上個(gè)月，00后女孩陳諾在中國(guó)兒童青少年魔方挑戰(zhàn)賽上，“0秒”還原魔方，引起廣泛關(guān)注。網(wǎng)友們紛紛稱贊：禁止在麻瓜面前施展魔法。

還原魔方，應(yīng)該是很多人童年的“小小夢(mèng)想“。

然而魔方卻并不只是代表童年回憶的玩具，其實(shí)它蘊(yùn)含著深厚的數(shù)學(xué)知識(shí)，特別是作為“群論”應(yīng)用的一個(gè)極佳例子，得到了許多研究。

接下來(lái)，就讓我們一起走進(jìn)童年回憶的背后，挖掘兒時(shí)未見(jiàn)的深度吧！

魔方的歷史和當(dāng)下

魔方（Rubic cube）是由一名匈牙利教授Ern Rubik發(fā)明的，最初他發(fā)明魔方，是作為一種教學(xué)用具，希望通過(guò)魔方的空間結(jié)構(gòu)和操作特點(diǎn)來(lái)提高學(xué)生們的空間想象能力。

據(jù)說(shuō)是世界上最早的魔方

1974年，魔方一經(jīng)問(wèn)世，迅速受到世人的喜愛(ài)，并得到了蓬勃發(fā)展。從最初的三階魔方，發(fā)展到四階、五階乃至更高階，此外還出現(xiàn)許多異形魔方，比如鏡面魔方、金字塔魔方、五魔方等等。

各種不同的衍生魔方

如今，在世界魔方協(xié)會(huì)WCA（World Cube Association）的賽事中，目前三階魔方的單次還原世界紀(jì)錄由8歲的中國(guó)小將耿暄一創(chuàng)造，他在2025年沈陽(yáng)春季魔方賽中以3.05s的成績(jī)打破世界紀(jì)錄，成為新的世界紀(jì)錄保持者。

三階魔方單次還原世界紀(jì)錄歷史

魔方的組成

經(jīng)典3×3×3三階魔方是由54個(gè)小面組成的正方形，每個(gè)側(cè)面分成9個(gè)小面，總體由26個(gè)“小立方體“組成，分別包括6個(gè)中心塊、12個(gè)棱塊和8個(gè)角塊。

其內(nèi)部構(gòu)建十分精巧，各個(gè)構(gòu)件之間互相嵌合，中心塊與中心軸架通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，轉(zhuǎn)動(dòng)每一層時(shí)，每一層的子塊之間通過(guò)互相約束而自鎖，成為一個(gè)構(gòu)件，由組合轉(zhuǎn)動(dòng)副和組合移動(dòng)副共同實(shí)現(xiàn)每層的轉(zhuǎn)動(dòng)。

三階魔方的內(nèi)部構(gòu)造和運(yùn)動(dòng)副

四階魔方，看似只是多加了一階，實(shí)際復(fù)雜度卻大大增加。其由24個(gè)相同的中心塊、8個(gè)相同的角塊、24個(gè)相同的邊塊、T形連接件、D形連接件等130多個(gè)零件組成。中心連接件、T形連接件和D形連接件共同構(gòu)成的中心球為核心轉(zhuǎn)動(dòng)件，魔方子塊鑲嵌在中心球表面，與三階魔方相同的是，轉(zhuǎn)動(dòng)一層時(shí)，每一層的子塊之間通過(guò)互相約束而自鎖。

四階魔方內(nèi)部構(gòu)造圖

按國(guó)際慣例，魔方著色是按照：上面黃色、底面白色、左邊藍(lán)色、右面綠色、前面紅色、后面橙色來(lái)的，意味著白色和黃色相對(duì)面，藍(lán)色和綠色相對(duì)面，紅色和橙色相對(duì)面。

三階魔方的中心塊被固定在中心對(duì)稱十字架上，中心塊的顏色對(duì)應(yīng)并不會(huì)隨著擰動(dòng)魔方而改變；但四階魔方不同，中心塊的相對(duì)位置可以任意改變，但受到棱塊、角塊顏色固定的影響，必須旋轉(zhuǎn)到滿足慣例的中心塊排布才能復(fù)原。

三階魔方總的狀態(tài)數(shù)有多少？這可以通過(guò)排列組合計(jì)算出來(lái)。

在魔方中，角塊只能被旋轉(zhuǎn)到角塊的位置，棱塊只能被旋轉(zhuǎn)到棱塊的位置。對(duì)于8個(gè)角塊，第一個(gè)角塊可以選擇的位置有8種，第二個(gè)角塊可以選擇的位置有7種，以此類推；每個(gè)角塊在每個(gè)位置可以有3種顏色方向，當(dāng)有7個(gè)角塊的位置和方向確定后，最后一個(gè)角塊的位置和方向也被確定（因?yàn)椴荒軉为?dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)角塊），因此角塊的狀態(tài)數(shù)量為

