黑爾戈蘭(Helgoland或Heligoland)島位于北海，19世紀(jì)末以來(lái)屬于德國(guó)，在海岸線外約70公里。黑爾戈蘭島名稱(chēng)有“神圣之地”的意思。巧的是，在現(xiàn)實(shí)中，它是量子力學(xué)的圣地。

▲黑爾戈蘭島。圖源：Carsten Steger（Wikimedia Commons）

去黑爾戈蘭島的船往往從漢堡（Hamburg）來(lái)回。漢堡，即漢堡包(Hamburger)的故鄉(xiāng)，是德國(guó)第二大城市，位于易北河與比勒河的入海口處，距離北海110多公里，漢堡港是德國(guó)最大的港口。在人們對(duì)量子力學(xué)史的印象中，漢堡不如哥本哈根、哥廷根和黑爾戈蘭島那么引人注目，其實(shí)它也是量子力學(xué)的圣地。

黑爾戈蘭島上的晨曦

黑爾戈蘭島之所以成為量子力學(xué)的圣地，一個(gè)意外的原因是這里幾乎沒(méi)有植被，沒(méi)有花粉。1925年，24歲的海森堡（Werner Heisenberg）受?chē)?yán)重的花粉癥困擾，于是逃避到黑爾戈蘭島，度過(guò)了兩周不到的時(shí)間。

海森堡同時(shí)也被量子力學(xué)的難題所困擾。不知道是不是花粉之苦的消失激發(fā)了他的創(chuàng)造力，他取得了從老量子論到新量子力學(xué)的突破，邁出了量子力學(xué)的關(guān)鍵一步。某個(gè)夜間，在島南的一個(gè)海邊旅店二樓的房間里，他突然意識(shí)到玻爾-克雷默斯-斯萊特(BKS)理論（其中能量不守恒）已被拋棄，能量必須守恒，這使得他在用于討論電磁輻射和色散的非簡(jiǎn)諧振子的能量表達(dá)式中，將位移用相應(yīng)的聯(lián)系初態(tài)和末態(tài)的一個(gè)量代替，仍然保持守恒。當(dāng)晨曦降臨的時(shí)候，矩陣力學(xué)（量子力學(xué)的第一種形式）的關(guān)鍵思想也降臨了。

海森堡回到德國(guó)大陸，必經(jīng)漢堡。當(dāng)時(shí)，漢堡居住著他的大一歲的師兄泡利。與海森堡的期待相反，泡利沒(méi)有給以批評(píng)和挖苦，而是報(bào)以熱情的鼓勵(lì)，希望他沿著這條路走下去。這個(gè)不尋常的反應(yīng)給了海森堡極大的鼓舞，因此海森堡回到哥廷根后，一直向泡利通報(bào)進(jìn)展。

海森堡的進(jìn)展也給泡利帶來(lái)了希望。2025年5月21日，泡利在給克羅尼格的信中說(shuō)：“物理學(xué)再次進(jìn)入死胡同。” 而10月9日，他又致信克羅尼格：“海森堡的力學(xué)讓我恢復(fù)了對(duì)生活的興趣。”

海森堡一直步泡利后塵。泡利1918年10月進(jìn)入慕尼黑大學(xué)，后來(lái)成為索莫非（Arnold Sommerfeld）的研究助手，1921年10月到哥廷根，成為玻恩(Max Born)的助手。1922年10月，泡利接受了漢堡的楞次提供的職位。1923年又去哥本哈根訪問(wèn)玻爾一年。而海森堡1920年10進(jìn)入慕尼黑大學(xué)，立即師從索莫非，1922年海森堡也來(lái)到哥廷根，成為玻爾的助手，一個(gè)冬天后，在泡利的鼓勵(lì)和玻爾的邀請(qǐng)下，又去訪問(wèn)了玻爾幾個(gè)月。1922年玻爾到哥廷根講學(xué)，俗稱(chēng)玻爾節(jié)，期間玻爾熱情邀請(qǐng)來(lái)自漢堡的泡利去他的研究所訪問(wèn)，并對(duì)來(lái)自慕尼黑的海森堡印象深刻。

