女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

前11個對稱群最好用一個正方形的基本單元來解釋。有些圖案也可以用其他形狀生成。這些形狀將在后面討論，但為了簡單起見，正方形用于插圖和練習。為了讓你看到圖案根據所應用的對稱操作會有多大的不同，在解釋所有前11個對稱組時使用了相同的基本單元。

圖 3.1. 基本單元。

使用對稱性

下文詳細介紹了如何通過各種方式操作主單元來創建圖案。看插圖和閱讀并不一定能鞏固如何生成對稱圖案的概念。直到我坐在原生單元上操作，并在每個組中排列圖案，我才完全理解對稱組的概念。對你來說，最簡單的學習方法是自己移動和排列單元格，我建議你做這些章節中的每一個練習。

要在每個對稱組中創建圖案，首先要切割出單個的初級單元，并將其中兩個或多個單元粘在一起，以創建一個拼塊。然后制作幾個相同的拼塊，并使拼塊朝向相同的方向。并排放置拼塊以形成圖案。

前11個對稱組中的圖案在本章中已作了說明，可以使用這里所示的主單元片來形成圖案。

1.平移對稱（p1）

第一對稱組的圖案最容易。在平移中，主要的單元是拼片，并且這個單元或拼片通過平移一遍又一遍地重復。拼塊總是朝向相同的方向，并向側面和上下移動。

圖3.2顯示了并排平移的初級單元，是平移(p1)對稱的一個例子。

標準符號—p1

我發現把第一個對稱稱為“平移”是最簡單的，但是對于那些希望將其稱為“p1”的人，我對標準標記系統的解釋如下。p指的是原單元，p后面的數有兩種解釋。首先，1可以表示用于生成圖案的單元格旋轉的次數。在本例中，1表示將原始單元格(p)旋轉一(1)圈或360度來創建圖案。所以本質上它只是旋轉回自己。因此，一個單元創建拼片，并且該單個單元或拼片被轉換為圖案。對1的另一種解釋是簡單地將其稱為占位符，因為創建切片不需要任何操作。

圖3.2 平移對稱

有時，分析模式和理解主單元和拼塊或平移單元的位置會令人困惑。事實上，當看一個整體的設計時，就像在許多織物中常見的那樣，任何數量的不同部分都可以被認為是一個拼塊。主要考慮的是找到一個包含設計的所有部分的區域，這些部分將一遍又一遍地重復以產生圖案。

我們傾向于看到一個特定的圖案，并想把它想象成拼塊，但事實上拼塊可能只包含圖案的一部分，當拼塊結合在一起時，這些部分再次結合起來形成整個圖案。尋找重復設計的最簡單方法之一是在相鄰圖案相遇的地方畫線，在設計表面創建一個網格，就像埃舍爾的鳥一樣(插圖3.3)。或者，從圖案的某個部分到相鄰圖案的相同部分畫線，如插圖3.4所示的織物設計。

圖3.3 M. C.埃舍爾的《第128號對稱圖》

圖3.4 顯示平移對稱的織物設計

2.中點或半圈旋轉(p2)對稱

需要兩個主要單元來創建中點或半圈旋轉(p2)對稱組中設計的單幅圖塊。為了了解這個對稱群是如何工作的，取兩個基本單元，把它們一個疊在另一個上面。現在把一個大頭針放在一邊的中點，把上面的那個旋轉180度。如圖3.5所示，你將得到一個向上的單元格和一個向下的單元格。

圖3.5 創建中點旋轉對稱拼塊

標準符號—p2

這種對稱性的p2標記可以解釋為在邊的中點旋轉180 °( 2)的主單元(p)。在p1中，單元使用了整個360。在p2中，單元格使用一半的度數，即180度，因此需要兩個單元格來構成完整的360度，或創建單幅圖塊。

