雖然魔方可以從小學(xué)到大，但是魔方中的數(shù)學(xué)你知道多少呢？

撰文 | 花卷

上個月，00后女孩陳諾在中國兒童青少年魔方挑戰(zhàn)賽上，“0秒”還原魔方，引起廣泛關(guān)注。網(wǎng)友們紛紛稱贊：禁止在麻瓜面前施展魔法。

還原魔方，應(yīng)該是很多人童年的“小小夢想“。

然而魔方卻并不只是代表童年回憶的玩具，其實它蘊含著深厚的數(shù)學(xué)知識，特別是作為“群論”應(yīng)用的一個極佳例子，得到了許多研究。

接下來，就讓我們一起走進(jìn)童年回憶的背后，挖掘兒時未見的深度吧！

魔方的歷史和當(dāng)下

魔方（Rubic cube）是由一名匈牙利教授Ern Rubik發(fā)明的，最初他發(fā)明魔方，是作為一種教學(xué)用具，希望通過魔方的空間結(jié)構(gòu)和操作特點來提高學(xué)生們的空間想象能力。

據(jù)說是世界上最早的魔方

1974年，魔方一經(jīng)問世，迅速受到世人的喜愛，并得到了蓬勃發(fā)展。從最初的三階魔方，發(fā)展到四階、五階乃至更高階，此外還出現(xiàn)許多異形魔方，比如鏡面魔方、金字塔魔方、五魔方等等。

各種不同的衍生魔方

如今，在世界魔方協(xié)會WCA（World Cube Association）的賽事中，目前三階魔方的單次還原世界紀(jì)錄由8歲的中國小將耿暄一創(chuàng)造，他在2025年沈陽春季魔方賽中以3.05s的成績打破世界紀(jì)錄，成為新的世界紀(jì)錄保持者。

三階魔方單次還原世界紀(jì)錄歷史

魔方的組成

經(jīng)典3×3×3三階魔方是由54個小面組成的正方形，每個側(cè)面分成9個小面，總體由26個“小立方體“組成，分別包括6個中心塊、12個棱塊和8個角塊。

其內(nèi)部構(gòu)建十分精巧，各個構(gòu)件之間互相嵌合，中心塊與中心軸架通過轉(zhuǎn)動副連接，轉(zhuǎn)動每一層時，每一層的子塊之間通過互相約束而自鎖，成為一個構(gòu)件，由組合轉(zhuǎn)動副和組合移動副共同實現(xiàn)每層的轉(zhuǎn)動。

三階魔方的內(nèi)部構(gòu)造和運動副

四階魔方，看似只是多加了一階，實際復(fù)雜度卻大大增加。其由24個相同的中心塊、8個相同的角塊、24個相同的邊塊、T形連接件、D形連接件等130多個零件組成。中心連接件、T形連接件和D形連接件共同構(gòu)成的中心球為核心轉(zhuǎn)動件，魔方子塊鑲嵌在中心球表面，與三階魔方相同的是，轉(zhuǎn)動一層時，每一層的子塊之間通過互相約束而自鎖。

四階魔方內(nèi)部構(gòu)造圖

按國際慣例，魔方著色是按照：上面黃色、底面白色、左邊藍(lán)色、右面綠色、前面紅色、后面橙色來的，意味著白色和黃色相對面，藍(lán)色和綠色相對面，紅色和橙色相對面。

三階魔方的中心塊被固定在中心對稱十字架上，中心塊的顏色對應(yīng)并不會隨著擰動魔方而改變；但四階魔方不同，中心塊的相對位置可以任意改變，但受到棱塊、角塊顏色固定的影響，必須旋轉(zhuǎn)到滿足慣例的中心塊排布才能復(fù)原。

三階魔方總的狀態(tài)數(shù)有多少？這可以通過排列組合計算出來。

除了以上這些狀態(tài)以外，在魔方的實際扭動中，還有一半的可能性是不會在魔方的正常旋轉(zhuǎn)中達(dá)到的，因此還需要將以上狀態(tài)數(shù)除以2。

這樣，就得到了上式中三階魔方的總狀態(tài)數(shù)。

對于N階魔方，我們也可以使用類似的方法（即先討論角塊和棱塊的所有狀態(tài)，再排除不可能被旋轉(zhuǎn)出的情況）去討論其所有可能的狀態(tài)數(shù)，這里我們直接跳過冗長的證明，直接給出N階魔方狀態(tài)數(shù)的通解吧：