泡利在漢堡一直待到1928年移居蘇黎世，就任聯(lián)邦工學(xué)院教授。

▲海森堡

▲泡利

黑爾戈蘭島突破的前因

海森堡在黑爾戈蘭島上的突破導(dǎo)致了新的量子力學(xué)的矩陣力學(xué)表示。矩陣力學(xué)最早幾篇論文于1925年發(fā)表或者完成。

在整個(gè)量子力學(xué)發(fā)展史上，相對(duì)于普朗克、愛(ài)因斯坦、玻爾的“老量子論”而言， “新量子力學(xué)”是從“老量子論”發(fā)展而來(lái)，解決了“老量子論”不能解釋的問(wèn)題。 “老量子論”的輝煌成就包括普朗克量子假設(shè)、愛(ài)因斯坦光量子論、玻爾原子模型等等。它并不是獨(dú)立而自洽的理論體系，而只是在經(jīng)典物理學(xué)基礎(chǔ)上，增加一些新的規(guī)則，即所謂的量子條件，用對(duì)應(yīng)原理將經(jīng)典物理的結(jié)果翻譯成量子結(jié)果。對(duì)應(yīng)原理最早由玻爾于1918年提出，是說(shuō)在某些極限情況下，量子結(jié)果退化為經(jīng)典結(jié)果。

面對(duì)層出不窮的新實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，主要是光譜（特別是多電子原子的光譜），反常塞曼效應(yīng)，等等，“老量子論”遭遇種種困難。為了解決這些困難，新量子力學(xué)應(yīng)運(yùn)而生，是全新的理論體系。其中很多工作是關(guān)于發(fā)出或吸收光子的量子躍遷。

海森堡的突破與色散問(wèn)題直接相關(guān)，這是物質(zhì)和輻射相互作用的重要問(wèn)題。色散是指材料對(duì)光的折射依賴(lài)于光的頻率。

1900年，德魯?shù)拢≒aul Drude）提出經(jīng)典色散理論，通過(guò)電場(chǎng)力作用下的非簡(jiǎn)諧振子模型，算出電極化與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，即電極化率，給出色散關(guān)系。同一年，普朗克推導(dǎo)黑體輻射譜時(shí)，也用了電場(chǎng)力作用下的非簡(jiǎn)諧振子模型，說(shuō)明這是當(dāng)時(shí)普遍考慮的模型。

1916年，愛(ài)因斯坦提出他的輻射理論，提出原子中的電子與輻射相互作用，有自發(fā)吸收、自發(fā)輻射和受激輻射三個(gè)過(guò)程。

1921年，拉登堡（Rudolf Ladenburg）將愛(ài)因斯坦的輻射理論與德魯?shù)碌纳⒗碚摻Y(jié)合起來(lái)，根據(jù)對(duì)應(yīng)原理，將振子的能量損失等同于輻射的吸收，并借助于1900年普朗克（Max Planck）給出的電磁場(chǎng)能量與振子能量的關(guān)系，得到了電極化率愛(ài)因斯坦吸收系數(shù)的關(guān)系。1924年，克萊默斯（Hendrik Kramers）將此結(jié)果推廣到對(duì)所有末態(tài)求和的情況。

1922年，達(dá)爾文（Charles G.Darwin）提出，當(dāng)電磁波與原子作用時(shí)，后者有一定概率發(fā)射出新的電磁波，能量和動(dòng)量守恒不需要在微觀上成立。

1924年，斯萊特（John Slater）提出，一組原子可看成一組振子，每個(gè)振子因?yàn)檎駝?dòng)而發(fā)出的輻射作用在其他振子上，導(dǎo)致一定概率發(fā)生愛(ài)因斯坦所說(shuō)的能量躍遷，能量和動(dòng)量守恒只在統(tǒng)計(jì)平均下成立。

同年，斯萊特訪問(wèn)玻爾(Niels Bohr)研究所時(shí)，玻爾、克萊默斯和斯萊特將斯萊特的理論改造Bohr-Kramer-Slater（BKS）理論，去掉愛(ài)因斯坦理論的成分，因?yàn)椴柈?dāng)時(shí)不接受光量子概念。克萊默斯是玻爾的大弟子（埃倫費(fèi)斯特的博士生，但是跟玻爾做論文），當(dāng)時(shí)是玻爾研究所的“管家”。

BKS理論引起玻恩的重視，當(dāng)時(shí)他正在尋找解決量子問(wèn)題的理論方法。同年，他發(fā)表了一篇文章提出，因?yàn)榱孔榆S遷沒(méi)法用經(jīng)典力學(xué)計(jì)算，所以經(jīng)典微擾論輔以量子條件不能解決問(wèn)題，而需要一個(gè)“量子力學(xué)”。這是“量子力學(xué)”一詞首次出現(xiàn)。在這篇文章中，玻恩還給出了一個(gè)從經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)的方案，物理學(xué)史家雅默（Max Jammer）稱(chēng)之為玻恩的對(duì)應(yīng)原理，就是函數(shù)在量子數(shù)的不同取值下的差別等于這個(gè)函數(shù)對(duì)這個(gè)量子數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以量子數(shù)之差。當(dāng)時(shí)，海森堡作為玻恩的助手，幫助做了點(diǎn)計(jì)算。

