我的朋友們，歡迎閱讀本集《BASAL - 本對學術文獻的業余合成》（BASAL -Ben’sAmateurishSynthesis of theAcademicLiterature）！

作者：Ben Orlin（本·奧爾林，英國數學教師、科普書作家）2024-11-19

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-11-22

圖源：Ben Orlin | mathwithbaddrawings.com

在本集中，我們將探討：

1. 歷史上的數學家是如何努力構想代數的

2. 歷史上的數學家是如何努力理解概率的

3. 學習數學基本上就是快速應對同樣的歷史挑戰

4. 誰關心，為什么

1.

海倫娜·佩西奧（Helena Pycior）和符號的怪異之處

根據Jim Propp（即James Propp教授，譯者注）的熱門提示（試著快速講十遍），我一直很欣賞歷史學家Helena Pycior（海倫娜·佩西奧，1947 -，歷史學家，美國）的工作，以及她有關19世紀轉向“符號代數”的著作。

這種數學，現在在“代數 1”的主辦下講授，對我們來說并不陌生或不熟悉（這里的“我們”是指“數學博客的讀者”）。但佩西奧揭示了它的極度怪異。

不只是13歲的孩子覺得這些東西難以接受。直到19世紀中期，一些英國數學家還不得不被拖入這個噩夢般的世界，彼時數學符號脫離了它們所象征的事物而自由飄蕩。

以威廉·漢密爾頓（William Hamilton，1805 - 1865，因提出四元數quaternion而聞名）寫給同事的一封信中的話為例：

我們屬于代數的對立兩極；因為你……似乎認為代數是一種“符號及其組合的系統”，有點類似于用字母表達的三段論；而我永遠不會滿足，除非我認為我可以超越或透過符號來看到所表示的事物。

你明白了嗎？威廉·漢密爾頓為我們提供了奇異的復數的非交換推廣，并不希望代數僅僅是一門符號科學。

他想確切地知道這些符號象征著什么。

沒有人反對一種更為溫和的代數形式，即所謂的“廣義算術”。諸如 2x+3x=5x 這樣的陳述可以理解為具體算術模式的精辟總結：任何數字的兩倍加上該數字的三倍，得出該數字的五倍。

這種代數得到了一致認可。

但像將兩個負數相乘得到一個正數這樣的事情……嗯，這已經不再是算術了。這是純粹的符號化，沒有明確的東西被象征。它是有效的，因為它給出了一致的結果，并被證明在解決數學和科學問題方面很有用……但它沒有實際的具體意義。

信奉“負數乘以負數等于正數”就是失去了數學純真性。就是放棄具有明確而具體的現實世界意義的符號。就是接受19世紀和20世紀數學作為自洽邏輯系統的觀點。正如希爾伯特所說，就是接受數學是“一種按照某些簡單規則進行的游戲，在紙上做無意義的標記。”

簡而言之：代數不僅對脾氣暴躁的青少年來說很難。對于任何致力于理解符號含義的人來說，代數都是很難的。

2.

伊恩·哈金（Ian Hacking）與概率的出現

Twitter上有人開玩笑（這是個玩笑嗎？）說他們要求入門統計學的學生閱讀Ian Hacking（伊恩·哈金，1936 - 2023，哲學家，加拿大）的《概率的出現》（The Emergence of Probability）1 ?？紤]到學生發現閱讀教學大綱有多困難，這似乎是一項相當艱巨的任務。不過，我還是很好奇。

這本書奇怪地引人入勝。我了解到概率的出現是……

1. 突然的。它明顯發生在1650年至1670年之間。

2. 廣泛的。數十位思想家同時探討此同一主題。

3. 令人驚訝的晚。人們已經賭博了數千年。顯然，1660年并不是第一次有人想在賭博中獲勝。那么，為什么要等這么久才知道概率呢？

毫無疑問，概率的出現是因為在17世紀中期，某種東西“懸而未決”。卡爾達諾等先行者只是證明了這一點：他在一個世紀前就提出了概率的起源，但沒有人理解其中的道理。有什么比有人給他們發信息，而他們卻在多年后仍將其置于“未讀”狀態，更能證明人們還沒有準備好接受概率呢？