魔方的復(fù)原

經(jīng)過半個世紀(jì)的歷史，三階魔方的復(fù)原發(fā)展出角先、CFOP、橋式等方法，而隨著時代進(jìn)步和魔方復(fù)原機器人的興起，人擰和機器復(fù)原也朝著各自具有優(yōu)勢的方向延伸出不同的體系，這里我們先簡單介紹手?jǐn)Q的復(fù)原方法。

01 角先法（Corners First）

最早被魔方的發(fā)明者Rubik所使用的復(fù)原方法，需要記憶的公式較少，也很直觀，但步驟很多，且需要敏銳的觀察能力和反應(yīng)能力。其包括底面及頂面角塊歸位、底面及頂面棱塊歸位、中心層棱塊歸位、檢查顏色方向幾步，雖然發(fā)明較早，但與如今的盲擰思路比較類似。

02 層先法（Layer by layer）

1979年，層先法由大衛(wèi)·辛格馬斯特首次提出，這是大多數(shù)新手玩家所必學(xué)的方法，比較符合人對魔方復(fù)原的認(rèn)知——一層一層復(fù)原。

03 CFOP解法

這是目前最為主流的速擰解法，在WCA大賽中非常受歡迎。其由捷克的Jessica Fridrich等人在1981年左右提出。方法涉及到119個公式，由Cross底層十字、F2L（First 2 Layer）還原下兩層、OLL（Orientation of Last Layer）調(diào)整上層棱塊和角塊的方向、PLL（Permutation of Last Layer）完成上層所有塊的位置排列組成。可以理解為層先法的精華迅速版。

CFOP四個階段的目標(biāo)狀態(tài)

魔方中的群論

在開始聊群論之前，我們先需要了解一套對于魔方愛好者非常熟悉的一套“語言“，即魔方轉(zhuǎn)動的符號描述，也是魔方公式的通用表達(dá)。

魔方的轉(zhuǎn)動以魔方面的英文縮寫來表示，手持魔方時，魔方的六個面分別為U（up）R（Right）F（Front）D（Down）L（Left）B（Back），用每個方向的大寫首字母來表示“將該面順時針旋轉(zhuǎn)90度”，具體的表示如下圖所示。

在數(shù)學(xué)中，我們暫時忽略中間層和兩層一起的轉(zhuǎn)動，因為它們都可以用這六種轉(zhuǎn)動的疊加實現(xiàn)。

而這6個轉(zhuǎn)動，構(gòu)成了魔方所有轉(zhuǎn)動生成的集合

群論，是研究“群“這一代數(shù)結(jié)構(gòu)的學(xué)科，群（Group）是一種規(guī)定了特殊乘法的集合。我們利用群的定義，可以證明上述的6個轉(zhuǎn)動構(gòu)成了“魔方群”。

我們這里建立的魔方群，表示的是魔方的轉(zhuǎn)動的描述，那有沒有辦法描述出魔方的狀態(tài)呢？

三階魔方的狀態(tài)，由以下四個條件共同決定：

1. 角塊的位置
2. 角塊的方向
3. 棱塊的位置
4. 棱塊的方向

在這四個條件中，1和3比較方便定義的。因為角塊和棱塊在旋轉(zhuǎn)過程中只會一直呆在角塊和棱塊位置，所以我們可以用置換群來定義：

要表述角塊和棱塊的方向，我們還要約定一種指向特定面的字母表示法。用小寫的u, d, f, b, l, r表示各面；用兩個方位字母確認(rèn)棱塊，排在首位的字母為指向的面，如db表示d（下）面b（后）方位的小面；用三個方位字母確認(rèn)角塊，如ufl表示u（上）面fl（前左）方位的小面。