1925年，海森堡在訪問(wèn)玻爾研究所期間，和克萊默斯合作，運(yùn)用玻恩的對(duì)應(yīng)原理，證明了克萊默斯前一年的電極化率結(jié)果。

至此，原子的概念變得更加抽象。非簡(jiǎn)諧振子模型和概率的概念都將被海森堡所繼承。多年以后，海森堡曾經(jīng)列數(shù)了我們上面提到的直接相關(guān)的前期工作：“一步一步的進(jìn)步很清楚，拉登堡的文章，克萊默斯的文章，玻恩的文章，然后克萊默斯和我的文章；每篇文章都在正確的方向深入一步。”

現(xiàn)在我們談到量子力學(xué)在1925年的重大突破，往往集中于理論進(jìn)展。但是量子力學(xué)在1925年年初，有一個(gè)重要的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展，那就是玻特（Walther Bothe）和蓋革（Hans Geiger）的實(shí)驗(yàn)。

大家都知道玻恩的諾貝爾獎(jiǎng)于1954年雖遲但到，常令人扼腕。然而，對(duì)于與他分享這個(gè)獎(jiǎng)的玻特及其獲獎(jiǎng)理由，大概所知較少。玻特得獎(jiǎng)兩年多后就去世了。我們看看諾獎(jiǎng)委員會(huì)的說(shuō)法：“符合法以及基于此的發(fā)現(xiàn)（for the coincidence method and his discoveries made therewith）”。 更詳細(xì)的說(shuō)法：“在計(jì)數(shù)管中，通過(guò)的粒子產(chǎn)生電脈沖。1929年，玻特將兩個(gè)計(jì)數(shù)管連起來(lái)，只有同時(shí)有粒子通過(guò)時(shí)，才會(huì)記錄下來(lái)。這意味著，要么這兩個(gè)通過(guò)的粒子來(lái)自同一個(gè)事件，或者粒子運(yùn)動(dòng)很快，粒子在管子之間的運(yùn)動(dòng)事件忽略不計(jì)。玻特用這個(gè)方法證明粒子和光子碰撞時(shí)，能量是守恒的，而且用來(lái)研究宇宙輻射（In a counter tube, particles passing through the tube generate an electric pulse. In 1925 Walter Bothe connected two counter tubes together so that only simultaneous passages were registered. This meant that either the passages were caused by particles that originated from the same event or by a particle that moved so fast that the time for movement between the tubes was negligible. Bothe used the method to show that energy is conserved in impacts between particles and photons and to study cosmic radiation）。“ 這個(gè)方法有廣泛的應(yīng)用，所以這個(gè)獎(jiǎng)強(qiáng)調(diào)了方法。但是玻特用這個(gè)方法進(jìn)行了一個(gè)很重要的實(shí)驗(yàn)。諾獎(jiǎng)資料也提到了。

蓋革曾是盧瑟福的博士后，1908年，在盧瑟福的指導(dǎo)下，蓋革和馬斯登（Ernest Marsden）用alpha粒子轟擊金箔，證明原子有核。這個(gè)人類(lèi)歷史上最重要的實(shí)驗(yàn)之一沒(méi)有獲得諾貝爾獎(jiǎng)。

玻特-蓋革實(shí)驗(yàn)就是用符合法，證明康普頓效應(yīng)中，電子和光子碰撞的過(guò)程是能量守恒的。 也就是說(shuō)，之前（1923年）的康普頓實(shí)驗(yàn)只是發(fā)現(xiàn)電子使得X射線的波長(zhǎng)變化，可以用愛(ài)因斯坦的光量子論解釋?zhuān)遣⒉荒軓膶?shí)驗(yàn)上證明確實(shí)這個(gè)過(guò)程。而玻特-蓋革實(shí)驗(yàn)完成了這個(gè)使命，也宣告了當(dāng)時(shí)備受關(guān)注的玻爾-克雷默斯-斯萊特（BKS）理論的破產(chǎn)。 1954年，玻爾（1885–1962)還健在。

▲玻特和蓋革，1930年代末。

愛(ài)因斯坦的諾獎(jiǎng)是在1922年獲得（名義上是1921年的諾獎(jiǎng)），強(qiáng)調(diào)的是光量子論預(yù)言的光電效應(yīng)定律，而且是在康普頓效應(yīng)發(fā)現(xiàn)之前。很多人（包括玻爾）在玻特的實(shí)驗(yàn)之前不接受愛(ài)因斯坦的光量子論。

