|作者：吳從軍

(西湖大學物理系 新基石科學實驗室)

本文選自《物理》2025年第2期

文章提供了一種基于基礎電磁學來引入狹義相對論的方法，無需借助麥克斯韋方程組。通過研究電荷和磁單極在正交電磁場中的漂移速度，可以得出“物理”的漂移速度存在一個普適的上限(即光速)。這樣光速不變性及其不可超越性，就成為相對性原理的推論。在正交電磁場中，電荷和磁單極的漂移運動在慣性參考系之間的變換下，仍然保持漂移運動，而這與伽利略的速度迭加法則并不相容。以此出發，可以導出相對論的速度迭加法則、電磁場以及時空坐標間隔的相對論變換。

01

引 言

自伽利略時期以來，人們開始接受了相對性原理(relativity principle)：所有的慣性參照系(下文簡稱參照系)是彼此等價的，沒有一個參考系比另外一個更為特殊。例如，考慮地面參考系F和相對于地面做勻速運動的火車參考系F'。這兩個參照系中牛頓運動定律的形式是完全一樣的。

到了19世紀后半葉，電磁場的麥克斯韋方程已經建立。電磁學規律是否依賴于參照系的選擇，也就是以太是否存在，成為一個重要的問題。在探索此問題的過程中，以愛因斯坦為代表的一批物理學家創立了狹義相對論，證明以太并不存在，解決了電磁學規律在不同慣性系之間的變換問題[1]。

近期，金曉峰教授對狹義相對論早期發展的歷史淵源，做了大量細致的研究[2]。他把龐加萊對創立狹義相對論的重大貢獻，從文獻中整理了出來，連載發表于《物理》之上。這項工作對物理方向的學生和研究人員有很大幫助。

狹義相對論已經成為了現代物理學的基石。光速不變及不可超越、同時性的相對性、質能關系等深刻地影響了人類對時空觀念的認知。狹義相對論通常在《普通物理》的力學部分講授。經典教材《伯克利物理學教程·第一卷》[3]和《費曼物理學講義·第一卷》[4]，都是這樣處理的。

狹義相對論的基礎是時空坐標的洛倫茲變換。它的推導通常基于下面兩個公設(postulate)：

公設(I)：相對性原理。這是伽利略相對性原理的推廣版，物理定律在所有慣性系中都是一樣的，包括了電磁學定律；

公設(II)：光速不變性。即光的傳播速度在各個參照系中都是一樣的。

相對性原理無疑是很自然的，容易讓人接受，但是光速不變性則顯得很神秘。光速不變源自于麥克斯韋方程在時空變換下的不變性，但這超出了力學的框架，只能作為一個公設提出。這使得相對論時空變換的傳統推導，不那么令人信服。相關的結論，比如時間膨脹、長度縮短等，顯得聳人聽聞，非常的反直覺。

以作者在學生時代的經歷來說，《普通物理》力學部分的相對論教學并沒有讓我從內心深處真正理解。狹義相對論和宏觀低速的日常生活體驗相去甚遠。在可預見的將來，人類也不會有機會去乘坐光速飛船，很難有相對論時空觀的直覺。

作者是在學習《普通物理》電磁學的過程中，逐步接受相對論的。E. M. Purcell 的經典教材《伯克利物理學教程·第二卷》將磁場表述為電場經過相對論變換的產物[5]。一個靜電荷只產生電場，但是如果從火車上觀察，電荷就動了起來，產生了電流和磁場，這只是換了個參照系而已。讓人印象深刻的是，將相對論變換應用于靜電場所得的磁場和安培定律所給出的磁場，是一致的。我無法否認磁力的存在，也就接受了相對論的合理性。

本文將提供一種新的方法來建立狹義相對論，幫助學生更加容易地接受它。這個方法只需要基礎的電磁學知識即可，不需要有麥克斯韋方程的知識。我們將闡明，即使是對正交電磁場中的電荷以及磁單極子漂移速度這樣簡單的問題，伽利略時空變換也是不適用的。

我們發現漂移速度存在一個普適的上限(即光速)，否則會違反相對性原理，因此光速不變就不需要作為一個公設來提出了。參照系之間電磁場的變換法則、相對論速度迭加法則、時空坐標的洛倫茲變換，都可以很自然地得到。

