大數據文摘編譯

在數據領域初學時，大家常聽到的一個建議是：不要試圖把整個機器學習都學透——因為它實在太龐大且變化太快，根本不現實；

而更應該聚焦在少數幾個與數據工作日常緊密相關的模型，比如決策樹、支持向量機，當然，還有線性回歸。

線性回歸本身就是一個非常實用的模型，更有意思的是，許多其他機器學習模型其實都是在它的基礎上稍作改動而來。

本文的目的，就是想讓大家看到這一點。接下來，我們會先簡要回顧一下線性回歸的基本原理，然后再介紹它的幾種常見變體。

01 線性回歸再認識

線性回歸屬于監督學習，也就是說我們有一個明確的輸出變量（即目標變量），我們假定它是輸入特征的線性函數。通常我們會用下面這樣的公式來表示：

這里，y 是目標變量，x 是包含所有輸入特征的向量，ε 代表“噪聲”，也就是那些讓我們的數據點無法完全落在直線上的誤差。

我們進一步假設這些噪聲服從均值為0、方差恒定的正態分布，也就是說，無論特征值大小如何，數據點距離直線的遠近都是類似的。

換句話說，理想中的線性回歸散點圖大致是這樣的：

而不是這樣的：

（方差不恒定時的圖像，線性回歸失效）

02 多項式回歸

在線性回歸中，我們假設目標變量是特征的線性函數。

但在實際問題中，目標往往和特征之間關系更為復雜。剛意識到這一點時，很多人可能會覺得棘手，仿佛我們需要去找到某個函數 f，使得 y = f(x) + 噪聲。

不過，如果仔細想想線性回歸的原理，就會發現現實世界很多規律其實都是連續的，這類函數往往可以用多項式很好地逼近（感興趣的同學可以去查查 Weierstrass 逼近定理或 Stone-Weierstrass 定理）。

線性函數其實只是一次多項式而已，所以多項式回歸可以看作是一種自然的推廣。模型形式大致如下：

如果你在初步分析數據時，發現目標與輸入的關系是彎曲的、非線性的，那么多項式回歸或許值得一試。比如下圖：

（x3-x 曲線的數據擬合示意圖）

03 廣義線性回歸

多項式回歸改變的是等式右側的函數形式，那左側呢？如果不是目標變量本身，而是它的某個函數和輸入的線性組合有關呢？也就是說，模型變成了：

這就是廣義線性回歸（Generalized Linear Regression，GLM）。

當 f(y) = y 時，就是我們前面討論的普通線性回歸，所以廣義線性回歸是它的直接擴展。

那 f 可以取什么形式呢？這取決于具體建模任務，但有幾個常見的特例：

• 如果懷疑目標變量服從泊松分布，自然可以取 f(y) = ln(y)，這就是泊松回歸。

• 還有更常見的分類問題。雖然線性回歸及其變體主要用于回歸任務（顧名思義），但數據人第一次接觸分類任務時，往往學到的第一個模型就是邏輯回歸。其實，邏輯回歸正是廣義線性回歸在 logit 函數（f(y) = ln(y/(1-y))) 下的特例。

04 貝葉斯線性回歸

這里不打算展開貝葉斯統計的基礎知識，相關資料很多，有興趣的同學可以自行查閱。

簡單來說，就是當我們的數據很少、信息有限時，可以借助專家意見（先驗知識）來輔助建模，獲得對問題更全面的認識。在線性回歸的情境下，如果數據點很少，直接擬合參數往往不靠譜，因為信息量不足。

但如果我們不追求唯一的“最佳擬合直線”，而是希望得到一條“高度可能包含真實直線”的區域，那么貝葉斯線性回歸正好可以滿足這樣的需求。

數學細節可能會比較復雜，但核心思想就是：與其給出一條確定的直線，不如給出一個可能包含直線的區域。數據點越多，這個區域就越窄，我們對直線的位置也越有信心。如下圖所示：

（貝葉斯回歸的置信區間示意圖）

05 神經網絡

回到開頭給初學者的建議，雖然深度學習和神經網絡現在非常火爆，相關研究也是機器學習領域的前沿，但其實本質上，神經網絡也就是大量“重型并行版的線性回歸”再加上“激活函數”而已。

簡單來說，神經網絡由許多“神經元”（也叫感知機）組成，分布在不同的層中。每個神經元本質上就是一個線性回歸，加上一個激活函數，用來判斷輸入是否足夠讓神經元“激活”。神經網絡的訓練過程，其實就是在不斷調整這些線性回歸的系數。

歸根結底，神經網絡就是大量的線性回歸！不同的網絡結構，核心區別無非是神經元（線性回歸單元）數量和層數的不同。最復雜的深度網絡，神經元可以多達上百萬，層數也很多。

激活函數的選擇也有多種（Heaviside、ReLU、Sigmoid 等都很常見），有的網絡還會在不同層用不同的激活函數 。

但本質區別也就這些。無論是 CNN、自動編碼器、Transformer 等等，歸根結底，都是由大量小小的線性回歸單元組成的。

06 總結

所以，線性回歸或許看起來有些平淡無奇，但它其實是許多機器學習模型的基礎。上面這些討論遠遠不是全部內容，但希望能讓你意識到線性回歸的重要性。千萬不要小看線性回歸！

https://medium.com/data-and-beyond/do-not-underestimate-linear-regression-4680a19f5838

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