選自quantamagazine

作者： Joseph Howlett

機器之心編譯

三百多年前，數學家費馬在書頁邊緣留下了一個看似簡單卻困擾了學者幾個世紀的難題——費馬大定理。

1994 年，Andrew Wiles 的實際性證明為這個傳奇故事畫上了句號。然而，故事并未就此結束。

那場偉大證明的真正遺產，并非僅僅是攻克了一道難題，而是揭示了不同數學世界之間一條深刻的「地下通道」——模塊化定理。這個定理證明了相對簡單的「橢圓曲線」總能與一種叫做「模形式」的對象一一對應。

最近，數學界再次掀起風浪，這條「地下通道」竟然迎來了 pro max 版升級。四位數學家將這種對應關系，從一維的橢圓曲線，延伸到了結構復雜得多的高維對象——「阿貝爾曲面」上。

這一飛躍意義非凡，它朝著實現數學領域的「大一統理論」（即朗蘭茲綱領）邁出了革命性的一步，為解決更多懸而未決的數論難題提供了前所未有的強大工具。

讓我們一起跟隨量子雜志的腳步，開啟這場奇妙的數學之旅。

從費馬大定理到數學統一之夢

1994 年，數學界發生了一場「大地震」。

數學家 Andrew Wiles 終于攻克了費馬大定理 (Fermat’s Last Theorem)，這個數論領域的核心難題已經懸而未決超過三個世紀。這一證明不僅讓數學家們激動不已，甚至登上了《紐約時報》的頭版。

作為數論中一個著名的猜想，費馬定理由法國數學家皮埃爾·德·費馬在 1637 年提出。它的核心內容非常得簡單，卻困擾了數學家超過 350 年。定理陳述如下：

為了攻克這一猜想，Wiles 在另一位數學家 Richard Taylor 的協助下，首先必須證明一個更為精妙的關鍵命題。這個中間命題的意義，遠遠超出了解決猜想的本身。

這個關鍵的證明在于揭示：一種重要的數學方程（即橢圓曲線）總是能與一種截然不同的數學對象（即模形式）緊密關聯起來。Wiles 和 Taylor 本質上打開了一扇連接不同數學領域的「傳送門」。他們揭示出，這兩個領域就像彼此扭曲的鏡像。

這就為數學家們提供了一種強大的研究方法：如果想要理解橢圓曲線的某個性質，他們可以進入模形式的世界，找到并研究其對應的「鏡像」對象，然后再將得出的結論帶回到橢圓曲線的領域。

這種世界之間的聯系被稱為「模性」（Modularity），不僅是證明費馬大定理的工具，它更成為數學家攻克其他難題的萬能鑰匙。

不僅如此，模性理論還是朗蘭茲綱領 (Langlands Program) 的基石，這一宏大的猜想體系試圖構建數學的「終極統一理論」。如果朗蘭茲綱領成立，則各類數學方程（不限于橢圓曲線）都將與其「鏡像世界」的對象綁定。數學家們能自由穿梭于不同數學領域，通過鏡像轉化解決更復雜的問題。

盡管證明模性對應關系極其艱難，甚至被視為「不可能任務」。但在今年 2 月，四位數學家聯手實現了突破。他們將模性理論從橢圓曲線（一維方程）拓展到阿貝爾曲面（二維復雜方程）。

• 論文標題：Modularity theorems for abelian surfaces
• 論文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.20645

團隊成員分別為芝加哥大學的 Frank Calegari、倫敦帝國理工學院的 George Boxer 和 Toby Gee 以及法國國家科研中心的 Vincent Pilloni。他們證明了一大類阿貝爾曲面必然存在對應的模形式。

從左到右分別為 Toby Gee、Frank Calegari 和 Vincent Pilloni。

倫敦帝國理工學院數學家 Ana Caraiani 對此興奮表示：「我們基本都相信這些猜想是對的，但親眼見證它被證實——尤其是在一個曾被認為遙不可及的領域——實在令人震撼！」

這只是長達數年探索的開始！這些數學家們的終極目標是證明所有類型的阿貝爾曲面都滿足模性對應。正如當年橢圓曲線的模性證明催生了無數新研究方向，此次突破已能直接幫助解決許多懸而未決的難題。

挑戰數學界的「禁區」

橢圓曲線是一種基礎方程，僅含 x 和 y 兩個變量。如果你將其解畫成圖像，會呈現看似簡單的曲線。但是這些解之間存在極其豐富的復雜關聯，并頻繁現身于數論的核心難題中。

比如，數學界最棘手的未解之謎——貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（百萬美元懸賞問題），它研究的正是橢圓曲線解的深層規律。

然而，直接研究橢圓曲線往往困難重重，數學家常需另辟蹊徑。這就是模形式的用武之地。

作為數學分析領域的高度對稱函數，模形式具有極強的對稱性（如折疊變換后形態不變），實際運算時遠比橢圓曲線容易處理。

乍看之下，橢圓曲線與模形式「風馬牛不相及」。但 Wiles 和 Taylor 的證明揭示：每個橢圓曲線都對應一個特定模形式，二者共享關鍵數學基因。例如，描述橢圓曲線解的特征數集，會在其對應的模形式中重復出現。

因此，數學家們得以通過模形式這面「透視鏡」，窺見橢圓曲線隱藏的奧秘。他們認為，上述對應關系僅是更普遍真理的一個特例，存在一個比橢圓曲線更廣泛的數學對象類別。所有這些對象，都應在對稱函數宇宙（如模形式所在的世界）中擁有「鏡像伙伴」。這些正是朗蘭茲綱領的核心主張。

橢圓曲線：僅含 x、y 兩個變量，因而它的解可以畫在二維平面上，呈現光滑曲線。如果增加第三個變量 z，解構成三維空間中的彎曲曲面。這種更復雜的對象被稱為阿貝爾曲面，與橢圓曲線一樣，它的解具有數學家想要了解的精妙數學結構。