對(duì)12個(gè)棱塊而言，類似的，第一個(gè)棱塊可以選擇的位置有12種，第二個(gè)棱塊可以選擇的位置有11種，以此類推；每個(gè)棱塊在每個(gè)位置可以有2種顏色方向，當(dāng)有11個(gè)棱塊的位置和方向確定后，最后一個(gè)棱塊的位置和方向也被確定（因?yàn)椴荒軉为?dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)棱塊），因此棱塊的狀態(tài)數(shù)量為

除了以上這些狀態(tài)以外，在魔方的實(shí)際扭動(dòng)中，還有一半的可能性是不會(huì)在魔方的正常旋轉(zhuǎn)中達(dá)到的，因此還需要將以上狀態(tài)數(shù)除以2。

這樣，就得到了上式中三階魔方的總狀態(tài)數(shù)。

對(duì)于N階魔方，我們也可以使用類似的方法（即先討論角塊和棱塊的所有狀態(tài)，再排除不可能被旋轉(zhuǎn)出的情況）去討論其所有可能的狀態(tài)數(shù)，這里我們直接跳過(guò)冗長(zhǎng)的證明，直接給出N階魔方狀態(tài)數(shù)的通解吧：

奇數(shù)階魔方狀態(tài)總數(shù)：

偶數(shù)階魔方狀態(tài)總數(shù)：

魔方的復(fù)原

經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的歷史，三階魔方的復(fù)原發(fā)展出角先、CFOP、橋式等方法，而隨著時(shí)代進(jìn)步和魔方復(fù)原機(jī)器人的興起，人擰和機(jī)器復(fù)原也朝著各自具有優(yōu)勢(shì)的方向延伸出不同的體系，這里我們先簡(jiǎn)單介紹手?jǐn)Q的復(fù)原方法。

01

角先法（Corners First）

最早被魔方的發(fā)明者Rubik所使用的復(fù)原方法，需要記憶的公式較少，也很直觀，但步驟很多，且需要敏銳的觀察能力和反應(yīng)能力。其包括底面及頂面角塊歸位、底面及頂面棱塊歸位、中心層棱塊歸位、檢查顏色方向幾步，雖然發(fā)明較早，但與如今的盲擰思路比較類似。

02

層先法（Layer by layer）

1979年，層先法由大衛(wèi)·辛格馬斯特首次提出，這是大多數(shù)新手玩家所必學(xué)的方法，比較符合人對(duì)魔方復(fù)原的認(rèn)知——一層一層復(fù)原。

03

CFOP解法

這是目前最為主流的速擰解法，在WCA大賽中非常受歡迎。其由捷克的Jessica Fridrich等人在1981年左右提出。方法涉及到119個(gè)公式，由Cross底層十字、F2L（First 2 Layer）還原下兩層、OLL（Orientation of Last Layer）調(diào)整上層棱塊和角塊的方向、PLL（Permutation of Last Layer）完成上層所有塊的位置排列組成。可以理解為層先法的精華迅速版。

CFOP四個(gè)階段的目標(biāo)狀態(tài)

魔方中的群論

在開(kāi)始聊群論之前，我們先需要了解一套對(duì)于魔方愛(ài)好者非常熟悉的一套“語(yǔ)言“，即魔方轉(zhuǎn)動(dòng)的符號(hào)描述，也是魔方公式的通用表達(dá)。

魔方的轉(zhuǎn)動(dòng)以魔方面的英文縮寫(xiě)來(lái)表示，手持魔方時(shí)，魔方的六個(gè)面分別為U（up）R（Right）F（Front）D（Down）L（Left）B（Back），用每個(gè)方向的大寫(xiě)首字母來(lái)表示“將該面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度”，具體的表示如下圖所示。

在數(shù)學(xué)中，我們暫時(shí)忽略中間層和兩層一起的轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)樗鼈兌伎梢杂眠@六種轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加實(shí)現(xiàn)。

而這6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，構(gòu)成了魔方所有轉(zhuǎn)動(dòng)生成的集合

群論，是研究“群“這一代數(shù)結(jié)構(gòu)的學(xué)科，群（Group）是一種規(guī)定了特殊乘法的集合。我們利用群的定義，可以證明上述的6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)成了“魔方群”。