也就是說(shuō)，玻特和玻恩的諾獎(jiǎng)都是量子力學(xué)史上雖遲但到的諾獎(jiǎng)，一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一個(gè)理論。當(dāng)時(shí)蓋革已于1945年去世。比玻恩的遭遇還要不幸的是，玻特-蓋革實(shí)驗(yàn)在一般的量子力學(xué)資料中提得不多，大概因?yàn)橐话愕淖髡咧皇菂⒖计渌亩仲Y料。

1925年1月5日，柏林物理學(xué)會(huì)召開(kāi)80周年慶祝大會(huì)。10天后，玻恩寫(xiě)信告訴玻爾：“會(huì)上每個(gè)人都在談?wù)撋w革-玻特實(shí)驗(yàn)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)支持光量子論。愛(ài)因斯坦非常高興。“ 不過(guò)這時(shí)，蓋革和玻特本人以及玻恩還沒(méi)有完全確信。

玻特-蓋格實(shí)驗(yàn)宣布了BKS理論的破產(chǎn)，這使得海森堡在黑爾戈蘭島上考慮能量守恒。

黑爾戈蘭島突破的后果

海森堡的突破撕開(kāi)了一個(gè)口子，引起了摧枯拉朽的后續(xù)工作。

多年后，海森堡將他的突破比作登山，在迷霧中模模糊糊看到要找的石頭，從而知道自己的位置，改變了整個(gè)情況。他的登山比喻可以或多或少用于他的很多工作。楊振寧對(duì)此非常欣賞，曾專(zhuān)文論述，雖然從研究風(fēng)格上，海森堡與楊振寧非常不一樣。

海森堡將經(jīng)典電磁輻射功率公式中的位移改為與始末態(tài)相關(guān)的量（下標(biāo)）。 為了滿足能量定態(tài)值，猜出位移的乘法規(guī)則。他將論文稿件交給玻恩后，去萊頓、劍橋、慕尼黑、Alps、哥本哈根。10月回哥廷根。

玻恩看出海森堡的論文的價(jià)值，幫他投稿。作為新量子力學(xué)的第一篇論文，海森堡（Werner Heisenberg）的論文《運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)關(guān)系的量子力學(xué)解釋?zhuān)║ber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechaniseher Beziehungen）》7月29日被物理學(xué)雜志（Zeitschrift für Physik）收稿。 有趣的是，文章寫(xiě)道：“本文尋求嚴(yán)格在原則上能觀測(cè)到的量之間的關(guān)系基礎(chǔ)上，建立理論量子力學(xué)（The present paper seeks to establish a basis for theoretical quantum mechanics founded exclusively upon relations between quantities which in principle are observable）.” 這是受愛(ài)因斯坦相對(duì)論方法的影響。

▲量子力學(xué)的第一篇論文

而且，玻恩認(rèn)出，海森堡加了下標(biāo)的物理量是矩陣。他和約當(dāng)寫(xiě)了 “兩個(gè)人的論文”，包含位置-動(dòng)量對(duì)易關(guān)系（這個(gè)關(guān)系后來(lái)刻在玻恩的墓碑上），也是1925年發(fā)表。

▲玻恩的墓碑（圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)）。

接著，包括海森堡在內(nèi)，他們完成 “三個(gè)人的論文”，1925.11.投稿，1926.11.發(fā)表。這3篇論文創(chuàng)立了量子力學(xué)的矩陣力學(xué)形式。海森堡獨(dú)享1932年的物理諾獎(jiǎng)。

在海森堡的督促下，泡利用矩陣力學(xué)解出氫原子（1926.1投稿，1926年底發(fā)表）。

漢堡和量子力學(xué)

泡利在漢堡時(shí)，對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)當(dāng)然不僅僅是催生了海森堡的矩陣力學(xué)，以及在海森堡督促下，用矩陣力學(xué)解出氫原子問(wèn)題。

1923年，泡利從漢堡到哥本哈根訪問(wèn)約一年。當(dāng)時(shí)他（以及很多同行）關(guān)注的難題是反常塞曼效應(yīng)。在磁場(chǎng)中，每個(gè)原子能級(jí)會(huì)劈裂成若干個(gè)，正比于磁場(chǎng)，也正比于某個(gè)量子數(shù)。但是實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，它們還正比于另外一個(gè)因子g因子，這叫做反常塞曼效應(yīng)，以區(qū)別于g是1的情況（正常塞曼效應(yīng)）。

