?天不生數學，萬古如長夜

2002年6月，41歲的埃隆·馬斯克成立SpaceX，宣布要研究可回收重載火箭。此舉受到了主流航天專家的一致嘲笑與批駁，其中就包括了馬斯克的偶像、人類首次登月的宇航員阿姆斯特朗。

這一度讓馬斯克在接受采訪時淚目漣漣。他說當時很希望阿姆斯特朗來參觀一下，看看SpaceX員工的努力。

遺憾的是，馬斯克與SpaceX員工努力了11年，也沒把可回收火箭實現，因為可回收火箭在動力下降階段中的“懸停著陸”難題一直沒有解決。

直到2013年，幾位數學家發表了《無損凸化非凸控制邊界和軟著陸最優控制問題的指向約束》，以無損凸優化技術(lossless convexification)把非凸問題成功轉換成了凸優化問題，為可回收火箭著陸過程中最優控制和指向約束的精確管理開辟了工程可行性。

短短兩年以后，SpaceX的獵鷹火箭回收成功，開創了航天領域的2.0時代。

但馬斯克的某個心愿卻一直未遂：

2012年8月，尼爾·阿姆斯特朗因病去世，他永遠也不可能參觀SpaceX的工廠，與造火箭的年輕人“一笑泯恩仇”了。

但沒有人責怪數學家“我來晚了”，因為后者站在人類智慧的頂端，而且還伴隨著“強大”與“神秘”的加成，簡直與奇幻小說中的魔法師媲美。

?數學系的鄙視鏈

知乎上有一個很冷門的問題：

如果整數X的13次方等于21982145917308330487013369，X=？

此題的正常解法是這樣的：

1，該數字尾數為9，則x個位數是9

2，由于100的13次方是一個27位的數字，而該數字有26位，說明x是一個兩位數，且接近100

3，方程兩邊同時除以10^26，問題轉化為（X/100）^13=0.2198

4，令Y=X/100，該問題轉化為Y^13≈2/9，兩邊取對數得13lnY=ln2-ln3。求解得到lnY≈0.11

5，這就等價于一個小數點后的兩位數，且百分位數字是9，現在需要確定十分位。設Y=z/10，則lnY=lnZ-ln2-ln5，聯立上式lnY=0.11，得到lnZ≈2.19，這個數值介于ln8和ln9之間（注：ln8≈2.1，而ln9≈2.2），故8

6，根據已知條件，顯然有Z=0.89，因此原問題中X=89。

可見，只要具備合適的數學思維，原問題的計算難度瞬間就降低到了：

口算級別。

但它有一個前提，你必須掌握插值法的基本原理，且熟悉對數的基本概念與運算。

設想一下，如果某位小學生一時疏忽，在筆記中把lnX寫成10X，無論我們認為TA板書不規范，還是缺乏對自然對數的基本概念，終歸會懷疑TA口算解出本題的能力。

當然，這不是本文的重點。我之所以列舉這個例子，是因為它勾引起了我對數學的痛苦回憶。

我就讀研究僧的第一年，曾和班長蹬著自行車去阜成門。當時月壇區域還沒有金融街的開發，是一個極其平價的官園小商品批發市場。

我們去官園市場的目的，是批發二十幾個帶有高級數學運算和程序編寫功能的計算器，用于《數值分析》課程的日常作業與期末考試。

——它是一門模擬計算機算法、求解復雜計算問題近似解的課程，常用的就是函數求值、回歸分析、微分方程。無論哪個章節，插值法都是最基本的解題手段。

可以說，這是一門方法比較基礎但技巧性很強的課程。

期末考試時，像我等資質愚鈍之徒抓耳撓腮，因為找不到合適的差值點而機械地迭代計算，計算器都快按出煙來；而我們的班長則閑庭信步地提前交卷，連計算器都沒怎么用。

這一點我們是服氣的。畢竟班長大人有著一絲傳奇色彩。

眾所周知，中國的大學排名歷來很神奇，競爭TOP1的大學有兩所，競爭TOP3的有七八所。我們班長本科就畢業于某所TOP3的數學系，然后在考研時以數學滿分考入我校，不服不行。

