導(dǎo)語

你知道嗎？費(fèi)根保姆常數(shù)可以由重整化群計(jì)算，相變臨界點(diǎn)可以由重整化方法得出，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多層計(jì)算就是在對圖像做重整化。重整化群是考察不同尺度下物理規(guī)律變化的數(shù)學(xué)工具，幫助我們理解系統(tǒng)在大范圍內(nèi)或臨界點(diǎn)附近的行為。集智學(xué)園聯(lián)合北京郵電大學(xué)蘭岳恒教授開設(shè)「重整化群分析在非線性物理中的應(yīng)用」系列課程，系統(tǒng)講述重整化群這一理論框架，怎樣用來分析高維非線性系統(tǒng)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)方程的求解與約化。

本系列課程將回答如下問題：

• 從有限的觀測提取一般性規(guī)律建模的原則和常見框架是什么？

• 怎樣寫出系統(tǒng)重要結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)模式的近似解析表達(dá)式？

• 怎樣將對稱性、不變性、基本范式等先驗(yàn)知識(shí)放到系統(tǒng)解析描述中？

• 怎樣建立系統(tǒng)不同層級動(dòng)力學(xué)間聯(lián)系的方程？

歡迎感興趣的研究者加入課程，現(xiàn)在加入可享早鳥價(jià)格。

引入

在復(fù)雜系統(tǒng)研究中，有許多重要的基本問題，例如如何研究非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征、重要結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)模式，以及如何研究跨尺度問題等，我們都需要有一套系統(tǒng)的分析方法。

在2024年12月-2025年1月，我們邀請了北京郵電大學(xué)蘭岳恒教授開設(shè)了《》系列課程，詳細(xì)講解了分析非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的一套方法——Koopman算符，如何將一個(gè)非線性問題轉(zhuǎn)化為無窮維函數(shù)空間中的線性問題，并應(yīng)用于非線性動(dòng)力學(xué)、符號動(dòng)力學(xué)、Kuramoto 模型、哈密頓動(dòng)力學(xué)以及氣候動(dòng)力學(xué)等不同科目或系統(tǒng)。

時(shí)隔半年，我們再次邀請?zhí)m岳恒教授開設(shè)《重整化群分析在非線性物理中的應(yīng)用》系列課程，來系統(tǒng)講解重整群（renormalization group，簡稱RG）理論，這個(gè)在跨尺度問題研究中行之有效的系統(tǒng)分析方法。

重整化群

從原子到生命到浩瀚宇宙，從生物學(xué)到物理學(xué)中許多現(xiàn)象涉及廣闊的尺度。在理論物理中，重整化群是一個(gè)考察不同尺度下考察物理規(guī)律變化的數(shù)學(xué)工具，它和“標(biāo)度不變性”和“共形不變性”關(guān)系緊密，都與自相似有關(guān)。在傳統(tǒng)的重整化理論中，系統(tǒng)在某一個(gè)標(biāo)度上自相似于一個(gè)更小的標(biāo)度，但描述它們組成的參量和變量均不相同，需要“重整”。系統(tǒng)的組成可以是原子、基本粒子、自旋等，系統(tǒng)的變量演化通過系統(tǒng)組成之間的相互作用來描述。

最初，重整化是一種數(shù)學(xué)技術(shù)用來處理物理學(xué)中出現(xiàn)的“無窮大”問題。舉個(gè)例子，在觀察電子時(shí)，如果從遠(yuǎn)處看，它的電荷是有限的，因?yàn)殡娮颖灰粋€(gè)“虛擬正電荷云”包裹著。但如果靠近電子，這種正電荷云的屏蔽效應(yīng)會(huì)逐漸減弱，最終暴露出電子的更大電荷。重整化的關(guān)鍵在于，它通過數(shù)學(xué)手段將這種無窮大“隱藏”起來，并將實(shí)驗(yàn)測量到的有限電荷作為理論的有效值。這個(gè)過程雖然看似是“障眼法”，但它的正確性后來得到了更深層次的物理解釋。

1954年，物理學(xué)家默里·蓋爾曼和弗朗西斯·洛首次將重整化與“尺度”聯(lián)系起來，提出了“有效電荷”的概念：電子的電荷并不是固定的，而是隨著觀察尺度的變化而變化。這一發(fā)現(xiàn)表明，重整化不僅僅是處理無窮大的數(shù)學(xué)技巧，更是一種描述自然界如何在不同尺度上運(yùn)行的物理語言。在1971年，蓋爾曼的學(xué)生肯·威爾遜第一次描述的“重整化群”，將微觀與宏觀的聯(lián)系系統(tǒng)化。