現在，我很容易曲解哈金的精妙論證，但簡而言之，他通過分析知識形式解決了這個謎團。到1600年，知識有兩種基本形式。

首先（對我們來說更容易辨認）的是確定的知識：我們毫無疑問知道的東西，因為它已經通過歐幾里得式的無可辯駁的論證被證明了。這不僅包括數學，還包括天文學、光學等。（今天，我們傾向于認為這一類別實際上是空洞的，因為我們認為經驗真理從根本上來說是偶然和不確定的。但那是因為我們用后驗概率的眼光來看問題。）

第二種（也是更奇怪的）知識是證詞或意見：我們知道某些東西是因為權威宣稱它是真的。

這就是“可能”一詞的由來。它的含義并不是我們所想的那樣。

當時，概率指的是我們對作證權威的尊重程度。它的意思類似于“值得認可”。一個“可能”的事實來自像李維（Livy，Titus Livius，公元前59年 - 公元17年，歷史學家，古羅馬）或波利比烏斯（Polybius，公元前200年 - 前118年，歷史學家，古希臘）這樣受人尊敬的人；一個“不可能”的事實來自某個不知名的抄寫員。哈金引用了這樣的話：“這個說法極有可能，但已知是錯誤的”——這在我們聽來似乎自相矛盾，但在當時卻是一個非常明智的說法。

無論如何，這種二分法明顯缺少了物證的概念。

云朵是暴風雨的證據。咳嗽是發燒的證據。雪地上的腳印是附近有兔子的證據。這些跡象并不完全是原因，因為它們不能保證結果，而只是以不同程度暗示結果。這些跡象被歸入第二類知識，被歸類為“自然的證詞”。根據哈金的說法（在這里他有點讓我困惑），這不是一個比喻：人們確實認為這些是證詞，是大自然的記錄。

概率就是從第二種知識中產生的。

我很快會寫更多有關此內容的文章。（這本書值得一篇長達5000字的ACX博客風格的評論。2）但有一點值得注意：我們對概率和統計的理解方式背負著巨大的負擔。就像數英里看不見的大氣層總是壓在我們頭上一樣，數英里被遺忘的信念和迷失的神學也壓在我們輕率的主張上，例如“正面的概率”或“贏得選舉的概率”是50%。

簡而言之：概率不只是對脾氣暴躁的青少年來說很難。這種數學不可避免地與你的整個世界觀糾纏在一起。

3.

安娜·斯法德（Anna Sfard）和“方式成為樣貌”（a How Becoming a What）的奇跡

博學多識的邁克爾·珀尚（Michael Pershan）博覽群書，幾年前就建議我讀一讀斯法德（Anna Sfard，1949 -，數學教育心理學家，以色列）的《論數學概念的二象對偶性》（On the Dual Nature of Mathematical Conceptions）。我真是個傻瓜，直到2024年才讀完。

她的論點簡要如下：我們首先將數學視為一個過程來學習。然后，在一次神秘而又近乎奇跡般的頓悟中，我們將這個過程重新解釋為一種結構，即它本身。

以學前數學為例：計數。向學齡前兒童展示5個物體，他們會數數：“一、二、三、四、五”。然后，添加另一個物體，并說：“現在有多少個？”

大多數孩子不會從五開始。他們會從頭開始：“一、二、三、四、五、六”。對他們來說，“五”只有在計數過程中才有意義。它本身還不是一個對象。還不是我們所說的數字。

要做算術運算（比如，將五加五），你需要獲取這個計數過程的結果，并開始將其視為一個對象本身，斯法德將此稱為物化（reification）。

這種學習循環不僅適用于計數。除法過程（4塊披薩分給7個人）產生了我們稱之為“分數”的對象（4/7，這是除法過程的結果，但本身也是一個對象）。

計算過程（加倍，然后加五）產生代數表達式（2x+5，這是計算過程的結果，但也是一個獨立的對象）并最終產生函數。

順便說一句，函數花了幾個世紀才確定下來。我教給16歲學生的定義是：函數是一組有序對（x,y），x在定義域中，y在值域中，每個x只出現在一個有序對中。這是物化理論的巴洛克式勝利，是布爾巴基和20世紀的產物。

