一項新的證明標志了在解決掛谷猜想方面取得了重大進展，掛谷猜想是一個看似簡單的問題，但卻是一系列猜想的基礎。

作者：Jordana Cepelewicz（量子雜志數(shù)學編輯）2023-7-11

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-1-29

1917年，日本數(shù)學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了一個乍看只不過是個有趣的幾何練習的問題。將一根無限細、一寸長的針放在平坦的表面上，然后旋轉它，使其指向各個方向。針可以掃過的最小面積是多少？

如果你簡單地圍繞它的中心旋轉它，你就會得到一個圓。但可以用創(chuàng)造性的方式來改變方向，這樣你劃出的地方就可以更小。此后，數(shù)學家提出了這個問題的一個相關版本，稱為掛谷猜想（Kakeya conjecture）。

在嘗試解決這個問題的過程中，他們發(fā)現(xiàn)了該猜想與調和分析 https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/ 、數(shù)論甚至物理學的驚人聯(lián)系。

“不知何故，這種指向許多不同方向的線條的幾何形狀在很大比例的數(shù)學領域中無處不在。”愛丁堡大學的喬納森·希克曼（Jonathan Hickman）說。

但這也是數(shù)學家們仍未完全理解的東西。在過去的幾年里，他們在更簡單的設置中證明了掛谷猜想的變體 https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/ ，但在正常的三維空間中這個問題仍然沒有得到解決。盡管后來有許多數(shù)學成果，但一段時間以來，該版本的猜想似乎所有進展都停滯了。

現(xiàn)在，可以說，兩位數(shù)學家已經取得了重大進展。他們的新證明 https://arxiv.org/abs/2210.09581 消除了幾十年來一直存在的一個主要障礙——重新燃起了最終出現(xiàn)可能解的希望。

最小的樣子？

掛谷對平面中每個方向都包含長度為1的線段的集合感興趣。這樣的集合有很多例子，最簡單的是直徑為1的圓盤。掛谷想知道最小的這種集合會是什么樣子。

他提出了一個邊稍微凹陷的三角形，稱為三角旋輪線（deltoid，又稱tricuspoid三尖瓣線，Steiner曲線），它的面積是圓盤的一半。然而事實證明，還可以做得更好。

右側的三角旋輪線是圓盤大小的一半，并且兩根針都在各個方向旋轉

圖源：Merrill Sherman|Quanta

1919年，就在掛谷提出問題幾年后，俄羅斯數(shù)學家艾布拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch，1891 - 1970）證明，如果你以一種非常特殊的方式排列你的針，可以構造一個看起來有刺的集合，它的面積是任意小的。（由于第一次世界大戰(zhàn)和俄國革命，他的成果在很多年內都沒有傳到數(shù)學界的其他地方。）

要了解其工作原理，請取一個三角形并沿著底部將其分成更薄的三角形。然后滑動這些薄片，使它們盡可能重疊，但突出的方向略有不同。

通過一遍又一遍地重復這個過程——將你的三角形細分成越來越薄的薄片，并小心地在空間中重新排列它們——可以使你的集合盡可能地小。

在無限的極限中，你可以獲得一個在數(shù)學上沒有面積的集合，但矛盾的是，它仍然可以容納任何指向的針。

“這有點令人驚訝和違反直覺，”加州大學伯克利分校的張瑞祥說。“這是一個非常病態(tài)的集合。”

該結果可以推廣到更高的維度：可以構建一個任意小的體積的集合，該集合包含指向n維空間中各個方向的單位線段。

日本數(shù)學家Sōichi Kakeya（掛谷宗一）問，指向所有可能的方向時，針頭可以掃過多大的面積

圖源：東京大學數(shù)學科學研究生院

貝西科維奇似乎已經完全解決了掛谷的問題。但是幾十年后，數(shù)學家開始處理另一個版本的問題，在該問題中，他們以不同的大小概念替換了面積（或在高維情況下的體積）。