重整化揭示了自然界的一個(gè)深刻規(guī)律：不同尺度上的物理現(xiàn)象可以相對獨(dú)立，僅僅通過參數(shù)來聯(lián)系。換句話說，研究宏觀現(xiàn)象時(shí)，我們可以忽略微觀層面的復(fù)雜細(xì)節(jié)，微觀的影響體現(xiàn)在宏觀理論的參數(shù)值上；而研究微觀現(xiàn)象時(shí)，也無需考慮宏觀的所有狀態(tài)，宏觀的影響體現(xiàn)在微觀個(gè)體的環(huán)境變量上。這種“尺度分離”的思想成為現(xiàn)代物理學(xué)的核心理念之一。

重整化群中的關(guān)鍵思想

重整化操作是在一個(gè)更大的長度尺度上對微觀自由度做平均，為了保持關(guān)心的物理性質(zhì)不變，參數(shù)需要從精細(xì)尺度到粗糙尺度做相應(yīng)的變換，從而形成一種參數(shù)（變量）變換的群結(jié)構(gòu)-重整化群。反復(fù)應(yīng)用這種粗粒化過程會(huì)產(chǎn)生所謂的參數(shù)流。這個(gè)流具有不動(dòng)點(diǎn)，也就是在重整化下保持不變的特殊值。這些參數(shù)對應(yīng)于該系統(tǒng)遵循的普適標(biāo)度律的臨界點(diǎn)，具有相同標(biāo)度律的系統(tǒng)被認(rèn)為屬于同一個(gè)普適類。

粗粒化示意圖：以Ising模型為例

重整化群產(chǎn)生的參數(shù)流示意圖

重整化群理論中的另一個(gè)關(guān)鍵思想是臨界維數(shù)的存在。超過這個(gè)維數(shù)，與平均場理論相對應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的，這意味著它正確地捕捉到了臨界行為。對于較低的維度，可以通過微擾求解重整化群方程來得到階的標(biāo)度指數(shù)，從而找到臨界行為的近似值 。

重整化群讓我們能夠?qū)Ｗ⒂诓煌叨壬系年P(guān)鍵變量，而忽略不重要的細(xì)節(jié)。這種“簡化”能力是科學(xué)研究得以推進(jìn)的重要原因。重整化群理論在快速發(fā)展中，正在與機(jī)器學(xué)習(xí)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、非線性物理等不同領(lǐng)域結(jié)合。

本系列課程《重整化群分析在非線性物理中的應(yīng)用》主要回答如何設(shè)計(jì)重整化策略來分析高維非線性系統(tǒng)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)方程的求解與約化，為分析計(jì)算復(fù)雜系統(tǒng)中的跨尺度問題提供有力工具。

課程主題：

重整化群分析在非線性物理中的應(yīng)用

課程簡介

• 從有限的觀測提取一般性規(guī)律建模的原則和常見框架是什么？

• 怎樣寫出系統(tǒng)重要結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)模式的近似解析表達(dá)式？

• 怎樣將對稱性、不變性、基本范式等先驗(yàn)知識(shí)放到系統(tǒng)解析描述中？

• 怎樣建立系統(tǒng)不同層級動(dòng)力學(xué)間聯(lián)系的方程？

這些都是復(fù)雜系統(tǒng)研究需要考慮的基本問題，重整化群分析能夠提供一套行之有效的系統(tǒng)分析方法。

復(fù)雜系統(tǒng)研究已經(jīng)成為各學(xué)科需要共同面對的問題。其多自由度、高非線性、非平衡特性決定了多層次結(jié)構(gòu)和自組織動(dòng)力學(xué)的涌現(xiàn)，體現(xiàn)對外部激勵(lì)呈現(xiàn)復(fù)雜的適應(yīng)性。怎樣從基本原理發(fā)掘特定系統(tǒng)的基本特性，理解其行為和設(shè)計(jì)合適的調(diào)控方案，是信息智能時(shí)代人們關(guān)注的核心問題之一。本次課程計(jì)劃系統(tǒng)講述重整化群這一理論框架，怎樣用來分析高維非線性系統(tǒng)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)方程的求解與約化。