創建圖塊集，然后通過平移將圖塊放在一起。根據這種對稱性，可以生成三種不同的圖案，這取決于是單元的側面、底部，還是側面和底部都中點旋轉。(無論中點旋轉單元格的右側還是左側，都會出現相同的整體模式，如圖3.6a所示。第二種模式也是如此；通過旋轉單元的頂部或底部，你將獲得相同的設計，如圖3.6b所示。)第三種圖案可以通過雙中點旋轉來制作。這需要四個初級單元。一旦單元格的邊被中點旋轉，中點旋轉每個單元格的底部(圖3.6c)。

圖3.6 中點旋轉(p2)對稱性的三種變化示例。

圖3.7 中點旋轉對稱的例子。圓點表示旋轉發生的位置。

圖3.8 梅花J是中點旋轉(p2)對稱的一個例子。

大寫字母N、Z和S是中點旋轉對稱的例子。你會發現，如果你將其中一個字母切成兩半，將其中一半畫在描圖紙上，然后將圖紙旋轉180度，這一半將與另一半完全吻合。pod這個詞也是如此。如果單詞通過o垂直分成兩半，你會看到當一半旋轉180°時，兩半是一樣的(圖3.7)。

我記得小時候我是多么著迷于一副紙牌中的J、Q和K。我不太明白怎么會有人設計出一個圖案，并且知道當你把卡片翻過來的時候，盯著你的臉會完全一樣。但是當卡片被切成兩半時，你可以看到兩半是完全一樣的，一半只是在中點旋轉了180度(圖3.8)。

交錯網格或鏈狀柵欄也是中點旋轉對稱。查看設計時，很難看出圖案是如何產生的，但如果將公共點連接起來，在設計中創建一個網格，圖案是如何產生的就很明顯了，如圖3.9所示。中點旋轉(p2)的其他示例如圖3.10至3.12所示。

圖3.9 起初，一個交織的格子圖案可能會令人困惑，但當網格放在上面時，初級單元就可以被分割出來。

圖3.10 這種面料的圖案是中點旋轉(p2)對稱的一個例子。底層網格是一個平行四邊形。

圖3.11 這個在尼泊爾加德滿都市中心街道上發現的窗戶是中點旋轉(p2)對稱性的另一個例子。

圖3.12 這張伊朗馬鞍毯是中點旋轉(p2)對稱的一個例子。華盛頓特區紡織博物館

3.風車或90°旋轉(p4)對稱

在風車(p4)對稱組中需要創建四個單元格。堆疊四個主要單元在彼此之上，以確保他們的方向是相同的。用大頭針固定其中一個角，將前三個角旋轉90°，然后將頂部兩個角旋轉90°，最后將頂部一個角旋轉90°，直到它們全部圍繞這個角旋轉，形成拼塊。

圖3.13 由九塊拼塊組成的圖案。主單元格圍繞右下角旋轉。

圖3.14 由九塊拼塊組成的圖案。主單元格圍繞左下角旋轉。

取決于旋轉哪個角，可以用該對稱組中的主單元生成兩種不同的圖案。如果右上角或左下角旋轉，則創建一個圖案，如果左上角或右下角旋轉，則出現不同的圖案。但是，應該做一個說明。如果右下角和左上角旋轉，將出現不同的方塊，但是當方塊重復時，將出現相同的圖案。旋轉右上角和左下角也是如此。

標準符號-p4

這種對稱性的p4標記可以被解釋為圍繞一個角旋轉四(4)次的主單元(p)。在這種對稱中，我很容易看到一個風車，我更愿意稱之為風車對稱。

插圖3.15和3.16顯示了風車(p4)對稱性的幾個例子。

插圖3.15 .傳統風格絎縫圖案中的風車(p4)對稱示例。

圖3.16 .說明風車(p4)對稱性的鑲嵌織物設計。

4.滑移對稱（pg）

到目前為止，已經討論過的三個對稱群都涉及主晶胞的旋轉，而沒有翻轉。接下來的八個對稱組要求主單元翻轉或上下顛倒。

需要兩個單元來構成滑移(pg)對稱組中圖案的平鋪。要創建單幅圖塊，請將兩個單元格堆疊在一起，兩個單元格都是正面朝上且方向相同。現在拿起頂部的單元格，向右移動(水平)，然后上下翻轉(垂直)。這是一次滑移(圖3.17)。將拼塊放在一起時，你會看到有垂直的行，第一行所有拼塊都朝向同一方向，下一行拼塊翻轉。想象幾排并排的拉鏈，你會得到一個相似類型的圖案(圖3.18)。

