一、等差等比數列基礎題型

1. 等差/等比定義判斷
2. 證明數列為等差或等比（定義法、中項法）
   ：已知遞推關系 $a_{n+1} = 2a_n + 3$，證明 ${a_n+3}$ 為等比數列。
3. 基本量求解
4. 已知 $a_n, S_n, d(q)$ 中的部分量，求其余量（列方程組）
   ：等差數列 ${a_n}$ 前5項和 $T_5=105$，$a_{10}=2a_5$，求通項公式。
5. 性質應用
6. 利用等差中項 $a_m + a_n = 2a_p$（$m+n=2p$），等比中項 $a_m \cdot a_n = a_p^2$ 求最值或參數
   ：正項等差數列前20項和 $S_{20}=100$，求 $a_7 \cdot a_{14}$ 最大值（答案：25）。
7. 片段和問題
8. $S_m, S_{2m}-S_m, S_{3m}-S_{2m}$ 成等差/等比
   ：等比數列 $S_2=3$，$S_4=15$，則 $S_6=63$。

∑二、數列通項與求和方法題型

（一）通項求解

1. 累加法：$a_n - a_{n-1} = f(n)$ 型
2. 累乘法：$\frac{a_n}{a_{n-1}} = g(n)$ 型
3. 待定系數法：$a_{n+1} = pa_n + q$ 構造等比
4. 取倒數法：$a_{n+1} = \frac{pa_n}{qa_n + r}$

（二）求和技巧

1. 錯位相減法
2. 等差×等比型（如 $c_n = n \cdot 3^n$）
   ：$T_n = \sum n \cdot 3^n \to T_n = \frac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$。
3. 裂項相消法
4. $\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right)$
   ：$\sum \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$。
5. 分組求和法
6. 分離正負項、奇偶項或不同規律子列
   ：求 $S_n = (1-2) + (3-4) + \cdots + [(2n-1)-2n]$（答案：$-n$）。
7. 并項求和
8. 周期數列或相鄰項合并

??三、數列綜合應用題型

1. 數列與不等式
2. 證明 $S_n < k$ 或求參數范圍（放縮法、數學歸納法）
   ：證明 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < 2 - \frac{1}{n}$（裂項放縮）。
3. 數列與函數
4. 利用函數單調性研究數列最值（注意定義域為 $\mathbb{N}^*$）
   ：$a_n = n^2 - kn$ 為增數列，求 $k$ 范圍（答案：$k \leq 2.5$）。
5. 實際應用模型
6. 增長率問題（等比模型）、分期付款（等差模型）
7. 新定義數列
8. 給定新運算或規則（如“和諧數列”），探究性質

四、創新與探索題型

1. 規律探索型
2. 觀察前幾項歸納通項（需驗證）
3. 存在性問題
4. 判斷是否存在滿足條件的子列或參數
5. 最值問題
6. 求 $|a_n|$ 最大項或 $S_n$ 最值（結合函數或不等式）
   ：等差數列 ${a_n}$ 首項 $a_1>0$，$d<0$，求使 $S_n$ 最大的 $n$。

高頻題型方法速查表

題型類別

核心方法

難易度

出現頻率

??備考建議

1. 易錯點防范
2. 驗證 $n=1$ 是否滿足通項（尤其含參數時）
3. 等比求和時討論 $q=1$ 的情況
4. 裂項求和時檢查剩余項（首尾留項）
5. 策略提升
6. 復雜遞推先用前幾項試探規律
7. 綜合題優先轉化為等差/等比模型

例題精練：已知 $S_n = \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3}$，求 $a_n$（答案：$a_n = (-2)^{n-1}$）。

系統掌握上述題型后，可覆蓋高考數列90%以上考點。建議結合本地真題重點突破錯位相減、裂項求和及放縮證明三類核心技巧，并注意易錯細節。