當我們每次宿舍臥談會談到數學、不自覺地流露出對班長的景仰時，班長大人就激動起來，連說不敢當，讓我們莫要亂說。

我們只當這是他的矜持與謙遜。

直到有一次喝高了，大家又說起了該死的數學，班長突然就崩潰了，他大著舌頭說了很多。

他說他從小就熱愛數學，但進入大學后才發現，數學真的是一個最吃天賦的專業，人和人的差距比人和狗的差距還大。

他說數學專業學生的四年本科，其實就是一個自我認知、自我分流的過程——每個學生在學習過程中，逐漸排除自己學不會的領域，直到找準自己足夠勝任的專業。

所以數學系存在一條嚴格的鄙視鏈：

站在生態位上層的是基礎數學，包括代數、分析與幾何學。通常而言：

1，如果數學系學生發現自己學不好抽象代數，他會自動退出代數領域； 2，如果發現自己不能自如地理解泛函分析、微分方程，基本就告別分析方向了； 3，至于對代數和分析都有極高要求的幾何學，更是站在鄙視鏈的頂端，普通人亂入該領域，連別人給出的證明過程都看不懂，真的就生不如死。

告別了基礎數學的數學系學生，就只能去應用數學領域折騰。例如機靈點的學個統計，還可以與其他行業的大牛合作，甚至指導專家們的工作；次一點的去計算數學折騰，去大廠當算法專家；最沒天賦的就去軟件工程/計算機技術，當個碼農混口飯吃。

而我們的班長大人從小就以華羅庚、陳景潤為榜樣，結果在TOP3奮斗了四年后，黯然神傷地離開了心心念的基礎數學領域…

感到內心受傷的他跨專業考入我校，結果卻發現課程表里居然有《數值分析》這樣的渣渣課程——這是計算數學的專業課程呀，搞了半天又雙叒叕進入了鄙視鏈的底部？

那一天，放飛自我的班長直接把我們干沉默了。因為這意味著一件特別商自尊的事：

大家從小學混到研究僧，年年學數學，自以為基礎還比較扎實。突然間我們中的佼佼者大喝一聲，“在座各位包括我在內，都是學渣”，大伙兒的道心，當場就碎了一地。

（這種道心破碎的糟糕感覺，古今無不同）

而中學階段表現平平、中專月考差強人意、余元公式都能寫錯的某位姜同學，突然就開了天眼大殺四方…在邏輯上有沒有問題呢？

當然，在數學史上，不排除有天賦異稟的野生奇才，卻因為家庭貧困而成為專業教育的漏網之魚。

例如印度數學家拉馬努金就沒受過正規的高等數學教育，不得不在一家會計師事務所打工糊口，最后還因為肺結核，33歲就去世了。

拉馬努金研究的是數論，這是一門源于代數，但又與分析、幾何密切相關的數學分支。他的天才體現于他神奇的直覺。

例如拉馬努金曾寫出一個快速收斂π值的神秘公式，其模樣如下：

它的收斂性快到了何等逆天的程度呢？簡而言之就是“k每增加1，π值收斂8位”，例如：

當k=0時，計算得到π= 3.1415927300133； 當k=1時，計算得到π= 3.1415926535897936。

就在這一瞬間，割圓法、微積分求解π值的方法突然就不香了，還讓背誦著“祖沖之領先世界一千年”的小學生無所適從…

由于拉馬努金沒有給出公式推導的過程，這讓數學家們犯了難：公式中的各項參數是如何確定的？

尤其是分母中（1103+26390k）這一項，怎么就湯姆的能想到加一個常數呢？！

更離譜的是，如果把常數1103替換成其他數字，這個公式的收斂性就會大幅度下降，泯然眾人。

大神的世界，宵小們不懂啊。

但即使是野生天才拉馬努金，也在第一次接觸數學時就顯示了非凡的天賦（他10歲才學到正規的數學，11歲時就已經自學了大學的數學知識，26歲時被劍橋大學著名數學家哈代收歸門下），而不是基本概念都沒弄懂、高中難度的考卷都考不好的天才。