要了解這個問題的重新構造，請首先將每條線段放入掛谷集合，然后將其稍微變厚一點 —— 就好像你在使用實際的針，而不是理想化的針頭一樣。在平面上，你的集合將由極其薄的矩形組成。在三維空間中，你將得到極其薄的管狀集合。

這些稍稍厚一點的集合始終具有一定的面積（或體積，但我們仍討論二維情況）。當你更改針的寬度時，該面積將會改變。在1970年代，數(shù)學家羅伊·戴維斯（Roy Davies，1927 - 2023，上個月去世）證明，如果總面積發(fā)生少量變化，則針的寬度必須大幅變化。

例如，如果你希望貝西科維奇集合的厚版本的面積為1/10平方英寸，則針的厚度都必須大約為0.000045英寸，精確地講是e?1?英寸。但是，如果你想使總面積變成1/100平方英寸（小10倍），則針必須為e?1??英寸厚（小數(shù)點之后在到達其他數(shù)字之前有43個零）。

普林斯頓大學的查爾斯·費弗曼（Charles Fefferman）說：“如果你告訴我你想要的面積有多小，那么我就必須要求得到一根細得令人難以置信的針。”

數(shù)學家使用稱為閔可夫斯基（Minkowski）維數(shù)的量來測量掛谷集的“大小”，該量與普通維數(shù)（定義為描述一個空間所需的獨立方向的數(shù)量）相關，但并不完全相同。

這種形狀，如果發(fā)展到極端，其面積可以是零，但其內部的針頭卻可以指向各個方向

圖源：Merrill Sherman|Quanta

以下是考慮Minkowski維數(shù)的一種方法：將你的集合用微小的球蓋住它，每個球的直徑是你偏好的單位的一百萬分之一。如果你的集合是一個長度為1的線段，則你至少需要100萬個球才能覆蓋它。

如果你的集合是面積為1的正方形，你將需要更多球的個數(shù)：100萬的平方即1萬億（trillion）。對于覆蓋體積為1的球體，這時所需小球的個數(shù)約為100萬的立方（百億億個，quintillion），依此類推。

Minkowski維數(shù)是該指數(shù)的值。隨著每個球的直徑變小，它度量著你需要用來覆蓋你的集合的球數(shù)增長速率。線段是1維，正方形是2維，立方體是3維。

這些維度很熟悉。但是使用Minkowski的定義，可以構造一個譬如2.7維的集合。盡管這樣的集合并不能填滿三維空間，但在某種意義上，它比二維表面“更大”。

當你用給定直徑的球覆蓋一個集合時，你將逼近該集合厚版本的體積。針的大小和集合的體積減小得越慢，覆蓋所需的球數(shù)就越多。

因此，你可以重寫Davies的結果（斷言平面上的掛谷集面積是緩慢減小的），從而證明該集合必須具有Minkowski維數(shù)2。掛谷猜想將此結論推廣到更高的維度：掛谷集必須始終具有與所居住空間相同的維數(shù)。

這個簡單的命題卻出人意料地難以證明。

猜想之塔

直到費弗曼在1971年進行了驚人的發(fā)現(xiàn) https://www.jstor.org/stable/1970864?origin=JSTOR-pdf ，掛谷猜想被視為一個罕見奇聞。

當時他正在研究一個完全不同的問題。他想了解傅里葉變換（Fourier transform），這是一種強大的工具，可以讓數(shù)學家通過將函數(shù)寫成正弦波之和來研究函數(shù)。

想象一個音符，它由許多重疊的頻率組成。（這就是鋼琴上的中音C聽起來與小提琴上的中音C不同的原因。）傅里葉變換允許數(shù)學家計算特定音符的組成頻率。同樣的原理也適用于像人類語音這樣復雜的聲音。

數(shù)學家還想知道，如果只給出無限多個組成頻率中的一些頻率，他們是否可以重建原始函數(shù)。他們非常了解如何在一維上做到。

但在更高的維度中，他們可以對使用哪些頻率和忽略哪些頻率做出不同的選擇。令其同事驚訝的是，費弗曼證明，當依賴一種特別眾所周知的選擇頻率的方式時，你可能無法重建你的函數(shù)。