重整化群方法始于場論，在凝聚態(tài)相變中進(jìn)一步發(fā)展，用于處理體系中出現(xiàn)的各種奇異性。經(jīng)Widom，Kadanoff和Wilson等人的拓展，成為了聯(lián)系不同尺度下物理規(guī)律的有力工具。在復(fù)雜系統(tǒng)研究中，更是可以幫助我們進(jìn)行狀態(tài)粗粒化并導(dǎo)出粗粒化后的方程；也可以用來解析或數(shù)值計(jì)算非線性動(dòng)力系統(tǒng)中重要的軌道。考慮到重整化群也是統(tǒng)計(jì)物理中的重要方法，結(jié)合此處在動(dòng)力學(xué)分析中的應(yīng)用，它已經(jīng)成為聯(lián)接動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法的橋梁和有力工具。

本講座中，從復(fù)雜系統(tǒng)建模的方式出發(fā)，講述對稱性、不變性與變換群的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)群結(jié)構(gòu)的重要性，以及重整變換與常用數(shù)學(xué)物理方法的聯(lián)系。有了充分準(zhǔn)備后，我們將系統(tǒng)闡述重整化群在非線性動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用：怎樣用它來約化方程；怎樣用來搜尋重要軌道，包括周期軌道或連接軌道；怎樣與Koopman算符本征函數(shù)連接。我們希望，此方法可以拓展到真實(shí)的復(fù)雜系統(tǒng)研究中去。

課程大綱

課程主講人

蘭岳恒，北京郵電大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院教授，博士學(xué)位在佐治亞理工學(xué)院（Georgia Institute of Technology）獲得。先后在國內(nèi)外多個(gè)著名大學(xué)學(xué)習(xí)和工作過，有豐富的學(xué)科交叉研究經(jīng)歷。主要從事非線性科學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、生物物理、復(fù)雜信息和智能系統(tǒng)等方面的研究工作，注重基本理論方法的發(fā)展和與實(shí)驗(yàn)緊密結(jié)合的應(yīng)用。現(xiàn)為北京郵電大學(xué)“數(shù)學(xué)與信息網(wǎng)絡(luò)”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室副主任，多次被邀請?jiān)趪鴥?nèi)外學(xué)術(shù)會(huì)議上報(bào)告自己的工作，同時(shí)擔(dān)任期刊“理論物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理”（Modern Mathematical Physics）的編委，也是多個(gè)國際著名雜志的審稿人。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100余篇，包括國際頂級雜志PRL， PNAS， Nature子刊論文多篇。

課程詳情

第一課：復(fù)雜系統(tǒng)及其建模

復(fù)雜系統(tǒng)都是高維非線性體系，具有層級結(jié)構(gòu)和涌現(xiàn)動(dòng)力學(xué)，能夠?qū)W習(xí)和適應(yīng)環(huán)境變化。研究復(fù)雜系統(tǒng)，首先要熟悉其定量描述方式以及各種刻畫方式的優(yōu)勢和不足。動(dòng)力學(xué)描述沿襲了經(jīng)典物理中的力學(xué)分析，精確但方程難解；統(tǒng)計(jì)物理處理相互作用的多體體系，在簡單物理系統(tǒng)中取得了巨大成功，但在非平衡體系中碰到了巨大困難；網(wǎng)絡(luò)科學(xué)則是兩者的綜合、平衡和拓展，有著巨大生命力，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到完美。我們的理論究竟要解決什么問題，怎樣解決，需要具備哪些特征？如何直面現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性來建立合適的模型？這里我們拋磚引玉，希望能引起各位的思考與共鳴。

1. 復(fù)雜系統(tǒng)及其特征

2. 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與相空間

3. 統(tǒng)計(jì)物理思想

4. 網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的興起

第二課：對稱性、不變結(jié)構(gòu)與變換群

對稱性與守恒律是現(xiàn)代物理中的重要概念，貫穿于物理研究中的各個(gè)領(lǐng)域。除了常見的三種連續(xù)對稱性之外，我們強(qiáng)調(diào)尺度不變性及其相關(guān)的Pai定理，這是傳統(tǒng)重整化群運(yùn)作的基石。在非線性動(dòng)力學(xué)中對稱性也極其重要，連續(xù)對稱能夠降低系統(tǒng)維度獲得解析解，離散對稱能夠幫助我們約簡計(jì)算、判斷特殊軌道的存在。這樣我們就過渡到對稱性和不變性的一般描述——群論。這里主要強(qiáng)調(diào)群的封閉性，以及同構(gòu)、同態(tài)的概念，可以與復(fù)雜系統(tǒng)信息的整合、分解、變換和約化聯(lián)系起來。

