黑爾戈蘭島（Helgoland）西海岸的紅色水成巖懸崖；圖源：維基百科

導讀：

花粉過敏至今讓人苦惱，尤其是當你躲無可躲的時候。 好在， 1925年的夏天， 23歲的維爾納·海森堡可以跟老板請假，逃到北海的黑爾戈蘭島。

在那個光禿禿的地方，他的花粉癥消失了，大腦清醒了起來，然后，“事情發生了”。

“我有一種感覺，透過與原子有關的各種現象的表面，我看到內部有種異乎尋常的美。我一想到現在必須一一探究這些豐富的數學結構，就感到快要暈倒了……我興奮得無法入睡”。

自此，關于量子力學的誕生，多了一個傳說。

程鶚|撰文

回到哥廷根后，海森堡卻患上嚴重的季節性花粉過敏。他的整個腦袋紅腫得不成樣子，眼睛也睜不開。于是他不得不向玻恩請兩個星期假，自己帶上幾本書和一大沓演算紙乘火車到德國的最北端，然后搭船去北海中的一座小島。

那是一個面積不過2.6平方千米的荒島，上面只有幾間簡陋營房供前來度假的人使用。對海森堡來說，這個島的優勢正在于它的光禿禿：沒有植被，也就沒有花粉。

在海風的吹拂下，他的癥狀逐漸消退，腦袋開始清醒。他整天在島上徒步攀爬，閱讀、背誦約翰·馮·歌德(Johann von Goethe)的經典詩篇，間或也思考他的物理。

德國物理學家海森堡(1901年12月5日-1976年2月1日)。圖源:維基百科

從牛頓開始，物理學家對物體運動的描述集中于位置和速度。只要知道物體在某一時刻的位置和速度，牛頓定律就可以通過其受力環境準確地計算它在將來任何時刻的位置和速度。玻爾的原子模型也是一樣：電子在某一時刻會出現在特定軌道上的某一位置，有著某個特定的速度。

然而，與牛頓所熟悉的物體不同，從來沒有人真正看到過電子，甚至原子。泡利的教父馬赫曾經因此斷然否決原子的存在，因為這個存在無法證實。如果原子的存在尚且存疑，何況其內部的電子軌道？

泡利在那篇被愛因斯坦贊為“對科學思維心領神會”的相對論綜述中曾為相對論的思想起源賦予邏輯實證的闡述。他以比愛因斯坦更為熟稔的筆觸回顧愛因斯坦如何通過一系列假想實驗論證牛頓絕對空間、絕對時間之不可能存在，引力與加速的無法區分，從而建立嶄新的相對論時空觀。泡利在文中總結道：“在物理上，對實驗中無法觀測的物理量的討論是毫無意義的……那些只會是假想概念，沒有物理意義。”

從小對哲學深感興趣的海森堡對師兄的邏輯實證描述并不陌生。在這個小島上，他突然醒悟。電子的軌道以及位置和速度其實都是“實驗中無法觀測的物理量”。對于原子來說，實驗中可以觀測的物理量只有光譜：那一條條光譜線的頻率和強度。除此之外，一切有關原子的描述都只是“假想概念”。

于是，他意識到必須整個地顛倒玻爾的原子模型：不能從假想的電子軌道出發計算光譜線，而應該通過光譜的物理變量來推算電子的運動。其實，克萊默已經無意識地走上了這條路。在他們針對高能量狀態的計算中，電子“軌道”經過傅里葉變換分解為不同頻率的成分，那正是用光譜變量描述電子的位置和速度。其結果是電子的位置和速度分別是兩個數學多項式：各個頻率成分的疊加。

在具備量子特性的低能量狀態中，電子的軌道運動本身不再對應于輻射的頻率。因此同樣的做法無法適用。海森堡明白了那只是他們拘泥于軌道這個假想概念的結果。如果電子的軌道并不存在，電子的運動依然可以通過光譜變量推算。在低能量狀態中，電子既不會像玻爾想象的在固定的軌道上運轉，也不會在兩個軌道之間“躍遷”。電子只是按照所有可能存在的譜線變量所決定的模式運動。