阿貝爾曲面理應對應更復雜的模形式變體（如橢圓曲線的升級版鏡像）。但是新增變量 z 使其構造難度暴增，解的求解如同在三維迷宮中尋路。證明其模性曾被視為「不可能任務」。

作者之一 Toby Gee 坦言，「這曾是學界刻意避開的禁區，因前人屢試屢敗。」但是，他們四人想要嘗試解決這一難題。

尋找一座橋梁

這四位數學家都參與了朗蘭茲綱領的研究，他們希望能為「一個在現實生活中真正會出現的對象，而不是某些憑空捏造的怪東西」來證明其中一項猜想，Calegari 說道。

阿貝爾曲面不僅確實出現在現實生活中——當然，是數學家眼中的現實生活——而且，證明一個關于它們的模塊化定理將會開啟新的數學大門。「一旦你擁有了這個論斷，你就能做很多若非如此便毫無可能的事情」，Calegari 說。

這幾位數學家于 2016 年開始合作，希望能夠復刻 Taylor 和 Wiles 在證明橢圓曲線時所遵循的步驟。但是，對于阿貝爾曲面而言，其中的每一步都遠比之前復雜。

因此，他們將研究重點集中在一種更容易處理的特殊類型阿貝爾曲面——即「普通阿貝爾曲面」上。對于任何一個此類曲面，都有一組數字可以描述其解的結構。如果他們能證明同樣這組數字也可以從一個模形式中推導出來，那么大功就告成了。這組數字將作為一個獨特的標簽，讓他們能將每一個阿貝爾曲面與一個模形式配對。

問題在于，盡管為一個給定的阿貝爾曲面計算這些數字十分簡單，數學家們卻不知道如何構建一個帶有完全相同標簽的模形式。當要求如此嚴格時，模形式的構建就變得異常困難。「你所尋找的那些對象，你甚至不能確定它們是否存在」，Pilloni 說道。

作為替代方案，數學家們證明了，只需構建一個其數字能在更弱的意義上與阿貝爾曲面的數字相匹配的模形式就足夠了。這個模形式的數字只需在所謂的「時鐘算術」范疇內等價即可。

想象一個時鐘：如果時針從 10 點開始，走過 4 個小時，它將指向 2 點。但時鐘算術可以用任何數字來進行，而不僅僅是（像現實世界中的時鐘那樣）數字 12。

Boxer、Calegari、Gee 和 Pilloni 只需要證明，當他們使用一個以 3 為周期的時鐘時，他們那兩組數字是匹配的。這意味著，對于一個給定的阿貝爾曲面，數學家們在構建相關聯的模形式時擁有了更大的靈活性。

但即便如此，這也被證明是太困難了。

后來，他們偶然發現了一批模形式的寶庫，其對應的數字非常容易計算——只要他們根據一個以 2 為周期的時鐘來定義這些數字。但是，阿貝爾曲面需要的是一個以 3 為周期的時鐘。

數學家們對于如何大致地橋接這兩個不同的時鐘體系有了一些想法，但他們不知道如何使這種聯系變得嚴絲合縫，以便在模形式的世界里為阿貝爾曲面找到一個真正的匹配。就在這時，一項新的數學成果出現了，而它恰好就是他們所需要的。

意外的援手

Lue Pan 在數論這個看似不同的領域的工作被證明是必不可少的。

2020 年，一位名叫 Lue Pan 的數論學家發表了一篇關于模形式的證明，起初看來與這四人組的問題并無關聯。但他很快意識到，他所發展的技術有著驚人的相關性。「我當時完全沒想到」，Pan 說道。

經過數年主要通過 Zoom 進行的定期會議，數學家們在化用 Pan 的技術方面開始取得進展，但主要的障礙依然存在。然后，在 2023 年夏天，Boxer、Gee 和 Pilloni 將德國波恩的一場會議視為一次完美的聚首機會。

Gee 為團隊在 Hausdorff Research Institute 的地下室爭取到了一間房間，在那里他們不太可能被過路的數學家打擾。他們在那里花了整整一周的時間研究 Pan 的定理，日復一日地工作 12 個小時，只是偶爾才到地面上來補充點咖啡因。「喝完咖啡后，我們總會開玩笑說，我們得『回到礦井』去了」，Pilloni 說。

辛苦的付出終有回報。「后來還有很多曲折」，Calegari 說，「但在那一周結束時，我認為我們或多或少已經搞定了。」

又花了一年半的時間，他們才將 Calegari 的信念轉化為一篇長達 230 頁的證明，并于今年 2 月將其發布在網上。他們將所有部分拼接在一起，證明了任何普通阿貝爾曲面都有一個與之相關聯的模形式。

他們這個新的門戶有朝一日可能會像 Taylor 和 Wiles 的結果一樣強大，揭示出關于阿貝爾曲面的、超乎任何人想象的更多信息。但首先，團隊必須將他們的結果擴展到非普通的阿貝爾曲面。他們已經與 Pan 合作，繼續這場探索。「十年后，如果我們還沒能找到它們中的絕大部分，我會感到很驚訝」，Gee 說。

這項工作也讓數學家們得以提出新的猜想——例如 Birch and Swinnerton-Dyer 猜想的一個類比，其中涉及的是阿貝爾曲面而非橢圓曲線。「現在我們至少知道，對于這些普通曲面，這個類比是講得通的」，麻省理工學院 (MIT) 的數學家 Andrew Sutherland 說。「在此之前，我們并不知道這一點。」

「由于這個定理，許多我曾夢想有一天能夠證明的東西，現在都變得觸手可及了」，他補充道。「它改變了一切。」

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