冠都是開放的，而小黃瓜的底部是封閉的，以適應城市的需要，因為城市是由狹窄的街道和眾多的建筑組成的，而小黃瓜 的頂部則 “呈圓錐形”，這樣就不會給風提供過大的吹拂面積。從高處俯瞰可以看到：兩座建筑都有一個有趣的 “星形 ”玫瑰窗，這又將它們與從坎皮多格利奧廣場頂端俯瞰的景色聯系在一起（圖 15 和圖 19）。

圖19：從上面看圣瑪麗亞克斯30號摩天大樓。

我們的模擬(圖20)確定了通過將雙紐線的一半旋轉等于圓角的十八分之一的旋轉角而獲得的玫瑰。

圖20 圣瑪麗亞克斯30號摩天大樓俯視模擬圖。

建筑師是否特意研究了這種效果？無論答案如何，我們都認為，這種視覺效果為這座被譽為世界上最著名的建筑增添了額外的魅力。

我們首先觀察了生命之樹。它是生命的象征。通過對這一理念的延伸，坎皮多格里奧廣場將這一象征作為文藝復興時期新生活的中心，而福斯特的建筑作品則仍然是這一象征，它矗立在一個代表著重建和更新的生活的地方。

3 結論

除了通過類比將不同對象聯系起來的觀察好奇心之外，本作品還想傳遞一個信息：對任何主題的展望，即使是膚淺的，但具有強烈的跨學科性，都有助于激發對各個方向的興趣[4]。

如果用戶是學生，他可以借此機會探索不同領域的主題[5]。在這種情況下，用戶可以對幾何圖形的某些方面產生更濃厚的興趣，同時特別注意觀察建筑物體；也可以激發用戶尋找現實中的實例和應用，從理論上研究幾何圖形的某些部分；還可以通過關注象征意義來完成每次觀察，這有助于形成一種參與性和感性的視野。

參考文獻

1. Caliò F, Marchetti E (2017) Curves and surfaces: method and creativity in design process, TOJET: Turk Online J Educ Technol 1:688–693

2. Betti R, di Geometria L (1995) vol 1 e 2. Zanichelli, Bologna

3. Budden FJ (1972) The fascination of groups. Cambridge University Press, Cambridge

4. Caliò F, Lazzari C, Marchetti E (2020) Architetture in superficie-Osservare il mondo con gliocchi della Matematica. Francesco Brioschi Editore, Milano

5. Caliò F, Marchetti E (2020) To observe, to deduce, to reconstruct, to know, faces of geometry. From Agnesi to Mirzakhani. In: Magnaghi Delfino P, Mele G, Norando T (eds) Lecture notes in networks and systems, vol 88, Springer, pp 41–54. ISBN 978-3-030-29795-4

6. Franca Caliò, Caterina Lazzari, and Elena Marchetti, Roses in Architecture: One Symbol, Different Objects

青山不改，綠水長流，在下告退。

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