（警告！一大波代數正在來襲）

在一個風和日麗的下午，小美和小強發現自己陷入了一場復雜的案件中。

他們被分別關在兩個房間里接受審問，無法互相溝通。

調查員為了顯得寬容，告訴他們，如果他們在被問及的問題中有超過75%的答案能夠相互印證，他們就可以獲得自由。

他們有兩個不在場證明的證人，阿明和小麗。

小美和小強知道，他們將被問及兩個問題之一：“你和阿明在一起嗎？”或者“你和小麗在一起嗎？”他們從機智的線人小燕那里得知，調查員試圖設下圈套。

小燕告訴他們，要想讓他們的故事相互印證，如果被問及阿明，他們的回答必須完全相同，但如果被問及小麗，他們的回答必須不同。

于是，小美和小強開始絞盡腦汁，制定一種策略，以保證他們的答案正確關聯。

小美靈機一動，指出四種可能的問題情景：

阿明-阿明，阿明-小麗，小麗-阿明，或小麗-小麗。

她用AA、AL、LA和LL來表示這些情景，并且解釋說，他們對任何問題的回答可以是四種組合：是-是，是-否，否-是，或否-否。

總共有十六種可能的調查結果，小美為此精心制作了一張表格給小強看：

小強仔細研究了表格，迅速用0和1標記了它，并告訴小美這是他們應該使用的簡單策略——她應該總是回答“是”，而他也會這樣做，除非他們都被問到關于小麗的問題。

小美提醒小強，他們無法知道對方被問了什么問題，因此如果使用固定策略，表格中的每一列都必須相同。

小強靈光一閃，建議使用隨機策略可能更有效。每列列出可能答案的概率，這樣列就不需要完全相同。

“不過有一些限制條件，”小美說，“要解決這個問題，我們需要用到一些數學。”

小美解釋說，她對每個問題的回答揭示了一個信息位。這可以表示為一個向量：

其中p是她回答“是”的概率，而1?p是她回答“否”的概率：

類似地，小強的回答也可以用一個向量表示，這個向量可能有不同的概率。我們需要“乘以”這些向量以獲得他們可能給出的答案的四種概率。由于這不是通常的數字乘法，我們使用一個新的符號?。四維向量是：

有趣的是，有些向量，比如這個：

是無法寫成任何p和q的組合：

這些向量代表了小美和小強的比特之間的關聯。上面的向量意味著小美和小強總是給出相同的答案，但具體是什么答案是隨機的。換句話說，他們要么都說“是”，要么都說“否”。

小強建議他們在聽到被問到什么問題時，再獨立改變他們的比特。

改變比特相當于通過矩陣乘以向量以獲得新向量。小強的想法是，如果被問到他們是否和小麗在一起，以某種概率r翻轉比特（改變答案）。他們將使用巧妙的數學來確定哪個r值能給他們帶來最大的成功概率。

改變向量的矩陣看起來像這樣：

如果r = 0，那意味著“什么都不做”，矩陣是：

通常稱為單位矩陣。

如果小美和小強從如上所述的關聯比特開始，并在被問到關于小麗的問題時改變他們自己的比特，那么可以改變該向量的矩陣有四個。如果你想看到所有4×4矩陣：

你可以手動計算它們，但小強足夠聰明，他讓計算機為他做這件事。

關鍵是確定每個問題的概率。為此，矩陣需要與原始關聯向量相乘。讓計算機進行代數運算后，我們可以將它們放回表格中，如下所示：

小美向小強展示了計算出的矩陣，并提醒他這代表了他們關聯策略的結果概率。

成功概率可以通過將前三列的頂部和底部概率與最后一列的中間兩個概率相加，然后將該數除以四來計算。

這個計算要簡單得多。小強確定成功概率是：

但小強的心立刻沉了下去。他看到r2是一個正數。因此，任何r值都會降低成功概率，其最大值為0.75。

他建議也許可以用不同的關聯開始，或者不同的隨機比特變化可能有效，但小美迅速制止了他。她早就知道，任何使用關聯比特的策略，其成功概率的最大值都是0.75。但她還有一個妙招。

### 量子糾纏

小美向小強建議一種不同的信息表示方式。用量子比特（qubits）代替傳統比特。每個量子比特用一個向量表示：

比特和量子比特的區別在于，不再是條目的總和等于1，而是條目的平方和必須等于1。

小美指出，a甚至不需要是正數，因為a2代表她回答“是”的概率，而1?a2代表她回答“否”的概率。

量子比特的其他方面與比特大致相同。例如，上述關聯比特向量沒有平方和為1的條目，但這個有：

就像關聯比特一樣，這個向量不能寫成任何a或b的形式：

我們可以稱之為量子比特關聯，但一個更酷的名字是糾纏！

小美建議他們用這個向量來關聯他們的量子比特：

小強問為什么，小美告訴他，不必特定用這個，但這樣做之后會更簡單。她說他們可以從不同的向量開始，但之后的操作會更復雜。關鍵是這個向量是糾纏的。

就像小強之前建議的那樣，如果被問到關于小麗的問題，他們都會改變自己的量子比特。一個簡單的矩陣可以確保條目平方和保持不變，這個矩陣是這樣的，對于任何數字y：

如果y = 0，那么矩陣又是單位矩陣，不改變向量。

小美和小強從如上所述的關聯量子比特開始，并在被問到關于小麗的問題時改變他們自己的量子比特。小美計算了她策略的概率表：

小強覺得這看起來很復雜！但計算最大成功概率只需要一點微積分：

小美微笑著，因為這個數字比使用關聯比特的成功概率0.75大，這意味著他們將獲得自由。

不得不說，上面真是個精彩的故事。

這有什么重要意義？

上述故事展示了經典和量子關聯之間的區別。

換句話說，量子關聯無法通過預先確定的策略復制。

在物理學的背景下，這種預先確定的策略將被寫入“局部現實”，就好像物體攜帶著可以固定的性質，不能通過遠程影響進一步改變（如光速限制所規定）。

這種效應被稱為非局域性。它是一種否定定義的術語，意味著：你找不到一種局部現實模型來解釋量子關聯。

當然，你可以保持局部性并成為反現實主義者，否認客觀現實的存在。

沒有共識，所以這完全取決于你！

重要的是，量子關聯必須用于理解某些現象，并可以用于解決僅靠經典關聯無法解決的任務。