幾何處于數(shù)學(xué)的核心，可以追溯到數(shù)學(xué)的最初起源，并一直延續(xù)到當(dāng)今的前沿研究。最近人們認(rèn)識(shí)到，某些類(lèi)型的幾何比其他類(lèi)型的幾何更特殊。

作者：Jason D. Lotay（牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授，SLMath訪問(wèn)教授，2024-12-20）

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2024-12-29

理解這一點(diǎn)的關(guān)鍵是分析（即使用微積分技術(shù)）在幾何中發(fā)揮的核心作用。更具體地說(shuō)，使用偏微分方程（例如描述熱量如何在房間內(nèi)消散的方程，不出所料，被稱(chēng)為熱方程）來(lái)制定許多重要的幾何問(wèn)題已被證明價(jià)值無(wú)限。這些偏微分方程通常是二階的：為更好地理解階的概念，舉個(gè)例子，加速度通常被視為物體運(yùn)動(dòng)的二階量，而速度是一階量。

卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）的纖維化，提供了特殊幾何結(jié)構(gòu)的重要例子

圖源：Vchalup|Adobe Stock

大多數(shù)特殊幾何問(wèn)題都具有這樣的性質(zhì)：它們涉及一階偏微分方程，而這蘊(yùn)含著更一般的二階偏微分方程。這既令人驚訝又很強(qiáng)大，它解鎖了新的工具和技術(shù)，產(chǎn)生了與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域（包括與本學(xué)期其他課程“曲率新前沿”的密切聯(lián)系）以及理論物理學(xué)的聯(lián)系，并提供了新穎的研究途徑。正是這些特殊的幾何結(jié)構(gòu)和相關(guān)的分析構(gòu)成了本學(xué)期“特殊幾何結(jié)構(gòu)和分析”課程的核心研究?jī)?nèi)容。該課程正在探索的一些關(guān)鍵問(wèn)題包括：

? 某些特殊幾何結(jié)構(gòu)是否存在？我們能確定它們何時(shí)存在嗎？

? 我們能理解這種結(jié)構(gòu)的家族嗎？我們能對(duì)它們進(jìn)行分類(lèi)嗎？

? 我們?nèi)绾伟l(fā)現(xiàn)它們？我們?nèi)绾慰朔噲D發(fā)現(xiàn)它們的已知方法中的分析（微積分）障礙？

? 它們的性質(zhì)是什么？我們能理解這些結(jié)構(gòu)的奇點(diǎn)（singularity，即非光滑部分）嗎？

? 各種類(lèi)型的特殊幾何結(jié)構(gòu)之間有什么關(guān)系？我們能利用這一點(diǎn)加深理解它們的幾何和分析嗎？

特殊和樂(lè)（special holonomy）

為了提供特殊幾何結(jié)構(gòu)及其相關(guān)分析的第一個(gè)具體示例，我們想考慮曲率。如果想說(shuō)某個(gè)平均曲率概念（稱(chēng)為Ricci curvature，里奇曲率）是常數(shù)，這相當(dāng)于黎曼度量的二階偏微分方程，這是允許我們?cè)诠饣矬w上定義曲率的對(duì)象。可以做到這一點(diǎn)的幾何體稱(chēng)為愛(ài)因斯坦流形，因?yàn)檫@個(gè)條件類(lèi)似于愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論中引力的真空?qǐng)龇匠蹋ㄎ覀円?guī)定的常數(shù)對(duì)應(yīng)于物理學(xué)中的宇宙常數(shù)）。愛(ài)因斯坦流形是數(shù)學(xué)和物理學(xué)中備受關(guān)注的迷人對(duì)象，但它們非常難找，而且非常神秘。該課程的一個(gè)特別令人感興趣的是（宇宙）常數(shù)為零的愛(ài)因斯坦流形：這些是里奇平坦流形。

正是在這里，特殊的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)入了故事。當(dāng)擁有黎曼度量時(shí)，我們可以觀察空間的切向量在繞環(huán)路（loop，閉圈）進(jìn)行平行傳輸時(shí)如何變換：這些變換形成一個(gè)群稱(chēng)為和樂(lè)群（holonomy group）。1950年代，Berger（貝爾熱）對(duì)可能的非平凡和樂(lè)群進(jìn)行了分類(lèi)，在這個(gè)列表中，有幾個(gè)特殊的和樂(lè)群導(dǎo)致里奇平坦度量：它們分為兩個(gè)無(wú)限族（卡拉比-丘、超凱勒hyperk?hler）以及兩個(gè)分別稱(chēng)為G?和Spin(7)的7維和8維的例外情況。根本之處在于，要找到一個(gè)具有特殊和樂(lè)群的流形，就等于求解一階偏微分方程，這蘊(yùn)含了二階里奇平坦條件。事實(shí)上，使用特殊和樂(lè)是我們知道的產(chǎn)生非平凡緊里奇平坦流形的唯一機(jī)制。

