數(shù)學(xué)思維到底是什么？數(shù)學(xué)要如何應(yīng)用到我們的生活中呢？等等諸如此類的問題，一直困擾著我們，也同樣曾經(jīng)困擾著蘇珊·達戈斯蒂諾（Susan D’Agostino）。

她曾經(jīng)在讀高中時在一次微積分考試不及格之后就放棄了數(shù)學(xué)。當(dāng)時，她以為我最好的數(shù)學(xué)時代已經(jīng)過去了。但是十年后，她卻取得了達特茅斯學(xué)院數(shù)學(xué)的博士學(xué)位，甚至曾擔(dān)任新罕布什爾州州長數(shù)學(xué)顧問。她曾在高中、大學(xué)教授數(shù)學(xué)，帶出了無數(shù)的學(xué)生。

她對于數(shù)學(xué)思維的理解，被《歡樂數(shù)學(xué)》作者本·奧爾林、美國數(shù)學(xué)協(xié)會前主席珍妮弗·奎恩、歐洲科學(xué)院院士羅曼·穆拉夫斯基盛贊。

在《喚醒心中的數(shù)學(xué)家：幫你愛上數(shù)學(xué)的生活手賬》這本書里，作者用300余幅手繪插圖，46篇喚醒“數(shù)學(xué)力”的思考筆記，收獲數(shù)學(xué)與生活的啟示，帶你愛上思考與學(xué)習(xí)。

來源 | 《喚醒心中的數(shù)學(xué)家：幫你愛上數(shù)學(xué)的生活手賬》

作者 | [美] 蘇珊·達戈斯蒂諾（Susan D'Agostino）

譯者 | 何婧譽

一顆網(wǎng)球有兩個面——里面和外面，且沒有邊。如果你的體型小到可以在網(wǎng)球上行走，你只能站在網(wǎng)球外面，因為沒有路可以讓你走進網(wǎng)球里面。

一張紙也有兩個面——正面和背面，還有分隔正、背兩面的邊。如果你的體型小到可以在一張紙的正面上漫步，那么想到達紙的背面就必須越過那條邊。

現(xiàn)在想象一下，你在另外兩個物體上行走：一條環(huán)形帶和一條莫比烏斯帶。你應(yīng)該把這兩樣?xùn)|西都做出來，再繼續(xù)思考。制作步驟很容易，還能提高對即將到來的問題的探索能力。制作一個環(huán)形，要先從一條紙帶開始——它的具體大小實際上并不重要，你只需要做一條足夠長的長方形紙帶就行；然后，把兩條短邊粘到一起，你就得到了一條環(huán)形帶。

要制作一條莫比烏斯帶，也要先從一條長長的紙帶開始。這一次，在把兩條短邊粘到一起之前，要先把紙帶旋轉(zhuǎn)半圈。看，一條莫比烏斯帶做好了！

就像之前思考網(wǎng)球和紙張的面和邊一樣，思考一下環(huán)狀帶和莫比烏斯帶的面和邊。先從在環(huán)形帶的一條邊上“散步”開始。你注意到了什么？

你在“散步”的時候，可能會注意到自己所在的邊與環(huán)形帶上另一條獨立的邊有所不同。如果你想從所在的邊走到另一條邊，那你就得從這條邊上走下來，穿過環(huán)形帶的一個面，才能到達另一條邊。

同樣，如果你在環(huán)形帶的一個面上，而且只想在該面上隨便走走，那就不用跨越任何一條邊。但你若想到另一面去——分開的、獨立的第二個面——就得跨越其中一條邊。根據(jù)上述在環(huán)形帶上散步的思想實驗，你就能確認(rèn)環(huán)形帶不光是看起來，實際上也確實有兩條邊和兩個面。

到現(xiàn)在為止，你的研究已經(jīng)表明了如下信息。

可以看到，所有這些物體都有兩個面。也就是說，它們要么有里面和外面，要么有正面和背面。停下來想一想：有沒有物體只有一個面呢？只有一個面的物體是什么樣子的 ?

你能想象得出這樣一個物體嗎？如果想不出來，不妨試著在莫比烏斯帶上探索一下。從莫比烏帶的其中一面開始——你可以試試用一支筆來描出你的路線。你在莫比烏斯帶上沿這一面行走，這時你發(fā)現(xiàn)了什么？你是不是只有跨越一條邊才能到達另一個面？

如果你無法在莫比烏斯帶上找到到達另一面所需跨越的一條邊，那是因為它根本沒有“另一面”。莫比烏斯帶是一個只有一個面的物體。

現(xiàn)在來確定一下莫比烏斯帶有幾條邊。用筆沿著莫比烏斯帶的一條邊上走，一直到回到出發(fā)點為止。你注意到了什么？

你在行走中已經(jīng)把所有邊都涂上了——沒有另一條邊。莫比烏斯帶是一個有著一條邊和一個面的物體。

你對構(gòu)成有序世界的事物的概念依賴直接的經(jīng)驗。如果你只接觸過有里面和外面的物體，或者有正面和背面的物體，那么當(dāng)你發(fā)現(xiàn)一個有里面但沒有外面，或有正面但沒有背面的物體時，你會感到非常驚訝。對數(shù)學(xué)和生活追求的探索將拓展你的視野。當(dāng)你的世界觀得到擴展之后，你會呼吸更順暢，擁有更多微笑。

畢竟，你現(xiàn)在已經(jīng)知道了，有一種東西是片面的、單邊的。

作者：[美] 蘇珊·達戈斯蒂諾（Susan D'Agostino）

譯者：何婧譽

美國數(shù)學(xué)協(xié)會“歐拉圖書獎”獲獎作品

46篇思考筆記，300余幅手繪插圖，每章附有思考題，喚醒你的“數(shù)學(xué)力”

從代數(shù)、幾何、邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)史到生活中的趣事，展現(xiàn)豐富的數(shù)學(xué)思想