他的證明取決于通過修改貝西科維奇的掛谷集構造一個函數(shù)。這后來激發(fā)了數(shù)學家對傅立葉變換高維行為的一層層猜想。

如今，該層次結構甚至包括有關物理學中重要偏微分方程（例如薛定諤方程）行為的猜想。層次結構中的每一個猜想都會自動蘊含其下面的猜想。

掛谷猜想就位于這座塔的底部。如果它為假，則層次結構中較高的命題也為假。另一方面，證明它是正確的并不會立即蘊含位于它上層的猜想為真，但可能提供了攻克它們的工具和洞察。

“掛谷猜想的驚人之處在于，這不僅是一個有趣的問題；它是一個真正的理論瓶頸，”希克曼說。“我們不了解偏微分方程和傅立葉分析中的很多這些現(xiàn)象，因為我們不了解這些掛谷集。”

孵化計劃

費弗曼的證明，以及隨后發(fā)現(xiàn)與數(shù)論、組合和其他領域的聯(lián)系，恢復了頂級數(shù)學家們對掛谷問題的興趣。

1995年，Thomas Wolff（托馬斯·沃爾夫，1954 - 2000）證明了3維空間中掛谷集的Minkowski維數(shù)必須至少為2.5。事實證明，這個下限很難提高。

然后，在1999年，數(shù)學家Nets Katz（內茨·卡茨，1972 -）、Izabella ?aba（伊莎貝拉·拉巴，1966 -）和Terence Tao（陶哲軒，1975 -）成功攻克了它。

他們的新下界是：2.500000001。盡管改進很小，但它克服了巨大的理論障礙。他們的論文發(fā)表在該領域最負盛名的期刊《數(shù)學年鑒》Annals of Mathematics上。 https://www.jstor.org/stable/2661389

卡茨和陶哲軒后來希望應用該工作中的一些想法，以不同的方式攻克3維掛谷猜想。他們假設任何反例必須具有三個特別的性質，并且這些特性的共存必然導致矛盾。如果他們能證明這一點，那意味著掛谷猜想在3維上是正確的。

他們沒有一路前進，但確實取得了一些進步。特別是，他們（與其他數(shù)學家一起）證明，任何反例必須具有三個性質中的兩個。即反例必須是“平坦的”（plany），這意味著每當線段在某一點相交時，這些線段也幾乎位于同一平面。反例也必須是“顆粒狀的”（grainy），即要求交點附近的平面具有類似的朝向。

這就剩下第三個性質了。在“粘性”（sticky）集合中，指向幾乎相同方向的線段也必須在空間中彼此靠近。卡茨和陶哲軒無法證明所有反例都必須具有粘性。但直觀上，粘性集似乎是強制線段之間大量重疊的最佳方式，從而使集合盡可能小——這正是創(chuàng)建反例所需的。

如果有人能夠證明粘性掛谷集的閔可夫斯基維數(shù)小于3，那么就會反駁3維掛谷猜想。“聽起來‘粘性’是最令人擔憂的情況，”麻省理工學院的拉里·古斯（Larry Guth，1977 -）說。

這一點不再需要擔心。

粘性點

2014年，也就是卡茨和陶哲軒試圖證明掛谷猜想十多年后，陶哲軒在他的博客上發(fā)布了他們的方法概要 https://terrytao.wordpress.com/2014/05/07/stickiness-graininess-planiness-and-a-sum-product-approach-to-the-kakeya-problem/ ，讓其他數(shù)學家有機會親自嘗試。