上面提到的Berger列表只告訴你特殊的和樂(lè)流形可以存在，而不是它們實(shí)際上會(huì)存在。它們的存在，特別是在緊的情況下，是一系列突破的結(jié)果，包括丘成桐對(duì)卡拉比猜想的解決（這導(dǎo)致他獲得了菲爾茲獎(jiǎng)）和喬伊斯（Joyce）構(gòu)造第一個(gè)緊的G?和Spin(7)流形（通過(guò)修改眾所周知的K3曲面的Kummer構(gòu)造，而那種構(gòu)造是卡拉比-丘和超凱勒流形最簡(jiǎn)單的非平凡例子）。

Kummer K3曲面——一個(gè)具有特殊和樂(lè)的流形的重要示例

圖源：Claudio Rocchini

該課程的一個(gè)關(guān)鍵方面是研究特殊和樂(lè)流形的幾何和分析，以及相關(guān)幾何學(xué)。特別令人感興趣的是這些空間的奇點(diǎn)：它們不光滑的地方。這種奇異的特殊和樂(lè)空間不僅具有數(shù)學(xué)意義，而且自然出現(xiàn)在弦理論和M理論的理論物理學(xué)背景下。

特殊和樂(lè)的另一個(gè)令人興奮的方面，也是該課程的主要興趣，是幾何流的使用。幾何流是上述熱方程的非線性類(lèi)似物：它們是幾何對(duì)象的演化方程，尋求找到最優(yōu)代表作為其最終目標(biāo)。這將有助于研究特殊和樂(lè)空間的存在問(wèn)題和分類(lèi)問(wèn)題。然而，幾何流并不總是以簡(jiǎn)單直接的方式工作：它們會(huì)遇到奇點(diǎn)。正如上文所述，這些奇點(diǎn)是流動(dòng)物體不再光滑的地方。在奇點(diǎn)處，尚不清楚如何繼續(xù)流動(dòng)。這些奇點(diǎn)，包括它們?nèi)绾涡纬伞⑺鼈兪鞘裁礃幼樱约袄^續(xù)經(jīng)過(guò)或繞過(guò)它們的方法，也構(gòu)成了幾何流研究的一個(gè)重要方面。在本課程的這一部分，令人感興趣的幾何流是凱勒-里奇流，以及復(fù)幾何中的其他相關(guān)流（例如，可以引出卡拉比-丘度量的流）和布萊恩特（Bryant）引入的G?-拉普拉斯流，它尋求具有特殊和樂(lè)G?的度量。

校準(zhǔn)幾何（calibrated geometry）

與特殊和樂(lè)理論緊密相關(guān)的是一種特殊類(lèi)型的子流形理論：研究存在于高維環(huán)境空間內(nèi)的低維對(duì)象。子流形的一個(gè)例子是赤道，這是位于二維地球表面上的一條線。這種特殊的子流形理論稱(chēng)為校準(zhǔn)幾何，產(chǎn)生出眾多子流形中其體積（或面積）極小的那一個(gè)子流形。關(guān)鍵的例子是肥皂膜，它極小化其表面積。同樣，校準(zhǔn)條件是一階偏微分方程，這蘊(yùn)含了二階條件是體積的臨界點(diǎn)（稱(chēng)為極小子流形）。

立方體中的肥皂膜形成一條奇點(diǎn)線。

圖源：Joseolgon

體積極小化意味著校準(zhǔn)子流形提供了最優(yōu)或典范代表的自然例子，這有望解決分類(lèi)問(wèn)題。此外，就像曲面上最短的曲線（即測(cè)地線geodesic）編碼了該曲面上的幾何的關(guān)鍵方面一樣，人們希望研究校準(zhǔn)子流形能夠發(fā)現(xiàn)周?chē)厥夂蜆?lè)空間的微妙新信息，例如不變量。大家還認(rèn)為校準(zhǔn)子流形有助于解釋卡拉比-丘流形的鏡像對(duì)稱(chēng)性這一神秘現(xiàn)象，該現(xiàn)象首先出現(xiàn)在理論物理學(xué)中，通過(guò)研究校準(zhǔn)纖維化，其中纖維被稱(chēng)為特殊拉格朗日子流形。校準(zhǔn)纖維化在其他特殊和樂(lè)流形中也發(fā)揮著關(guān)鍵作用，例如G?和Spin(7)流形，其中校準(zhǔn)子流形在G?情況下稱(chēng)為結(jié)合的（associative）和余結(jié)合的（coassociative），在Spin(7)情況下稱(chēng)為凱萊Cayley的。