這讓我們看到了斯法德的要點：物化既是一個教學過程，也是一個歷史過程。就像發育生物學家曾經說過的：個體發生重演了系統發生（ontogeny recapitulates phylogeny胚胎重演律）。

歷史上數學家的奮斗歷程預示著我們的學生將經歷這些。

4.

關于數學史的兩種矛盾思想

似乎每個人都覺得數學課缺少人性化元素。這些規則是怎么回事？誰想出了這些東西？我們為什么要做這些？在尋找意義時，人們通常會援引歷史。如果我們能解釋誰想出了這些東西，以及為什么，那么也許它就會給這個主題一個人類面孔，一個有意義的背景。

這就帶來

想法＃1：希望歷史能夠將數學從晦澀和抽象中拯救出來。

想法＃2：這實際上不起作用。

我是根據自己的經驗來講述的，就像查理·布朗是根據踢足球的經驗來講述的一樣。例如，在后來成為《唯一不變的是變化：瘋狂世界中的微積分智慧》（Change is the Only Constant）這本書的早期草稿中，我解說了很多微積分的歷史，認為這非常聰明且引人入勝。3

“嗯……”我的編輯貝基說。“這可真是一段不小的歷史啊。”

這是她說“為什么，本，為什么？！！”的禮貌方式。

對數學感到厭煩和疏遠的人可能會認為他們想要歷史。但歷史并沒有簡化問題。它使問題變得非常復雜。當你追溯祖先的世代時，你的家譜就會成倍增長。思想也是如此。血統不斷增加。過去也許可以解釋現在，但解釋過去卻很難。

當人們說他們想要“歷史”時，他們真正想要的是故事。他們想要的是軼事。這些軼事不一定是真實的，也不一定是歷史嚴謹的。天才神話很容易讓人接受，混亂的偶然事件則不然。

因此，歷史的價值并不在于學習者。

歷史的價值在于教師。

數學教育充滿了深刻、奇妙和充滿疑問的思想。它們誕生于數個世紀的喧囂，誕生于令人驚訝的合作和激烈的斗爭。我們的符號、我們的概念、我們的教學順序——總的來說，這些都不是不可避免的。回顧我們身后的道路，你會發現被擊敗的對手、失敗的競爭對手和被遺忘的替代方案。和當今世界上的其他一切一樣，我們稱之為“數學”的學科帶有產生它的幾千年的印記和傷痕。要知道它是什么——以及知道它在未來幾十年的發展方向——你需要對它的起源有豐富的了解。

歷史無法將數學從默默無聞中拯救出來。歷史無法說服學生接受“負負得正”的觀念。歷史無法將僵化、教條的思想者變成靈活、概率論的思想者。

但是如果老師既懂歷史，又懂數學，還了解學生的話，那么他們也許有機會。

譯者注

#1 The Emergence of Probability，Ian Hacking著

http://www.andreasaltelli.eu/file/repository/Jan_Hacking_Emergence_Probability.pdf

#2 書評博客Astral Codex Ten https://www.astralcodexten.com/about

#3 本文作者是Math with Bad Drawings（數學和爛插畫）博客主：本·奧爾林（Ben Orlin），已出版多部暢銷書籍《歡樂數學》，《瘋狂微積分》等，列舉如下：

參考資料

https://mathwithbaddrawings.com/2024/11/19/whats-the-use-of-math-history/

http://www.andreasaltelli.eu/file/repository/Jan_Hacking_Emergence_Probability.pdf

https://www.astralcodexten.com/about

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