當(dāng)規(guī)定了元素的“乘積”法則之后，元素的集合G若滿足下面四個(gè)條件，則稱其為群G：

①集合對(duì)乘積的封閉性：

②乘積滿足結(jié)合律：

③集合中存在左恒元，用它左乘集合中的任意元素，保持該元素不變：

④任意元素的左逆元存在于集合中，滿足：

即每個(gè)元素都存在一個(gè)與它運(yùn)算后等于左恒元的元素

首先我們定義魔方群中的“乘法”法則，規(guī)定魔方的轉(zhuǎn)動(dòng)合成運(yùn)算是從左向右的，即

M1M2表示先轉(zhuǎn)動(dòng)M1再轉(zhuǎn)動(dòng)M2，比如RU表示先轉(zhuǎn)右面，再轉(zhuǎn)上面。用c表示魔方狀態(tài)，即各塊和小面的方位，用M(c)表示魔方在狀態(tài)c下經(jīng)M轉(zhuǎn)動(dòng)后所生成的新?tīng)顟B(tài)。

設(shè)G是魔方所有轉(zhuǎn)動(dòng)生成的集合，那么它能夠滿足：

1.封閉性：G中任意元素都可以表示成一系列轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，則G中任意兩個(gè)元素的合成同樣是一系列轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。

2.結(jié)合律：用c表示任意魔方狀態(tài)，則

3.存在左恒元：魔方不進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，或是由轉(zhuǎn)動(dòng)組合而成原狀態(tài)時(shí)，為單位轉(zhuǎn)動(dòng)，所以存在左恒元。

4.存在左逆元：若一轉(zhuǎn)動(dòng)表示為，

, , 則

故逆元存在。

即證明，由魔方所有轉(zhuǎn)動(dòng)生成的集合，以合成作為運(yùn)算，構(gòu)成一個(gè)群，稱為魔方群。

我們這里建立的魔方群，表示的是魔方的轉(zhuǎn)動(dòng)的描述，那有沒(méi)有辦法描述出魔方的狀態(tài)呢？

三階魔方的狀態(tài)，由以下四個(gè)條件共同決定：

1. 角塊的位置

2. 角塊的方向

3. 棱塊的位置

4. 棱塊的方向

在這四個(gè)條件中，1和3比較方便定義的。因?yàn)榻菈K和棱塊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中只會(huì)一直呆在角塊和棱塊位置，所以我們可以用置換群來(lái)定義：

置換群是指n個(gè)客體排列次序的變換，n個(gè)客體的n!個(gè)置換的集合滿足群的四個(gè)條件，構(gòu)成群，稱為n個(gè)客體置換群，記作Sn。

G是魔方群，SV是角塊在G作用下的置換群，SE是棱塊在G作用下的置換群。定義與g相對(duì)應(yīng)的角塊置換σ和棱塊置換τ如下

這樣，角塊的位置可以用S8中的元素表示，棱塊的位置可以用S12中的元素表示。

要表述角塊和棱塊的方向，我們還要約定一種指向特定面的字母表示法。用小寫(xiě)的u, d, f, b, l, r表示各面；用兩個(gè)方位字母確認(rèn)棱塊，排在首位的字母為指向的面，如db表示d（下）面b（后）方位的小面；用三個(gè)方位字母確認(rèn)角塊，如ufl表示u（上）面fl（前左）方位的小面。

從角塊開(kāi)始，在每個(gè)角塊朝上/下的一面上標(biāo)記一個(gè)數(shù)字：

在u面上的ufl小面上標(biāo)記1

在u面上的urf小面上標(biāo)記2

在u面上的ubr小面上標(biāo)記3

在u面上的ulb小面上標(biāo)記4

在d面上的dbl小面上標(biāo)記5

在d面上的dlf小面上標(biāo)記6

在d面上的dfr小面上標(biāo)記7

在d面上的drb小面上標(biāo)記8

在這一步被標(biāo)記的小面稱為標(biāo)準(zhǔn)面，用以決定角塊的方向。下一步，在標(biāo)有序號(hào)的這些小面上再標(biāo)記0，然后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在角塊的另外兩面上依次標(biāo)記1和2 。

在以上標(biāo)記下，就可以定義角塊的方向了，用ν=(ν1,ν2,...,ν8)表示角塊的方向，其中νi表示第i個(gè)角塊標(biāo)準(zhǔn)面上的數(shù)字，也可以認(rèn)為是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該角塊，使其標(biāo)記為0的面與標(biāo)準(zhǔn)面重合所需要的次數(shù)，ν滿足