2021年，紐約大學數(shù)學家王虹和不列顛哥倫比亞大學的約書亞·扎爾（Joshua Zahl）決定繼續(xù)陶哲軒和卡茨未完成的工作。

約書亞·扎爾 (Joshua Zahl) 和同事王虹使用一種名為“粘性”的數(shù)學特性來證明聽起來自相矛盾的集合不可能存在

圖源：Paul Joseph

他們首先假設存在一個閔可夫斯基維數(shù)小于3的粘性反例。他們從之前的工作中知道，這樣的反例必須是平坦的且顆粒狀的。“所以我們正處在陶哲軒和內茨·卡茨所考慮的那種世界中，”扎爾說。現(xiàn)在他們需要證明平坦、顆粒狀和粘性特性相互抵消并導致矛盾，這意味著這個反例實際上不可能存在。

然而，為了解決這個矛盾，王虹和扎爾將注意力轉向了卡茨和陶哲軒沒有預料到的方向——一個被稱為投影理論（projection theory）的領域。

他們從更詳細地分析其粘性反例的結構開始。如果你考慮該集合的理想化版本，則它具有指向各個方向的無限線段。但是，在這個問題中，請記住，你正在處理這些線段的厚版本 —— 一堆針。

這些針中的每一個都可以包含許多理想化的線段，這意味著你可以用有限數(shù)量的針編碼整個無限集。根據(jù)針頭的厚度，厚的集合看起來可能會大不相同。

如果這個集合是粘性的，無論針頭多么厚，它看起來都會或多或少地相同。

王虹和扎爾使用此性質證明，隨著針頭變得越來越薄，集合變得越來越平坦。扎爾說，通過這個過程，他們可以“提取一個更具病理性的對象”，而具有不可能的性質。

這就是他們接下來證明的。他們證明，這個病態(tài)的對象必須以兩種方式看待，這兩種方式都會導致矛盾。

要么你能夠將它投影到二維空間中，使其在許多方向上變得更小——王虹和她的同事剛剛證明這是不可能的 https://arxiv.org/abs/2209.00348 。

要么第二種情況：集合中的針將根據(jù)一種非常特定的函數(shù)進行組織，扎爾和他的合作者最近證明這種函數(shù)不存在 https://arxiv.org/abs/2207.02259 ，因為這會導致其他類型的投影沒有意義。

王虹和扎爾現(xiàn)在有矛盾 —— 這意味著掛谷猜想沒有粘性反例。（他們不僅對Minkowski閔可夫斯基維度證明了這一點，而且還對一個相關的所謂Hausdorff豪斯多夫維度作了證明。）“結果排除了所有類別的反例——即數(shù)學家認為最有可能反駁猜想的完整集合不存在，”扎爾說。

不列顛哥倫比亞大學的Pablo Shmerkin說，這項新工作“強烈支持了掛谷猜想是真的”。盡管它僅適用于三維情況，但其某些技術可能在更高的維度中有用。在花費數(shù)年的時間在其他數(shù)字系統(tǒng)中取得了進展后，數(shù)學家對這個問題的原始實數(shù)域版本感到興奮。

“他們徹底解決了這種情況，真是太了不起了，”張瑞祥說。“在實數(shù)設置中，這種情況極其罕見。”如果有人能證明反例一定是粘性的，那么新的結果將蘊含3維的完整猜想成立。立于其上的猜想層次結構將保持安全，基礎穩(wěn)定。

“不知何故，投影理論中的這兩個不同的問題，從表面上看彼此沒有太大關系，但卻很好地結合在一起，準確地給出了掛谷問題所需要的東西，”扎爾說。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

小樂數(shù)學科普：掛谷猜想專題系列——針尖上的猜想之塔——譯自Quanta Magazine量子雜志

小樂數(shù)學科普：掛谷猜想專題系列——怎樣移動針頭的簡單數(shù)學——譯自Quanta Magazine量子雜志

https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/

https://arxiv.org/abs/2210.09581

https://www.jstor.org/stable/1970864?origin=JSTOR-pdf

https://www.jstor.org/stable/2661389

https://terrytao.wordpress.com/2014/05/07/stickiness-graininess-planiness-and-a-sum-product-approach-to-the-kakeya-problem/

https://arxiv.org/abs/2209.00348

https://arxiv.org/abs/2207.02259

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