畢竟數學就是這樣一門不會欺騙自己的課程，數學不會就是真不會。

?數學家的倔強

一語成讖的是，研究僧畢業后，我們的班長在一家國資軟件開發公司找了份寫代碼的工作，如愿以償地成為了一名數學系向社會輸送的“基礎型人才”。

但這又有什么關系呢。

與按照天賦強行碾壓的數學系鄙視鏈相比，社會這所大學里存在著一條反向的數學鄙視鏈——干應用研究的職位更多、薪酬更高，總體待遇遠好過基礎數學研究者。

甚至于，這也是全球數學界的尷尬現狀。

2013年4月，華裔數學家張益唐在《數學年刊》發表《質數間的有界間隔》，證明了存在無窮多對質數間隙都小于7000萬，它讓人類距離“孿生素數猜想”的最終解決，縮小至“一根頭發絲”一樣的程度，成為近年來數論方面的重大突破。

而張益唐本身的曲折經歷，給這一成就增添了傳奇色彩。

《紐約客》以它獨特的筆調看法了一則專稿，開頭部分大致是這樣的：

當《數學年刊》以130年來最快審核記錄接收張益唐的論文后，這位長期擔任講師的新罕布什爾大學員工給他的妻子打了一個電話，平靜地提醒妻子注意這幾天的報紙，她將在上面看到他的名字。

在餐館擔任服務員的妻子不耐煩地說，你是不是又在你的校友家…喝醉了？

張和他的妻子，是在一家快餐店人士的。當時他們都是這家店鋪的小時工。

事實上，攻讀數學博士的7年，對于從中國來到美國的張來說并不是一段美好記憶。

在博士畢業時，他沒有得到導師的推薦信，也沒有找到教職的工作，不得不去超市當收銀員、在賽百味（subway）賣漢堡，并由此認識了他的太太。

幸運的是，在他的北大同學的幫助下，張在新罕布什爾大學找到了一份臨時教職工作，負責給大一本科生教微積分——他用6年時間才轉為講師，并看起來要在講師位置干到退休。

文章被接受的消息傳開后，新罕布什爾大學告訴張益唐，他被破格提拔為專職科研的助理教授，他的同事都對此表示祝賀。只有年邁的女教學秘書憂心忡忡地詢問：

張還會給數學系的飲水機換水嗎？

這位接近退休的老太太始終沒有明白，有些事情是注定的，而張益唐就是這樣被注定的人，所以他才會抓住機會，如彗星般地崛起。

但對于張太太而言，《數學年刊》的肯定非常有意義。

有時候，勝利不是一切，它是唯一。

張益唐的故事告訴我們，沒有過人的天賦，千萬不要碰瓷基礎數學，會變得不幸。

例如你看文體圈的學霸設定與明星們的天才子女，基本都在秀英語、秀藝術、秀馬術，秀服裝設計，就沒有一個敢碰瓷數學的。

因為這是一項門檻極高而又費力不討好的工作。

從這個意義上說，推動“天才數學少女”的幕后主角，還真是勇者無畏、熱愛數學啊。

2022年11月，加州大學圣巴巴拉分校數學系終身教授張益唐發布了攻克 Landau-Siegel 零點猜想的相關論文，再次引起數學界的轟動。

有趣的是，張益唐饒有興致地在知乎上回答了關于零點猜想的問題。他回應了吃瓜群眾對他經歷的八卦，也跟著感慨了自己早年的艱辛，但又堅定地表示：

幾年前，有位導演找到我說，想把我的故事拍成電影，就像納什的《美麗心靈》，我不希望拍，不希望再給我干擾… 關于我的未來，這些數學問題我是不會丟掉的。我覺得我大概這一輩子就是做數學的命了，我不做數學都不知道干什么。