有關文獻中已經有不依賴光速不變重新推導相對論的工作[6—8]。基于時空的均勻性和各向同性，可以得出僅存在洛倫茲、伽利略和旋轉等三類變換，其中洛倫茲變換和伽利略變換可以滿足因果關系(causality)。如果進一步要求相互作用不能是瞬時的，那么洛倫茲變換是唯一的選擇。這些工作都在力學范圍內，而本文的側重點是從電磁場變換的角度來推導時空相對論變換。

本文的推導假定了磁單極的存在。實驗上在1982年曾有過探測磁單極子的報道[9]，但是沒有能夠重復，并沒有得到公認。對磁單極的實驗探索，也是目前粒子物理的重要課題之一[10]。電磁理論是允許磁單極存在的，并不違反任何基本原理。狄拉克對磁單極規范理論的研究，揭示了電荷量子化和磁單極之間的深刻關系，對于當代理論物理的發展起到了重要的推動作用[11—13]。本文的結果也顯示了磁單極和相對論之間的緊密關系。

綜上所述，相對論并不神秘，而且非常的自然。體驗相對論并不需要去造光速飛船，磁力的存在就是一個證據。相對論并不是顛覆了牛頓力學和時空觀，而是對其進行了發展，后者仍然是前者在低速時很好的近似。科學家是保守的革命者，不會隨便顛覆經過檢驗的理論。

本文以下部分按這樣安排。在第2節中，分析電荷和磁單極在正交電磁場中的漂移速度。在第3節中，得出物理速度存在上限的結論。在第4節中，考察速度在不同參考系之間的變換關系，得出相對論的速度迭加公式。在第5節中，論證物理速度上限的普適性。在第6節中，得出電磁場、時空間隔的洛倫茲變換。最后對全文進行總結。

下文中提到的速度，如果沒有特別聲明其方向性的話，從嚴格意義上說，應該是速率(speed)。為行文的簡單性起見，我們不區分“速度”和“速率”的用詞，這并不會引起混淆。

02

漂移速度

我們從回顧基礎的電磁學開始。考慮一個在慣性參考系F中配置的正交電磁場構型，如圖1所示。我們假設：

對于帶電粒子q 而言，它所受的電場力和磁洛倫茲力表達為

對于帶磁荷g 的磁單極子，其所受的磁場力和電洛倫茲力的表達式為

對比帶電粒子的磁洛倫茲力，磁單極子的電洛倫茲力，在形式上符號相反，其物理意義將在Box 1中進行說明。

圖1 在參照系F 中的正交電磁場位型：電場E沿著y方向，磁場B沿著z 方向。沿著x 方向的vdr是電荷或磁單極子在此電磁場中的漂移速度，由(6)或(7)式確定。參照系F' 相對于F以速度v' 沿著x 軸運動

Box 1

磁單極子的電洛倫茲力

我們將論證磁單極子在電場中所受洛倫茲力的公式(3)的合理性。考慮一個由電荷 q和磁單極子 g組成的雙荷系統。假設磁單極子 g固定在原點，而電子圍繞它運動。因為洛倫茲力不是向心的，所以電子的機械角動量LM= 也不是守恒的。它的時間變換率為