1. 物理中的對稱性與守恒律

2. 非線性動(dòng)力學(xué)中的不變性與對稱性

3. 群論初步

第三課：重整化初步

理論模型都是對真實(shí)物理世界的簡化描述，重整的技術(shù)實(shí)際上在建模中隨處可見。這里我們舉幾個(gè)常見的模型重整與約化的例子。更加系統(tǒng)地，物理中的平均場方法實(shí)際上就是一個(gè)常見但并不平凡的例子；而解微分方程中的常數(shù)變異法聯(lián)系了重整與坐標(biāo)變換。統(tǒng)計(jì)物理中自旋模型重整化，則是重整化群萌芽的經(jīng)典模型，包含了諸多重要概念。我們也會(huì)指出其中比較隱蔽的假設(shè)，厘清重整化群和相變的關(guān)系，指出重整化群實(shí)際上可以推廣到一般對稱操作。

1. 幾個(gè)常見模型中的重整與約化

2. 平均場帶來的約化

3. 常數(shù)變異法

4. 自旋模型中的重整化

第四課：非線性動(dòng)力學(xué)的重整化群分析

重整化群思想的核心還是群的概念，用其進(jìn)行常見的相變研究只是一個(gè)廣為人知的應(yīng)用，而在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用則是另一個(gè)正在成長的領(lǐng)域。在這里，群的應(yīng)用主要與約化和不變性相聯(lián)系。所以我們首先講述與動(dòng)力學(xué)約化緊密相關(guān)的子流形的概念，這也是當(dāng)前研究機(jī)器學(xué)習(xí)原理重點(diǎn)關(guān)注的對象。從系統(tǒng)包含參數(shù)的近似解中，我們可以得到重整化群方程，它脫胎于近似解，但很多時(shí)候成立的范圍大大超出，因?yàn)樗谌肓巳翰蛔兊男再|(zhì)。實(shí)際上，重整化群分析在很大程度上囊括了漸進(jìn)分析的很多分支，量子力學(xué)中的WKB近似就是一例。

1. 粗粒化與子流形

2. 重整化群方程

3. 重整化群分析與漸進(jìn)分析

第五課：重整化群確定非線性體系的重要軌道

一個(gè)重要的應(yīng)用就是確定非線性系統(tǒng)中的重要軌道，獲得其近似解析表達(dá)式。一個(gè)例子就是連接軌道，它能夠連接兩個(gè)不同穩(wěn)態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌道，也可以是分割不同吸引域的邊界，還可以是觸發(fā)復(fù)雜行為的起始點(diǎn)。另一個(gè)例子就是周期軌道，無論在守恒系統(tǒng)還是在耗散系統(tǒng)中，都起著極其重要的作用。這里，我們可以用統(tǒng)一的方法，基于重整化群方程獲得軌道的近似表達(dá)式，以及周期對振幅的依賴關(guān)系，在很大程度上免去了多尺度分析帶來的繁雜計(jì)算。即使對非線性很強(qiáng)的系統(tǒng)、在很大的相空間區(qū)域，這里的計(jì)算都可以很快收斂到正確的值。

1. 連接軌道

2. 周期軌道

第六課：重整化群分析的更多應(yīng)用

重整化群分析不僅能夠計(jì)算方程的近似解，也能夠得到精確解。即使是較為復(fù)雜的多孤子解，也可以方便得到。這里把群的不變性質(zhì)用到解的形式不變上面，將復(fù)雜非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題或低維非線性問題，大大降低了求解難度。將方程約化到狀態(tài)空間的子流形上，則是RG分析的應(yīng)有之用。這里舉的例子是描述空間延伸系統(tǒng)的非線性偏微分方程，RG分析可以用更少的自由度達(dá)到相同的計(jì)算精度，大大提高了計(jì)算效率。為復(fù)雜非線性系統(tǒng)，例如流體計(jì)算、等離子體計(jì)算等等提供了一個(gè)可以期待的手段。當(dāng)然，RG分析還有很多未明之端，期待各位同仁共同努力，讓這一經(jīng)典工具煥發(fā)新的活力。