其實吧，張老師明顯還是過謙了。這位1978年考入北大數學系的年輕人，曾喜愛蘇小明的流行歌曲、喜歡杜甫的古典詩詞，還想躍向遠方，變成天上半明半暗的云。

只是由于各種原因，他的生活被改變了原有的樣子，但又在無可匹敵的天賦下，強行扭轉了自身的命運。

在他名聲鵲起之時，有人問起杜甫的哪一首詩最能概括當時的心情。張益唐毫不猶豫地引用了《詠懷古跡》中的兩句：

庾信平生最蕭瑟，暮年詩賦動江關。

也許，這就是數學家的倔強，也是數學的浪漫。

——（全文完）——

寫在后面的話：

對于寫長文章的自媒體而言，談及俄烏戰爭、巴以沖突、中醫效果、天才兒童…等相關問題，非常地敗人品。因為長文章自古以來就和情緒輸出對立；而又有些問題已經脫離了事實之爭，演變為信仰問題。

例如天才中專少女勇闖數學競賽的新聞成為輿論熱點后，我在很久以后才參與討論，寫了兩篇文章。它們的重點，都不是討論姜同學本人，而是其他。

例如第一篇文章《》，調侃人民日報關于“姜同學與她（潛在）的5次菲爾茲獎”，明白人都知道，這是譏諷某些媒體人的“造神運動”。

而第二篇文章《》，我感嘆競賽組織者悄然篡改對姜萍的宣傳視頻，試圖淡化、修改大眾記憶的行為，認為這是一項違背程序正義的事情。它的性質，與江西指鼠為鴨事件、甘肅天水煙草證“補證據”事件是同等危險的。

嘿，您猜怎么著？

文章發出來之后，我收到了兩位數的后臺私信。溫柔點的勸我“君子不立危墻之下，等結果出來后再評論為好”，急躁的直接給我扣上“你這是一種誤導，你沒有證據證明她不是天才”，然后熟練地拉黑、取關一條龍。

搞得我心里沉甸甸的，反思自己是不是一個傷害了新時代獨立女性的渣男。

這么說吧，這世界上有一種人，他們對自身匱乏的某種知識有著樸素的圖騰崇拜，但又對獲取知識的艱辛與成本有著莫名的內心蔑視；他們舍得為看不懂的知識而付費，卻又認為（對天才而言）知識的獲得毫不費力。

這種內心糾結與撕裂，讓我想起了1993年《科幻世界》刊發的一篇短篇小說，故事梗概是：

某研究所的年輕學者在一個史前遺跡中發現了刻有“科學”等字眼的文物，機緣巧合之下，他穿越到這個原始部落中，并與年輕漂亮的女主愛得死去活來。

但有一天恰逢日全食，眼見陽光越來越暗，酋長把女主當作祭品，綁著往火刑柱上送。驚怒之下，男主跳起了大神，預言太陽很快就會復原。當日食結束后，抱得美人歸的男主激動地教育部落人：不許迷信，相信科學。

于是，男主一肚子的現代科學，就此成為部落的神秘圖騰。他們把“科學教派”的詞匯刻在金石之上，流芳千古。

因此，作為一名曾經的數學學渣，我覺得有必要科普一下數學的八卦故事。

數學就是數學，不應該成為高高在上的圖騰，也不應該成為埋在隱秘角落、等待墜崖的傻瓜來挖掘的武林秘籍。

數學，不該是這個樣子的。

其實早在1945年，卡爾波普就把證偽主義的理論外延至社會科學領域，他認為證偽與祛魅比所謂的民主平等、專業知識更加重要。這本哲學類暢銷書有一個大名鼎鼎的名字：

《開放社會及其敵人》。

毫無疑問，誰是我們的朋友，誰是我們的敵人，這是科學的首要問題。

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26 Jun 2024

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