想象一下：一個球滾向一座小山會發生什么？按照經典物理學，如果球的動能不足以越過山丘，它就會停在山前。

然而，在量子世界中，有時我們會發現這個球神奇地"穿越"到了山的另一邊。這種現象就是量子隧道效應。

本文將詳細介紹如何使用Python建立量子隧道效應的數值模型。記錄這個過程不僅能幫助讀者理解，也便于日后在量子力學教學中查閱和復現。

首先，我們需要處理描述粒子行為的一維薛定諤方程。通過數學推導，我們可以將波函數Ψ分解為位置函數ψ(x)和時間函數f(t)的乘積。

經過適當的數學變換，并假設勢能V僅與位置x有關，我們可以得到一個重要的結論：方程兩邊必須等于一個常數，這個常數就是粒子的能量E。

為了簡化討論（使我們能夠專注于Python實現），我們可以得到以下與時間和空間相關的方程：

為了求解這個微分方程，我們采用有限差分法。這種方法將連續的波函數離散化為有限個點：

需要注意的是，由于邊界條件的限制，ψ-0和ψ-6的值必須為零。這個邊界條件對于我們的數值方法來說至關重要。

通過有限差分法，我們可以將二階導數表示為：

接下來使用Python代碼實現

首先導入必要的Python庫：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt

接下來設置基本參數：

# 基本常數和參數設置m = 1 # 質量hbar = 1 # 約化普朗克常數N = 1000 # 空間點數xmin = -6.5 # 左邊界xmax = 6.5 # 右邊界x = np.linspace(xmin, xmax, N+1)dx = x[1]-x[0] # 空間步長Ep = 5 # 脈沖能量p = 40 # 動量k0 = np.sqrt(2*Ep)sig = 0.15 # 高斯包寬度x0 = 2 # 初始位置

通過運行上述代碼，我們可以觀察到波包是如何與勢壘相互作用的。在不同的勢壘高度下，我們會看到不同的量子隧穿現象。建議讀者可以通過調整參數來觀察不同條件下的結果。

這個模型雖然簡單，但很好地展示了量子力學中的基本概念。通過調整勢壘的高度和形狀，讀者可以深入理解量子隧穿效應的特性。