引力，那只塑造宇宙并將我們牢牢固定在地面的無形之手，幾個世紀(jì)以來一直是科學(xué)界深入研究的主題。雖然牛頓的萬有引力定律在兩百多年的時間里對引力的作用提供了非常精確的描述，但 20 世紀(jì)的曙光帶來了一種革命性的新理解，那就是阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論。這個理論以其優(yōu)雅的數(shù)學(xué)框架和對空間、時間和引力本質(zhì)的深刻影響，取代了牛頓定律，成為對引力現(xiàn)象最精確的描述。然而，問題依然存在：我們能否從愛因斯坦方程復(fù)雜的織錦中，解開牛頓定律那些熟悉的線索？

愛因斯坦的廣義相對論于 1915 年發(fā)表，從根本上改變了我們對引力的看法。愛因斯坦沒有將引力視為質(zhì)量之間相互作用的力，而是提出引力是由質(zhì)量和能量的存在引起的時空彎曲造成的。這種彎曲決定了物體（包括光）將遵循的路徑。這個理論的數(shù)學(xué)核心在于愛因斯坦場方程，這是一組十個耦合的非線性偏微分方程，它將時空的曲率（由愛因斯坦張量表示）與質(zhì)量和能量的分布（由應(yīng)力-能量張量表示）聯(lián)系起來。這些方程在其完整的形式中非常復(fù)雜，通常需要先進(jìn)的數(shù)學(xué)技巧才能求解。

相比之下，牛頓的萬有引力定律是 17 世紀(jì)提出的，其形式非常簡單。它指出，宇宙中的每一個粒子都以與它們質(zhì)量的乘積成正比、與它們中心之間距離的平方成反比的力吸引著每一個其他粒子。用數(shù)學(xué)表示，兩個質(zhì)量分別為 m1 和 m2 的物體之間相距 r 時的力 (F) 由 F = G * (m1 * m2) / r2 給出，其中 G 是引力常數(shù)。這條定律為理解行星的運動、潮汐以及地球上拋射物的軌跡等現(xiàn)象提供了一個非常成功的框架。

愛因斯坦方程和牛頓定律在復(fù)雜性上的明顯差異可能會讓人認(rèn)為它們是完全獨立的實體。然而，科學(xué)的對應(yīng)原理指出，一個更新、更全面的理論應(yīng)該在舊理論已知準(zhǔn)確的范圍內(nèi)簡化為舊理論。就廣義相對論和牛頓引力而言，這個范圍對應(yīng)于弱引力場和低相對速度——這些條件在我們?nèi)粘＝?jīng)驗和太陽系中普遍存在（除了一些明顯的例外）。

從愛因斯坦方程推導(dǎo)牛頓定律的過程涉及做出反映這些條件的特定近似。我們首先考慮引力場較弱的情況。這意味著時空的曲率很小，時空的幾何形狀僅從狹義相對論的平坦閔可夫斯基時空略有擾動。在數(shù)學(xué)上，這表示為度規(guī)張量（描述時空幾何形狀）可以寫成閔可夫斯基度規(guī)加上一個小擾動項h_μν，其中 h_μν 的分量遠(yuǎn)小于 1。

此外，我們假設(shè)引力場是靜態(tài)的或至少隨時間變化緩慢，并且所涉及物體的速度遠(yuǎn)小于光速。在這些近似條件下，復(fù)雜的愛因斯坦場方程大大簡化。方程中的非線性項變得可以忽略不計，我們可以專注于擾動 h_μν 中的線性項。

廣義相對論中測試粒子的運動由測地線方程描述，該方程指出粒子遵循彎曲時空中“盡可能直”的路徑。在弱場和低速極限下，這個測地線方程簡化為牛頓第二定律，F(xiàn) = ma。在這種情況下，引力來自于粒子質(zhì)量與略微彎曲的時空之間的相互作用。

至關(guān)重要的是，我們可以將擾動 h_μν 的分量與牛頓引力勢 Φ 聯(lián)系起來。具體來說，在弱場極限下，度規(guī)張量的時間-時間分量 (g??) 可以近似為 -(1 + 2Φ/c2)，其中 c 是光速。這種聯(lián)系是將愛因斯坦理論中時空的幾何形狀與牛頓引力中引力勢的概念聯(lián)系起來的橋梁。

將這個弱場度規(guī)代入簡化的愛因斯坦場方程，并考慮以非相對論性物質(zhì)（其中壓力和動量與質(zhì)量密度 ρ 相比可以忽略不計）形式的引力源，我們得到了引力勢的泊松方程：?2Φ = 4πGρ，其中 ?2 是拉普拉斯算子。

泊松方程是牛頓引力中的一個基本方程。它將引力勢與源的質(zhì)量密度聯(lián)系起來。從泊松方程，我們可以很容易地推導(dǎo)出牛頓的萬有引力定律。對于位于原點的點質(zhì)量 m，泊松方程的解給出了熟悉的引力勢 Φ = -Gm/r。然后，可以從勢的梯度獲得距離點質(zhì)量 r 處的測試質(zhì)量 m' 所受的引力：F = -m'?Φ = -Gmm'/r2 * r?，其中 r? 是從原點指向測試質(zhì)量的單位向量。這正是牛頓的萬有引力定律。

因此，通過一系列在弱引力場和低速范圍內(nèi)有效的明確定義的近似，我們確實可以從愛因斯坦場方程推導(dǎo)出牛頓引力定律。這種推導(dǎo)不僅僅是一個數(shù)學(xué)練習(xí)，它突出了這兩個理論之間深刻的聯(lián)系。牛頓引力可以被看作是更基本的廣義相對論在低能量、弱場條件下的一個極限。

然而必須記住，牛頓定律是一種近似。廣義相對論提供了更準(zhǔn)確和完整的引力描述，尤其是在強(qiáng)引力場、高速度和宇宙距離上。水星近日點的進(jìn)動、光線在巨大物體周圍的彎曲以及引力波的存在等現(xiàn)象無法用牛頓引力解釋，但廣義相對論自然地預(yù)測了這些現(xiàn)象。