其中為從磁單極子指向電荷的徑向單位矢量。

該系統仍然具有轉動對稱性，應該具有角動量守恒。為此，需要修改電子總角動量的定義為Ltot=LM+Lem，其中

這樣定義的電子角動量就守恒了。另一方面，(A2)式可以視為雙荷系統的電磁場角動量 [14]。可 以證明：

反過來，我們考慮另一種情況：電荷固定在原點，而磁單極子圍繞它運動，定義r'=-r是從電荷指向磁單極子的位移矢量。相應地，總角動量可以被定義為

其中 ，而雙荷系統電磁場的角動量可以表達為

因此，機械軌道角動量的時間導數應滿足：

要得到和(A6)式相一致的結果，則需要有：

這樣就得到了(3)式。

我們使用的是高斯單位制，其優勢在于采用此單位制可以使得公式具有電磁對稱性。如果使用國際單位制的話，則Fq 和Fg 的公式變為

其中。

到目前為止，c 只是一個具有速度量綱的物理量而已，還不具備相互作用傳播速度上限的含義。在磁單極存在的前提下，我們可以通過如下的思想實驗(Gedanken experiment)來測定速度c。在圖1所示的正交電磁場位型，對靜止的帶電荷q 的粒子測其受到的電力Fq,E，再讓其沿著x方向以速度vx運動，測得磁洛倫茲力Fq,B。對帶磁荷g的磁單極子也做同樣的測量，可得其受到的磁力Fg,B和電洛倫茲力Fg,E。則c可以通過下式定出，

這樣的測量方法和測量所用的電場、磁場、電荷、磁荷以及它們的運動速度都沒有關聯，具有很高的普適性。

根據公式(2)，則可以定義電荷漂移速度vq(drift velocity)，即電荷q以該速度沿著x方向運動時，其受到電場力和磁洛倫茲力平衡，保持勻速直線運動。電荷漂移速度vq由以下公式得出：

類似地，也可以定義磁單極子的漂移速度vg：

當磁荷g以vg沿著-x方向運動時，其受到的磁力和電洛倫茲力平衡。

一個很自然的問題是，(6)式和(7)式中的電荷漂移速度和磁荷漂移速度，是否都是“物理”的？

03

論證物理速度上限的存在

先明確一下什么樣的速度是“物理”的。一個速度v是“物理”的，指的是它原則上可以通過粒子的運動來實現。例如，在實驗室參照系中設計一個正交電磁場裝置，使得一個帶電粒子或磁單極子以v 做漂移運動。如果做不到的話，則v是“非物理的”。當帶電粒子或磁單極子以“物理”的漂移速度運動時，則可以定義跟著它們的隨動參考系。在隨動參考系中，電荷或磁單極子是靜止的。

速度絕對值|v|的取值為非負的，從0開始到無窮大。關于“物理”和“非物理”的速度，我們有以下一些合理的推論。

推論(I)：靜止(速度v=0)無疑是“物理”的。因為運動是存在的，則必定存在一個有限大小的“物理”速度；

推論(II)：因為速度可以從0開始連續地增加，如果速度v 是“物理”的，且速度u滿足|u|≤|v|的話，那u也是“物理”的；

推論(III)：如果“物理”的速度不包括無窮大的話，則速度的取值范圍可以被劃分成一些“物理”的和“非物理”的區域。根據推論(II)，則只能存在兩大塊區域，它們之間以一個閾值vth來分隔。滿足0≤|v|vth的速度是“非物理”的(圖2)。

圖2 “物理”和“非物理”的速度范圍。它們之間由一個有限的閾值vth來分隔。“物理”的速度滿足0≤|v|vth。vth=c，其取值與參照系無關

我們下面將論證對于帶電粒子的漂移速度vq((6)式)和磁單極子的漂移速度vg((7)式)，不可能兩者都是“物理”的，否則與相對性原理矛盾。

考慮跟隨帶電粒子q的隨動參照系Fdr，它以電荷漂移速度vq相對于實驗室參照系F 沿x 軸運動。在Fdr中，電荷靜止，因此電力和磁力都為零。這意味著電場為零，但是磁場不能也為零。否則的話，Fdr里是既無電場也無磁場的真空，實驗室系F相對于Fdr的運動使得F中產生了正交電磁場。它們之間的相對運動具有繞x軸的旋轉對稱性，但是正交電磁場并不具有此對稱性，這就產生了矛盾。

下一步，我們在電荷隨動參照系Fdr中放入磁單極子g，則Fdr中的磁場會導致磁單極子加速。根據相對性原理，加速度是不能通過慣性參考系變換來消除的。

再考慮跟隨帶磁荷g的磁單極子的隨動參照系F'dr，它以磁荷漂移速度vg相對于參照系F 沿著-x軸運動。在F'dr中，磁荷靜止，其受到的電力和磁力都應為零，沒有加速度。可見，如果電荷漂移速度vq和磁荷漂移速度vg都是“物理”的話，就產生了矛盾。