類似地，可以定義棱塊的方向，在每個(gè)棱塊朝上/下/前/后的一面上標(biāo)記一個(gè)數(shù)字：

在u面上的ub小面上標(biāo)記1

在u面上的ur小面上標(biāo)記2

在u面上的uf小面上標(biāo)記3

在u面上的ul小面上標(biāo)記4

在b面上的bl小面上標(biāo)記5

在b面上的br小面上標(biāo)記6

在f面上的fr小面上標(biāo)記7

在f面上的fl小面上標(biāo)記8

在d面上的db小面上標(biāo)記9

在d面上的dr小面上標(biāo)記10

在d面上的df小面上標(biāo)記11

在d面上的dl小面上標(biāo)記12

在標(biāo)記有序號(hào)的這些小面上再標(biāo)記0，然后在棱塊的另一面上標(biāo)記1。

用ω=(ω1,ω2,...,ω12)表示邊塊的方向，其中ωj表示第j個(gè)邊塊標(biāo)準(zhǔn)面上的數(shù)字，ω滿足

設(shè)ν(g)和ω(g)分別表示g作用后的角塊方向和邊塊方向，舉例而言，對(duì)于R即右面轉(zhuǎn)動(dòng)90度，左面的角塊沒(méi)有發(fā)生變化，因此ν1=0，ν4=0，ν5=0，ν6=0；右邊的角塊發(fā)生了變化，有ν2=1，ν3=2，ν7=2，ν8=1，于是ν(R)=(0,1,2,0,0,0,2,1)，即表示出了角塊的方向。

經(jīng)過(guò)上面的定義，任何魔方的狀態(tài)就可以用這四個(gè)量來(lái)確定了。

1. 角塊的位置：σ ∈ S8

2. 角塊的方向：ν=(ν1,ν2,...,ν8)

3. 棱塊的位置：τ ∈ S12

4. 棱塊的方向：ω=(ω1,ω2,...,ω12)

   即魔方群

當(dāng)然，表述魔方群的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這一種，期待著大家用更多的方法更巧妙地將魔方納入數(shù)學(xué)體系中~

魔方機(jī)器人的復(fù)原

當(dāng)我們已經(jīng)了解了如何用群論表達(dá)魔方之后，我們?cè)倩貋?lái)看看機(jī)器人——它是怎么復(fù)原魔方的？

在前面列舉的復(fù)原魔方方法，都是根據(jù)人的直觀感覺(jué)來(lái)進(jìn)行策略，而機(jī)器人策略則完全不符合人的直覺(jué)，對(duì)他們而言，步驟更少的方法才是最佳選擇。

01

TM算法（Thislethwaite Method）

TM算法的策略是通過(guò)逐步降低魔方所處的群到更小的子群，使得魔方的狀態(tài)數(shù)減小，直到最后的單位子群，就復(fù)原了魔方。所以利用TM算法復(fù)原魔方的每一步來(lái)看，魔方都是很亂的，但魔方的狀態(tài)數(shù)是隨著群的減小而在逐漸減小的。

TM算法對(duì)于公式的記憶和判斷要求非常高，人手利用TM算法復(fù)原魔方是非常困難的，但計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能力使TM算法成為可能，對(duì)于計(jì)算機(jī)而言它也是步驟更少的優(yōu)選。

TM算法降解子群的四個(gè)步驟

TM算法每個(gè)步驟的魔方狀態(tài)

02

Kociemba算法（二階段算法）

這是當(dāng)前最主流的計(jì)算機(jī)解魔方算法，該算法平均可以在幾毫秒的時(shí)間內(nèi)得到一個(gè)不超過(guò)20步的解法。

該方法將魔方的復(fù)原過(guò)程分成了兩個(gè)階段，第一個(gè)階段是將亂序魔方轉(zhuǎn)動(dòng)成一個(gè)子群內(nèi)的狀態(tài)，這個(gè)子群表示為G1=；第二階段則是復(fù)原這個(gè)子群G1中的魔方。算法將會(huì)搜索這兩個(gè)階段分別需要的步數(shù)和總步數(shù)，并輸出最短總步數(shù)的解進(jìn)行復(fù)原。

Kociemba算法解上述魔方的過(guò)程

計(jì)算機(jī)的解魔方方法，大大降低了還原的步驟。

計(jì)算機(jī)解魔方時(shí)間對(duì)比

半個(gè)世紀(jì)過(guò)去，魔方已從Rubik手中的教具，變成了世界各地孩子、長(zhǎng)不大的孩子、計(jì)算機(jī)幼體的探索和快樂(lè)。

如果你還未學(xué)會(huì)復(fù)原，何不嘗試著趁現(xiàn)在重拾童心呢？

如果你已經(jīng)是大佬了，何不嘗試著提升一下sub呢

參考資料

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/348865035

[2] https://www.worldcubeassociation.org/

[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/35339755

[4] https://www.jaapsch.net/puzzles/

[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/138559685

[6] http://www.rubik.com.cn/notation.htm

[7]梁小龍.解魔方算法的研究和系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)[D].東北大學(xué),2013.

[8]李文超.面向多階魔方的智能還原機(jī)器人算法設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)研究[D].燕山大學(xué),2023.

[9]向臘.魔方機(jī)器人控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[D].湖南大學(xué),2016.

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[12]譚水生.解三階魔方智能機(jī)器人系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究[D].五邑大學(xué),2020.

[13]https://people.math.harvard.edu/~jjchen/docs/Group%20Theory%20and%20the%20Rubik%27s%20Cube.pdf

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