當(dāng)一個(gè)完美的三維球體被輕輕放在斜坡上，它通常會(huì)在重力的作用下沿直線滾落——這是物理課上的經(jīng)典演示，也是人們習(xí)以為常的直覺(jué)。

然而，真實(shí)世界可不像教科書(shū)那樣理想。自然界中的物體往往表面不平、形狀略顯不對(duì)稱；斜坡也未必光滑均勻。那么，當(dāng)一個(gè)“有點(diǎn)不規(guī)則”的物體被放在斜坡上，它還會(huì)滾動(dòng)嗎？又是在什么條件下開(kāi)始滾動(dòng)？這背后藏著怎樣的物理規(guī)律？

在一項(xiàng)近期發(fā)表于《美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊》的研究中，一個(gè)研究團(tuán)隊(duì)結(jié)合理論分析、數(shù)值模擬和精密實(shí)驗(yàn)，系統(tǒng)探討“不規(guī)則滾動(dòng)”的奧秘。他們不僅發(fā)現(xiàn)了這一系統(tǒng)中的“相變”現(xiàn)象，還在看似隨機(jī)的滾動(dòng)中找到了拓?fù)鋽?shù)學(xué)定理的物理映射。

從“不滾”到“滾”

研究團(tuán)隊(duì)首先模擬了輕度不規(guī)則的物體（圓柱體或球體）在不同斜坡角度下的滾動(dòng)行為。他們發(fā)現(xiàn)，與對(duì)稱均勻的物體總是傾向于滑下不同，這些不規(guī)則物體并不總是會(huì)滾動(dòng)。

關(guān)鍵在于，當(dāng)斜坡傾角發(fā)生變化時(shí)，存在一個(gè)臨界傾角——只有當(dāng)斜坡的角度超過(guò)這個(gè)臨界值時(shí)，物體才會(huì)開(kāi)始滾動(dòng)。從“不滾”到“滾”之間的過(guò)渡，像是一種典型的相變現(xiàn)象。

在這個(gè)“滾動(dòng)相變”的臨界點(diǎn)附近，物體的行為會(huì)發(fā)生顯著變化：滾動(dòng)周期變得越來(lái)越長(zhǎng)，甚至趨近于無(wú)窮大；一旦跨越這個(gè)臨界角度，滾動(dòng)則迅速進(jìn)入一種穩(wěn)定、持續(xù)的滾動(dòng)狀態(tài)。

不規(guī)則圓柱體的滾動(dòng)相變演示。（視頻/Harvard University（harvard.edu））

研究人員提出，“終端滾動(dòng)速度”可以作為衡量系統(tǒng)有序程度的一個(gè)簡(jiǎn)單指標(biāo)。他們發(fā)現(xiàn)，這一速度受到物體外形和慣性等因素的影響，是判斷物體從靜止躍遷到滾動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù)。

軌跡中的秩序

理論還預(yù)測(cè)，球體和圓柱體的滾動(dòng)行為本質(zhì)不同：圓柱體只有一種滾動(dòng)方式，而球體的滾動(dòng)方式可以有很多，其路徑受到形狀不規(guī)則性和初始角度的共同影響。這就像是一顆棒球與一卷紙巾從斜坡上滾下時(shí)所表現(xiàn)出的差異。

為了驗(yàn)證他們的理論模型，研究人員制作了不規(guī)則球體和圓柱體，并讓它們從不同角度的斜坡上自由滾動(dòng)。他們發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)在運(yùn)動(dòng)初期高度一致。在觀察過(guò)程中，他們起初看到的是混亂的、不規(guī)則的顛簸，就像一只屎殼郎吃力地推動(dòng)不規(guī)則的糞球，看上去毫無(wú)規(guī)律。

但當(dāng)他們將滾動(dòng)軌跡進(jìn)行數(shù)據(jù)繪圖分析后，一個(gè)清晰的結(jié)論浮現(xiàn)：這些混亂的運(yùn)動(dòng)，其實(shí)隱藏著穩(wěn)定的周期性。無(wú)論球體表面多么不規(guī)則，它的運(yùn)動(dòng)都是周期性的——換言之，一旦達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，它就會(huì)無(wú)限地自我重復(fù)。此外，研究人員還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)出乎意料的現(xiàn)象：不規(guī)則球體在回到相同的狀態(tài)之前，在每個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)都需要自我滾動(dòng)兩次。

這些現(xiàn)象為數(shù)學(xué)家們?cè)缫咽熘囊恍┩負(fù)鋵W(xué)定理——例如毛球定理，提供了生動(dòng)的物理證明。毛球定理說(shuō)的是，如果你試圖將球面上的毛發(fā)梳平，不管怎么梳，總是會(huì)出現(xiàn)至少一個(gè)“禿點(diǎn)”或“旋渦”。此外，這些結(jié)果也有助于說(shuō)明物理學(xué)中著名的狄拉克盤(pán)子戲法：一個(gè)帶有弦的旋轉(zhuǎn)體必須旋轉(zhuǎn)兩圈，才能回到原始構(gòu)型。

不規(guī)則球體滾動(dòng)軌跡實(shí)驗(yàn)：標(biāo)記了位置，并繪制了路徑。（視頻/harvard.edu）

可能的應(yīng)用

這項(xiàng)研究的靈感，源自于對(duì)日常世界中我們習(xí)以為常卻從未深究的現(xiàn)象的好奇。這不僅是一項(xiàng)趣味橫生的基礎(chǔ)物理探索，它也具有令人期待的潛在應(yīng)用。比如在軟體機(jī)器人或納米級(jí)粒子導(dǎo)航中，不規(guī)則性往往不可避免，理解其在外部力作用下的行為，對(duì)于控制、預(yù)測(cè)和設(shè)計(jì)系統(tǒng)具有重要意義。

非常神奇的是，研究人員能通過(guò)這樣一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)，看見(jiàn)如此抽象的數(shù)學(xué)概念……也許還有一些連數(shù)學(xué)家都還未觸及的問(wèn)題可以被探索。正如研究人員所說(shuō)的：“我們做的事情，是用一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，連接起數(shù)學(xué)與物理的不同分支。誰(shuí)知道哪一天，這種理解方式會(huì)在哪個(gè)我們意想不到的領(lǐng)域發(fā)揮作用？”

#參考來(lái)源：

https://seas.harvard.edu/news/2025/03/getting-ball-rolling

https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2417161122

#圖片來(lái)源：

封面圖 & 首圖：Harvard University