根據推論(III)，“物理”和“非物理”的速度區域之間存在一個閾值速度vth。

04

速度的迭加公式

我們推導的關鍵是相對性原理——所有慣性參考系都是等價的。“物理”的漂移運動是勻速直線運動，因此慣性參考系變換不會改變這一性質。換句話說，如果電力和磁力在某個參考系中保持平衡，在任何其他參考系中，它們也會保持平衡。

考慮電磁場在不同參考系之間的變換關系。設電磁場在參考系F中為(E,B)，而在F' 中為(E′,B′ )。不失一般性，假設參考系F' 以速度v′ 沿x軸相對于參考系F運動。

這兩個參照系的相對運動具有如下的對稱性，包括關于推進(boost)軸x軸的旋轉操作對稱性，以及相對于xz平面和xy平面的鏡面反射對稱性，如圖1所示。

表1 電磁場各分量在O(2)對稱操作下的變換性質

我們先根據電磁場各分量在繞x軸旋轉下的不同變換性質，將其分為縱向分量(Ex和Bx)和橫向分量(EyEz和ByBz)。前者是轉動不變的，而后者在y和z分量之間轉化。在做參考系變換時，橫向分量和縱向分量之間并不混合。

電場和磁場一個是極矢量，一個是軸矢量。兩者在旋轉變換下的行為是一樣的，但是在鏡面反射變換下的行為則非常不同。平行于鏡面的電場分量在反射下保持不變，而垂直于鏡面的電場分量在反射下反向。磁場則相反，平行于鏡面的磁場分量在反射下反向，而垂直于鏡面的磁場分量在反射下不變。這些性質在表1中進行了總結。

我們先看電磁場的縱向分量(Ex和Bx)，可以進一步根據它們在鏡像反射下的性質進行分類。對于xz平面的鏡面反射操作，Ex和Bx均平行于xz平面，則Ex不變，為偶變換；而Bx反向，為奇變換。因此它們在參照系變換時，只會變到自身，而不會彼此混合。

對于Ex來說，它只能改變一個因子λ，即Ex'=λEx，而且λ只是依賴于v'，而不依賴于電磁場。兩個參照系彼此相對運動速度為±v'。因為空間的各向同性，λ和v′ 的方向無關，對v′ 依賴只能以λ(|v′ |)的形式。如果進行一次F 到F' 的變換，然后再從F' 變回F，則得到λ2(|v′ |)=1。相對速度可以從無限小速度開始，由連續性可以得到：

同樣的推理也適用于Bx。因此，電場和磁場的縱向分量是不變的：

我們再看橫向分量(EyEz和ByBz)，根據它們在鏡面反射變換下的性質進行分類。Bz分量平行于xz 平面，Ey分量垂直于xz 平面，因此xz 平面反射變換對它們來說是奇變換，它們變成-Bz和-Ey；Bz分量垂直于xy平面，Ey分量平行于xy平面，因此關于xy平面的反射對它們來說為偶變換，Bz和Ey保持不變。另一方面，By和Ez在關于xz和xy平面的反射下的變換性質，正好與Bz和Ey相反。因此，從F 到F' 的參照系變換中，Bz 和Ey 作為一組相互變換，而By 和Ez 作為另一組，兩組之間并不發生混合。

我們假設Ey和Bz之間的變換為線性：

其中，矩陣元素僅取決于變換速度v'，而不依賴于電磁場的位型。可以在F參考系中，選取合適的正交電磁場，來定出這些變換矩陣元。

設在F 參考系中，選取，其中電荷的漂移速度為v'，滿足v'

類似地，我們在F 參考系中選取，則其中磁荷漂移速度為v'，所以F' 參考系是隨著磁單極子的隨動參考系。因此，在F' 參考系中Bz'=0，得出：

現在考慮F 參考系中一般的電磁場位型，滿足，其對應的電荷漂移速度v=βc

我們在F' 參考系中考察這個運動，它也是個電荷的漂移運動。電磁場以及漂移速度在F' 參考系中的值，均和它們在F 參考系中的值不同，但是仍然能維持電荷的受力平衡。設在F' 參考系中的電荷漂移速度為u，則應該滿足：