圖3.17 當主單元水平移動和垂直翻轉時，形成一種滑移(pg)對稱模式。

圖3.18 成排的拉鏈顯示出滑移對稱

標準符號-pg

這種對稱的pg名稱指的是具有滑移反射(g)的主要單元(p)。我覺得叫它滑移最簡單。

根據滑移的方式，可以用滑移創建四種不同的圖案。例如，圖3.17中的圖案是通過水平(橫向)移動單元格并垂直翻轉它而創建的，但如果單元格向下(垂直)移動，然后水平翻轉，則會形成不同的圖案(圖3.19)。生成滑移時要記住的要點是，如果單元格水平移動，它會垂直翻轉。相反，如果單元格垂直移動，它會水平翻轉。這里未示出的兩種模式也可以通過對角滑移主單元來創建。(參見第21頁。)插圖3.20到3.22描述了用滑移對稱創建的其他圖案。合唱線編排舉例說明了滑移對稱，其中單元首先水平移動，然后垂直翻轉。圖3.22顯示了圖案是如何創建的。

圖3.19 通過垂直移動單元格和水平翻轉形成的滑移模式

圖3.20 傳統幾何圖案中滑移對稱的例子

圖3.21 展示滑移(pg)對稱示例的織物設計

5.雙滑移(pgg)對稱性

需要四個單元來構成雙滑移(pgg)對稱的拼塊。取四個原始單元，將其中兩個堆疊在一起，正面朝上，方向相同。水平滑移(水平移動頂部單元格，垂直翻轉)。取另一個單元格，將其放在同一方向的第一個單元格(左上角的單元格)上，這次進行垂直滑移(垂直向下滑移單元格，水平翻轉)。最后把最后一個單元格放在你剛剛滑過的那個(左下角的那個)上面。確保它與放置它的單元格處于完全相同的位置。現在向右滑移單元格以填充最后一個洞。(水平移動，垂直翻轉。)

標準符號—pgg

pgg標簽是指帶有兩個滑移(gg)的主單元(p)。晶體學家在符號中保留一個2(p2gg)。我對這個符號的解釋是，主單元(p)有兩個滑移(gg)并旋轉了180°(2)。

為了理解如何使用這種符號生成圖塊，請創建兩個水平滑移的圖塊，并將它們以相同的方向堆疊在一起。現在，在兩塊拼塊之間的底部放置一個大頭針，并將頂部的一個旋轉180度到底部。你會發現這是另一種生成雙滑移拼塊的方式，因為這種拼塊與對面顯示的拼塊完全相同。

圖3.23 雙滑移(pgg)對稱

圖3.24和圖3.25展示了雙滑移(pgg)對稱的例子。

圖3.24 為雙滑移(pgg)對稱創建圖塊的另一種方法

圖3.25 雙滑移(pgg)對稱的例子

6.鏡像對稱 (pm)

需要兩個單元來為鏡像(pm)對稱組中的圖案生成單幅圖塊。取兩個單元，正面朝上堆疊，一個放在另一個上面，確保它們的方向一致。單元格上的R表示右側。在單元的一側放置一面鏡子，看看圖案的鏡像是什么樣子。

要創建拼貼，假設你正在打開一本書的封底。拿起最上面的單元，打開它。用膠帶將兩個單元粘在一起，形成拼塊。實際上，單元是水平移動的，然后水平翻轉。制作幾個拼塊，然后通過平移將拼塊一個接一個地放在一起。創建鏡像單幅圖塊與創建滑移單幅圖塊非常相似，但有一個非常重要的區別。在滑移中，如果單元水平移動，它會垂直翻轉，而在鏡像中，如果單元水平移動，它也會水平翻轉，因此一個單元是另一個單元的精確鏡像。