瞬子沿直線冒泡，產(chǎn)生一個(gè)奇異瞬子。

圖源：Daniel Platt

對(duì)校準(zhǔn)幾何研究的一個(gè)基本問(wèn)題是奇點(diǎn)的存在性。正如肥皂膜中看到的那樣，這些奇點(diǎn)自然發(fā)生，也不一定只是孤立的點(diǎn)。對(duì)這種幾何現(xiàn)象的分析具有挑戰(zhàn)性，無(wú)論是在這個(gè)特定主題中還是在特殊幾何結(jié)構(gòu)中，這個(gè)問(wèn)題是本學(xué)期課程研究的核心部分。

在復(fù)幾何領(lǐng)域之外尋找校準(zhǔn)子流形非常困難。一般來(lái)說(shuō)，沒(méi)有明確的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。然而，對(duì)于卡拉比-丘流形中的特殊拉格朗日子流形，還有其他技術(shù)。這些包括一種稱(chēng)為拉格朗日平均曲率流的幾何流。和以前一樣，奇點(diǎn)具有根本性的重要性，但現(xiàn)在，托馬斯-丘Thomas-Yau和喬伊斯Joyce的啟發(fā)性猜想提供了額外的見(jiàn)解，這些猜想表明了這些奇點(diǎn)與穩(wěn)定性條件之間的關(guān)系，包括Fukaya（深谷賢治）深谷范疇上所謂的Bridgeland穩(wěn)定性條件。這產(chǎn)生了微分幾何、幾何分析和辛拓?fù)渲g的迷人聯(lián)系。

規(guī)范理論（gauge theory）

我們最后討論的特殊幾何結(jié)構(gòu)形成了特殊和樂(lè)背景下的另一類(lèi)重要對(duì)象：所謂的瞬子（instanton）。瞬子是規(guī)范場(chǎng)論數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一部分，它起源于物理學(xué)，特別是電磁學(xué)（包括麥克斯韋方程和磁單極子）和粒子物理學(xué)（如楊-米爾斯理論）。瞬子，就像校準(zhǔn)子流形一樣，是楊-米爾斯能量的極小化。同樣，它們由一階偏微分方程定義，這蘊(yùn)含了二階條件是楊-米爾斯連接（楊-米爾斯能量的臨界點(diǎn)）。

受Donaldson唐納森在光滑4-流形上瞬子的開(kāi)創(chuàng)性工作的成功啟發(fā)，他因此獲得了菲爾茲獎(jiǎng)，唐納森-托馬斯提出了更高維度的規(guī)范理論，人們希望能夠使用瞬子來(lái)揭示有關(guān)特殊和樂(lè)空間的新信息，例如通過(guò)不變量的潛在構(gòu)造。這似乎與我們上面關(guān)于校準(zhǔn)子流形的討論有關(guān)：這并非巧合。事實(shí)上，瞬子和校準(zhǔn)子流形之間的聯(lián)系更進(jìn)一步，它們之間產(chǎn)生了一種對(duì)偶形式，這是本學(xué)期課程的研究領(lǐng)域之一。這種對(duì)偶性通過(guò)所謂的冒泡產(chǎn)生，其中瞬子族沿著校準(zhǔn)的子流形聚集，在冒泡過(guò)程結(jié)束時(shí)產(chǎn)生具有奇點(diǎn)的瞬子。這些奇點(diǎn)對(duì)我們進(jìn)一步理解更高維度的規(guī)范理論構(gòu)成了重大障礙，而且奇點(diǎn)不是孤立的，而是可以成族地出現(xiàn)，這一事實(shí)導(dǎo)致了復(fù)雜的分析和豐富的幾何。

總結(jié)

幾何學(xué)和特殊幾何結(jié)構(gòu)分析有許多關(guān)鍵方面，它們?cè)谠撜n程各個(gè)主題中反復(fù)出現(xiàn)。這些主題以及各種特殊幾何結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系將在SLMath的整個(gè)秋季學(xué)期進(jìn)行研究。這無(wú)疑將為該領(lǐng)域的關(guān)鍵問(wèn)題帶來(lái)新的見(jiàn)解，并在未來(lái)實(shí)現(xiàn)該學(xué)科的突破。

參考資料

https://www.slmath.org/newsletter-fall-2024

https://mailchi.mp/slmath/slmath-news-fall-2024

https://people.maths.ox.ac.uk/lotay/

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