類似地，我們在F 參考系準備另一套正交電磁場的位型，使得。這樣，一個磁單極子可以在其中以同樣的速度v=βc 做漂移運動。我們在F′ 參考系中觀察磁荷的漂移運動，該速度的值仍然是u。我們有：

比較公式(14)和(15)式，可以得到()2=1，是和兩個參照系相對速度無關的常數。進一步的，當β'=0時，，則可以定出。

至此，我們推導出了相對論的速度迭加定律：

值得注意的是，上述推導僅依賴于受力公式(2)和(3)，以及“物理”的漂移運動在慣性系變換下仍然是“物理”的漂移速度。

05

論證c 是物理速度的上限

在本節中，我們將闡明物理速度的上限vth和c的關系。如果兩個待合成的速度v=βc，v'=β'c都是物理的，那么根據(15)式的迭加速度u可以通過參照系變換而得到，因此也是物理的。基于這個事實，我們證明下面的定理：

定理：vth=c，而且c 的值不依賴于慣性參照系的選擇。

首先我們論證vth

如果vth

這樣在時，即可得到u>vth。這就出現兩個物理的速度迭加之后超出vth的矛盾。

然后，我們論證vth>c 也是不可能的。

如果vth>c，可以合適地選擇Ey和Bz的值，使得1≤|Bz/Ey|≤vth/c。根據(6)式和(7)式，則電荷漂移速度vq和磁荷漂移速度vg滿足vq≤c≤vg≤vth。兩者都是“物理”的，這和第3部分中的結論相矛盾。

綜上所述，vth=c。

我們來考察vth在不同參照系之間的變換。考慮參考系F' 相對于參考系F，以速度v' 沿x 軸運動。則在參考系F' 中，這個閾值速度vth' 變為

因此，c在所有慣性參考系中都是不變的。證明完畢。

推論(IV)：當|E|<|B|時，電荷漂移速度vqc，是“非物理”的。同理，當|E|>|B| 時，磁漂移速度vgc 是非物理的。

06

電磁場及時空坐標的洛倫茲變換

對于在參照系F 和F' 之間的電磁場變換(10)式，可以進一步把各個矩陣元都確定下來。定義L=Ey2-Bz2，這是對于(1)式所描述的正交電磁場的拉格朗日量。根據(10)、(11)、(12)式，我們得到在參考系F' 中：

其中。通過類似于(8)式的推導，可以得出λ2=1，乃至λ=1，即：

總結一下，我們現在可以完整地寫出橫向電磁場Ey, Bz之間的變換，

把上述正交電磁場繞x 軸旋轉90°，則得到

至此，公式(9)、(19)、(20)完全給出了電磁場的各個分量在兩個慣性系之間的變換關系，其中γ'=(1-β′ 2)-1/2，β′ =v'/c，v' 是F' 參考系相對于F 參考系的速度。

下面我們根據速度迭加公式(16)，來推導時空間隔(Δx，cΔt)在兩個慣性參照系F和F' 之間的變換：

根據(21)式，可以得出相應的速度迭加公式，

與(15)式相對比，得出a=d，=-β'，=-β'。

再定義時空間隔的平方，Δs2=Δx2-c2Δt2。根據光速不變性，如果(Δs)2=0，則(Δs' )2=0。因此，對于無限小的非零時空間隔，有(Δs' )2=λ(Δs)2，其中λ是一個因子。通過類似于推導公式(18)的推理，得出λ=1，以及時空間隔的相對論變換關系：

這就是著名的時空坐標間隔的洛倫茲變換。

07

結 論

我們提供了一種新的電磁場和時空坐標相對論變換的推導方法。在正交電磁場位形下，研究電荷和磁單極子的漂移速度在不同的慣性參考系下變換，我們得出了與標準教材相同的結果。然而，我們并未假設光速不可超越及光速不變，而是將其作為“物理”的漂移速度的上限而得出。這些結果清楚地表明，相對論的起源深深植根于電磁學。即使是如此簡單的漂移速度現象，也與伽利略時空變換不相容，這表明相對論是非常自然的。

致 謝感謝俄亥俄州立大學何天倫教授、復旦大學金曉峰教授的鼓勵，西湖大學王越同學在稿件編輯上的幫助。

參考文獻

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