1. 精確解

2. 無窮維系統(tǒng)子流形上的約化

3. 系列課程總結(jié)

課程信息

課程適用對象

1. 理工科領(lǐng)域研究者及高年級學(xué)生

a. 對復(fù)雜系統(tǒng)、非線性動(dòng)力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、重整化群等方向有興趣的研究人員、理工科研究生或高年級本科生；

b. 具備基礎(chǔ)微積分、線性代數(shù)、常微分方程等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及一定的計(jì)算能力；

c. 有志于多學(xué)科交叉、希望將理論工具應(yīng)用于物理、工程、信息、生命等復(fù)雜系統(tǒng)的研究者。

2. 具有探究精神和創(chuàng)新意識(shí)的學(xué)習(xí)者

a. 喜歡提出問題、參與討論、推導(dǎo)假設(shè)并反思復(fù)雜系統(tǒng)本質(zhì)的學(xué)生；

b. 對系統(tǒng)建模、行為理解、規(guī)律提取和調(diào)控設(shè)計(jì)等實(shí)際問題有濃厚興趣的學(xué)者。

學(xué)完將收獲

1. 復(fù)雜系統(tǒng)建模能力：掌握從有限觀測提取規(guī)律的建模原則，理解復(fù)雜系統(tǒng)的高維非線性及自組織動(dòng)力學(xué)特性，學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)合適模型和調(diào)控方案。

2. 重整化群（RG）理論掌握：深入學(xué)習(xí)RG框架，理解其在相變及非線性動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用，掌握狀態(tài)粗粒化和方程約化的方法。

3. 對稱性與不變性分析：學(xué)會(huì)利用對稱性、守恒律和變換群降低系統(tǒng)維度，獲得解析解或約簡計(jì)算。

4. 非線性動(dòng)力學(xué)應(yīng)用：掌握RG方法約化方程及搜索重要軌道（如周期軌道），通過RG方程簡化多尺度分析計(jì)算。

5. 層級動(dòng)力學(xué)聯(lián)系：學(xué)習(xí)建立系統(tǒng)不同層級動(dòng)力學(xué)聯(lián)系方程，應(yīng)用粗粒化、子流形概念于實(shí)際問題。

6. 計(jì)算效率提升：掌握RG分析獲取精確解及轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題的技巧，提升計(jì)算效率。

7. 跨學(xué)科視野：結(jié)合統(tǒng)計(jì)物理、動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)及網(wǎng)絡(luò)科學(xué)，培養(yǎng)解決復(fù)雜問題的綜合能力。

1. 課程形式：騰訊會(huì)議直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播。本系列課程不安排免費(fèi)直播。

2. 課程周期：2025年7月26日-2025年8月30日，每周六14點(diǎn)-16點(diǎn)進(jìn)行。

3. 課程定價(jià)：原價(jià)599，早鳥價(jià)479，早鳥優(yōu)惠截止到2025年7月27日中午12點(diǎn)。

掃碼付費(fèi)報(bào)名課程課程鏈接：https://campus.swarma.org/course/5563?from=wechat

付費(fèi)流程：

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程獎(jiǎng)學(xué)金機(jī)制

1. 途徑一：發(fā)布高質(zhì)量課程筆記

在集智斑圖網(wǎng)站（pattern.swarma.org）完成本課程體系下某個(gè)方向的總結(jié)文章或?qū)W習(xí)路徑。經(jīng)集智學(xué)園助教團(tuán)隊(duì)評定認(rèn)可后，可作為一條貢獻(xiàn)。一條貢獻(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì)200元獎(jiǎng)學(xué)金，質(zhì)量優(yōu)異的內(nèi)容，會(huì)有浮動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)。可參考：

2. 途徑二：招募課程助理1名

付費(fèi)報(bào)名課程后，聯(lián)系助教微信申請課程助理。經(jīng)溝通，成為正式課程助理，完成課程助理任務(wù)，在課程結(jié)束后退全額學(xué)費(fèi)。

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1. 本課程從Koopman算符的定義出發(fā)，講述其定義、基本性質(zhì)和譜特征的數(shù)值計(jì)算方法，以及在幾個(gè)典型非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用，例如非線性動(dòng)力學(xué)、符號動(dòng)力學(xué)、Kuramoto 模型、哈密頓動(dòng)力學(xué)以及氣候動(dòng)力學(xué)等。

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