圖3.26 鏡像對稱(pm)

標準符號——pm

在標準符號標記系統中，pm代表主單元(p)和鏡像單元(m)。

圖3.27 傳統風格被子圖案中的鏡像對稱示例

根據單元的哪一側被鏡像，可以出現兩種不同的圖案。如果鏡像左側或右側(垂直鏡像),將出現與鏡像單元頂部或底部(水平鏡像)不同的模式。術語水平鏡和垂直鏡指的是鏡線的實際位置。

蝴蝶、人形、老虎的臉——都是鏡像對稱的例子。大寫字母T、Y、U、A、V和M以及單詞bud就是垂直鏡像的例子。字母E、D、K、C和B是水平鏡像的例子。插圖3.27至3.31展示了通過鏡像(pm)對稱創建的設計示例。

圖3.28垂直和水平鏡像示例

圖3.29 .鏡面對稱織物，單元格是矩形

7.交錯鏡像對稱(cm)

交錯鏡像(cm)對稱組與鏡像(pm)對稱組非常相似，唯一的區別是鏡像單元在放在一起時是交錯的，而不是一個排列在另一個之上。需要四個主要單元來為該對稱組中的圖案創建正方形小塊。

標準符號—cm

在標準符號標簽中，c代表“居中”單元，m代表鏡像。我只是覺得交錯鏡像容易看到也容易記住。

圖3.32。可以用交錯鏡像(cm)對稱創建兩個不同的拼塊，并且它們各自產生不同的圖案。

要生成單幅圖塊，請像在“鏡像(pm)”對稱組中一樣制作兩個鏡像單幅圖塊。現在錯開拼塊，如圖3.32所示。這種交錯的單元群實際上可以用于拼塊，因為這些單元會不斷地組合在一起形成圖案，但使用起來會很別扭。使用方形拼塊更容易。要創建方形圖塊，請選擇右下角突出的單元格，并將其移動到左邊的洞內。

就像在鏡像對稱組中一樣，根據單元是鏡像到兩側中的一側然后交錯，還是鏡像到頂部或底部然后交錯，會出現兩種完全不同的圖案。

圖3.33 .由交錯鏡像(cm)對稱創建的兩塊拼塊形成的圖案

交錯鏡像(cm)對稱組中的圖案很有趣，因為兩個不同的單元，一個正方形和一個三角形，可以用于生成相同的設計。事實上，許多具有這種對稱性的圖形的原始單元，在三角形中比在正方形中更明顯。例如，再次查看用主單元創建的圖案，你將開始看到，不是鏡像的正方形單元，而是由兩個鏡像的三角形組成的對角設置的正方形。兩種單元產生相同的模式。圖3.34中的紅線表示方形單元和拼塊以及三角形單元和拼塊。

圖3.34三角形初級單元的交錯鏡像(cm)對稱。正方形和三角形單元都生成相同的圖案。插圖中的紅線表示正方形和三角形的主單元格和單幅圖塊。

圖3.35 .花籃設計顯示由三角形和正方形初級單元形成的花磚。

圖3.37。在傳統風格的被子圖案中，交錯鏡子(厘米)對稱的例子。

圖3.38。織物設計顯示交錯鏡像(厘米)對稱的例子

8.滑移交錯鏡像對稱(pmg)

滑移交錯鏡像(pmg)對稱群幾乎與交錯鏡像群相同，只有一個主要區別。當一組反射鏡與另一組反射鏡交錯時，如交錯反射(cm ),該組反射鏡也會上下顛倒。要創建單幅圖塊，請制作兩組鏡像單元，就像前面的兩個對稱組一樣。錯開一組鏡子，然后垂直翻轉或旋轉180度。要創建一個正方形拼塊，拿起右邊突出的單元格，移動它來填充左邊的洞。根據鏡像主單元的哪一側，可以創建兩種不同的模式。插圖3.39顯示了兩種可能性以及如何制作拼塊。將這些與圖3.32中的交錯鏡像對稱組進行比較。