這個(gè)今天在教科書(shū)中一個(gè)例子，當(dāng)年“引無(wú)數(shù)英雄競(jìng)折腰“，因?yàn)榉闯Ｈㄒ约昂ぴ訂?wèn)題）體現(xiàn)了老量子論的缺點(diǎn)。 泡利曾經(jīng)在哥本哈根街道上被人喊住：“你看上去很不開(kāi)心？” 泡利說(shuō)：“當(dāng)一個(gè)人思考反常塞曼效應(yīng)的時(shí)候，如何能夠開(kāi)心呢？”。9月，玻爾和克萊默斯出訪英國(guó)（后來(lái)玻爾又從那里去美國(guó)訪問(wèn)），泡利給波爾寫(xiě)了封信， 抱怨玻爾帶走了克萊默斯，使得他少了一個(gè)可以討論的對(duì)象。10月4日，泡利回到漢堡。

20歲的海森堡提出所謂的矢量模型，朗德（A. Lande）在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出一個(gè)g因子公式，與現(xiàn)在所用的公式一樣。事實(shí)上，泡利曾經(jīng)在給朗德的信中給出這個(gè)結(jié)果，但是他自己不滿意，所以他曾經(jīng)寫(xiě)信給朗德. 諷刺后者發(fā)表了自己得到的不喜歡的結(jié)果。

怎么解釋g因子公式？物理學(xué)家傷透腦筋。當(dāng)時(shí)人們將現(xiàn)在所知的自旋量子數(shù)(取正負(fù)1/2)歸結(jié)于 1924年底，為了解決反常塞曼效應(yīng)，泡利提出不相容原理，將這個(gè)量子數(shù)歸結(jié)為價(jià)電子。而由于不相容原理，內(nèi)層電子填滿，這也解釋了原子中電子軌道（殼層）的填充。特別是，這說(shuō)明每個(gè)軌道的電子存在二值性，也就是說(shuō)，除了軌道自由度，還有一個(gè)內(nèi)稟自由度。

1924年11月，泡利將此想法寫(xiě)信告訴圖賓根的朗德，朗德又告訴從美國(guó)來(lái)訪的克羅尼格。克羅尼格將泡利的內(nèi)稟自由度解釋成電子繞自己的旋轉(zhuǎn)（自旋）。1月，泡利來(lái)訪，否定科克羅尼格的想法。克羅尼格又訪問(wèn)了玻爾、克雷默斯、海森堡。這些重要的物理學(xué)家也否認(rèn)克羅尼格的想法。所以克羅尼格沒(méi)有發(fā)表這個(gè)想法。 泡利對(duì)自己提出的這個(gè)內(nèi)稟自由度也無(wú)所適從，所以有了那個(gè)著名的給克羅尼格的信中所說(shuō)：“物理學(xué)再次進(jìn)入死胡同。” 但是10月，荷蘭埃倫費(fèi)斯特的兩個(gè)學(xué)生烏倫貝克和哥德斯密特獨(dú)立發(fā)表了關(guān)于自旋的想法。

從1924年后期到1925年，量子力學(xué)相繼取得了3個(gè)突破：不相容原理、矩陣力學(xué)第一篇文章、自旋。這三項(xiàng)進(jìn)展對(duì)于量子革命的作用，頗為類(lèi)似于三大戰(zhàn)役對(duì)于解放戰(zhàn)爭(zhēng)的作用。薛定諤關(guān)于波動(dòng)力學(xué)的6篇文章從1926年1月開(kāi)始發(fā)表。

自旋的提出是不相容原理的后果。所以這些進(jìn)展首先發(fā)生的地方是黑爾戈蘭島和漢堡。期待漢堡大學(xué)立個(gè)泡利雕像，黑爾戈島上海森堡像。

物理學(xué)家對(duì)自己的英雄和英雄之地有朝圣之情。2025年6月9日開(kāi)始的一周，為了紀(jì)念量子力學(xué)一百年，大概300名物理學(xué)家召開(kāi)一個(gè)“黑爾戈蘭島一百年”的會(huì)議（潘建偉院士將通過(guò)網(wǎng)絡(luò)做邀請(qǐng)報(bào)告）。 不過(guò)可惜的是，雖然會(huì)議第一天的日程安排在漢堡，而且要從漢堡坐船來(lái)回黑爾戈蘭島，會(huì)議宣傳中，沒(méi)有提到漢堡本身在量子力學(xué)史上的重要性。

（2025年6月9日草于漢堡）