為了找出所有可能輻射頻率的組合，海森堡發現他不再能用傅里葉變換后出現的簡單多項式，而必須相應地制作一個表格。那是一種生活中很常見的表格。地圖上經常會有大城市之間的距離表；在體育新聞中，循環賽各隊之間比賽的比分也常常以這樣的表格來展示。表格中的行和列分別是城市或球隊，表中則列出它們之間的距離、比分等各種數值（表17.1）。

表17.1 京滬高鐵主要站點距離列表示意。海森堡的表格類似于這樣的城市距離表。不同的是每一個“城市”是原子的一個能級，城市之間的距離就是能級之間的能量差，也就是輻射的頻率。這個列表非常大，因為電子的能級可以有無窮多個。他同時也可以另外做一個同樣的列表，其中的數值不再是輻射的頻率而是強度，也就是愛因斯坦輻射理論中的那個吸收或發射的可能性。

然后，海森堡仿照傅里葉變換中的多項式以這些列表構造出電子位置、速度的表達方式，以及相應的物理規律。這時他需要用這些列表進行代數運算，于是他又不得不摸索出一套如何將兩個表相加、相乘的法則。他費了好一番功夫才理清這些頭緒，發現這個新體系居然既有著邏輯上的自圓其說，也符合著物理的能量守恒。

這時已經是凌晨三點。他無法入睡，干脆跑到海邊，在黑暗中攀登上一塊高高的、延伸到海面上的巨石，坐著等待日出。他并不明白自己剛剛發現了什么，但他知道“事情已經發生了”

十來天后，不再昏頭漲腦的海森堡終于離島。他在回程中特意先去漢堡征求師兄的意見。泡利聽了他一番語無倫次的描述，罕見地未能當機立斷指出其中謬誤，只催促他趕緊寫出論文發表。這給了海森堡莫大的信心。

又費了一番功夫，海森堡寫出論文初稿。雖然他對玻爾無比尊敬，但他沒敢提前向玻爾透露這一進展。在哥本哈根與克萊默合作的那幾個月里，他已經領教過玻爾對論文大刀闊斧、反復無常的修改套路。為避免那樣的命運，海森堡就近將論文交給玻恩。然后，他自己啟程前往英國劍橋履行早就計劃好的學術訪問，順便又與童子軍小伙伴們相聚，在英吉利海峽沿岸遠足。

維爾納·海森堡(1901-1976)在1933年。圖源:維基百科

玻恩果然沒有猶豫，把論文轉交給《物理學雜志》發表。但他放心不下海森堡自己父母的那個列表及其運算法則。熟諳數學的玻恩總覺得那一套似曾相識。直到7月中旬去參加德國物理學會的年會時，玻恩才恍然大悟。那就是多年前還在學數學時見到過的“矩陣”(matrix)。

海森堡式的列表在古代就有過雛形。半個世紀前，劍橋的著名數學家亞瑟·凱利(Arthur Cayley)為其賦予嚴格數學定義，稱之為矩陣并發展了相應的代數。海森堡自己琢磨出來的那些運算規則正是凱利矩陣代數的一部分。只是矩陣代數屬于數學中一個隱晦的分支，從來沒有過任何實際意義，故也鮮為人知。

玻恩在會上找到泡利，提出一起將海森堡的新理論用凱利的數學規范化。不料泡利竟一口回絕。酷愛數學嚴謹的泡利這次居然聲稱他師弟的發現已經是一幅精彩的物理圖像，容不得玻恩用某個純數學體系來糟踐。

玻恩回家后只好向他的新助手帕斯夸爾·約旦(Pascual Jordan）求救。約旦剛剛得到博士學位，卻也是一位精通數學的鬼才。他們惡補一番矩陣代數，將海森堡在小島上的粗糙思想賦予完整的數學方式表達出來。海森堡度假回來后立刻也加入了這一行動。

1925年9月，海森堡自己的論文率先問世。兩個月后，玻恩和約旦發表他們兩人充實海森堡數學基礎的論文。1926年2月，玻恩、約旦和海森堡又聯名發表總結性論文。這個史稱“一人論文”“兩人論文”“三人論文”的系列一舉奠定所謂的“矩陣力學”。

在那同一時期，玻恩和海森堡相繼開始使用一個新的名詞：“量子力學”。它標志著一個有別于牛頓力學的新力學體系的誕生。

本文摘自程鶚所著圖書《不可能的實在：量子糾纏史話》，清華大學出版社2023年1月出版。

本文轉載自《賽先生》微信公眾號

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