從角塊開始，在每個角塊朝上/下的一面上標(biāo)記一個數(shù)字：

在u面上的ufl小面上標(biāo)記1

在u面上的urf小面上標(biāo)記2

在u面上的ubr小面上標(biāo)記3

在u面上的ulb小面上標(biāo)記4

在d面上的dbl小面上標(biāo)記5

在d面上的dlf小面上標(biāo)記6

在d面上的dfr小面上標(biāo)記7

在d面上的drb小面上標(biāo)記8

在這一步被標(biāo)記的小面稱為標(biāo)準(zhǔn)面，用以決定角塊的方向。下一步，在標(biāo)有序號的這些小面上再標(biāo)記0，然后順時針旋轉(zhuǎn)，在角塊的另外兩面上依次標(biāo)記1和2。

類似地，可以定義棱塊的方向，在每個棱塊朝上/下/前/后的一面上標(biāo)記一個數(shù)字：

在u面上的ub小面上標(biāo)記1

在u面上的ur小面上標(biāo)記2

在u面上的uf小面上標(biāo)記3

在u面上的ul小面上標(biāo)記4

在b面上的bl小面上標(biāo)記5

在b面上的br小面上標(biāo)記6

在f面上的fr小面上標(biāo)記7

在f面上的fl小面上標(biāo)記8

在d面上的db小面上標(biāo)記9

在d面上的dr小面上標(biāo)記10

在d面上的df小面上標(biāo)記11

在d面上的dl小面上標(biāo)記12

在標(biāo)記有序號的這些小面上再標(biāo)記0，然后在棱塊的另一面上標(biāo)記1。

當(dāng)然，表述魔方群的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這一種，期待著大家用更多的方法更巧妙地將魔方納入數(shù)學(xué)體系中~

魔方機器人的復(fù)原

當(dāng)我們已經(jīng)了解了如何用群論表達(dá)魔方之后，我們再回來看看機器人——它是怎么復(fù)原魔方的？

在前面列舉的復(fù)原魔方方法，都是根據(jù)人的直觀感覺來進(jìn)行策略，而機器人策略則完全不符合人的直覺，對他們而言，步驟更少的方法才是最佳選擇。

01 TM算法（Thislethwaite Method）

TM算法的策略是通過逐步降低魔方所處的群到更小的子群，使得魔方的狀態(tài)數(shù)減小，直到最后的單位子群，就復(fù)原了魔方。所以利用TM算法復(fù)原魔方的每一步來看，魔方都是很亂的，但魔方的狀態(tài)數(shù)是隨著群的減小而在逐漸減小的。

TM算法對于公式的記憶和判斷要求非常高，人手利用TM算法復(fù)原魔方是非常困難的，但計算機強大的運算能力使TM算法成為可能，對于計算機而言它也是步驟更少的優(yōu)選。

TM算法降解子群的四個步驟

TM算法每個步驟的魔方狀態(tài)

02 Kociemba算法（二階段算法）

這是當(dāng)前最主流的計算機解魔方算法，該算法平均可以在幾毫秒的時間內(nèi)得到一個不超過20步的解法。

Kociemba算法解上述魔方的過程

計算機的解魔方方法，大大降低了還原的步驟。

計算機解魔方時間對比

半個世紀(jì)過去，魔方已從Rubik手中的教具，變成了世界各地孩子、長不大的孩子、計算機幼體的探索和快樂。

如果你還未學(xué)會復(fù)原，何不嘗試著趁現(xiàn)在重拾童心呢？

如果你已經(jīng)是高手了，何不嘗試著提升一下sub呢？

參考資料

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/348865035

[2] https://www.worldcubeassociation.org/

[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/35339755

[4] https://www.jaapsch.net/puzzles/

[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/138559685

[6] http://www.rubik.com.cn/notation.htm

[7]梁小龍.解魔方算法的研究和系統(tǒng)實現(xiàn)[D].東北大學(xué),2013.

[8]李文超.面向多階魔方的智能還原機器人算法設(shè)計與實驗研究[D].燕山大學(xué),2023.

[9]向臘.魔方機器人控制系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)[D].湖南大學(xué),2016.

[10]喻騰飛.魔方群的研究[D].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2014.

[11]朱磊.群論在魔方中的應(yīng)用[D].蘇州大學(xué),2008.

[12]譚水生.解三階魔方智能機器人系統(tǒng)的設(shè)計與研究[D].五邑大學(xué),2020.

[13]https://people.math.harvard.edu/~jjchen/docs/Group%20Theory%20and%20the%20Rubik%27s%20Cube.pdf

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“中科院物理所”。

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