標準符號-pmg

在標記系統中，pmg代表初級單元(p ),它首先被鏡像(m ),然后被滑移(g)。

插圖3.39。從同一個單元創建的兩個不同的單幅圖塊，具有滑移交錯鏡像(pmg)對稱性。

圖3.40和圖3.41中的示例還顯示了滑移交錯鏡像(pmg)對稱組中的模式。

圖3.40由滑移交錯鏡像(pmg)對稱產生的兩塊拼塊形成的圖案。

圖3.41 滑移交錯鏡像對稱的例子。每組設計都使用了相同的單元格。設計上的差異是基于單元的哪一側被鏡像。

9.雙鏡面對稱(pmm)

創建雙鏡像(pmm)對稱組的單幅圖塊需要四個主要單元。將鏡子放在一個初級單元的四面，然后觀察它們，看看對稱群產生的圖案是什么樣子。要創建單幅圖塊，請制作兩組鏡像對。將它們堆疊在一起，朝向相同的方向。然后簡單地向下移動單元格，垂直翻轉它們。

標準符號-pmm

在這種對稱性的標記系統中，p代表主單元，mm表示沿直角方向有水平和垂直的鏡面。

圖3.43 雙鏡面對稱

圖3.44傳統風格絎縫圖案中的雙鏡面(pmm)對稱示例。

圖3.45顯示雙鏡面(pmm)對稱示例的織物設計。

10.交錯雙鏡(cmm)對稱

交錯雙鏡(cmm)對稱非常有趣，這組圖案非常動態。八個正方形單元組成拼塊，根據單元的轉動方式可以產生四種不同的圖案。首先制作兩塊雙鏡面拼塊(參見第57頁的對稱說明)，然后如圖3.46所示交錯排列這些拼塊。正如在交錯鏡像和交錯滑移鏡像對稱組中一樣，很難處理形狀奇怪的拼塊。因此，通過將右下角的兩個單元格直接向上移動來填充這個洞，將它變成一個矩形。

標準符號—cmm

最容易想到的是，這個對稱群的標記系統是以三角形為基本單元的。這個三角形產生一個覆蓋最小面積的拼塊。c代表“居中單元”,第一個m表示直角邊上的鏡像，第二個m表示生成的三角形沿其最長邊鏡像。

圖3.46 交錯雙鏡(cmm)對稱

圖3.47可用于交錯雙鏡(cmm)對稱的三角形單元。

圖3.48織物設計顯示了交錯雙鏡(cmm)對稱的示例。

正如在交錯鏡像(cm)對稱群中一樣，三角形單元也可以用于在該對稱群中生成圖案。這個三角形必須包含一個直角。圖3.47中的紅線表示也能產生這種圖案的單元，但當在織物或玻璃等介質中復制這種圖案時，上一頁所示的正方形單元要實用得多。為了創建圖塊，三角形在形成直角的兩條邊上被雙重鏡像。兩個單元，正方形的和三角形的，產生相同的圖案。

絎縫沙漠玫瑰是交錯雙鏡(cmm)對稱的一個例子，如圖3.48所示。使用交錯的雙鏡像對稱很容易生成圖案，但是當分析某些設計時，原始單元和拼塊有時難以辨別。

因為該單元可以沿四個角的每一個附近的邊被雙鏡像，所以產生四組不同的單元。如果這些是在雙鏡像對稱組中的拼塊，它們將產生相同的圖案，但是由于雙鏡像是交錯的，每個產生不同的圖案。

11 四次旋轉鏡像或鏡像風車(p4g)對稱

第三個對稱組，風車(p4)，包括圍繞一個角旋轉主單元四次；因此，四個單元構成了拼塊。總共需要16個單元來制造鏡像風車(p4g)對稱的拼塊，其中八個單元正面朝上，八個單元反面朝上。

標準符號-p4g

有多種方法可以移動單元格來實現相同的模式。這種對稱性的標記系統似乎是以三角形為基本單元的。首先將單元格繞直角旋轉四次(p4)，然后滑移結果(g)，這產生的結果與正方形單元格旋轉四次然后鏡像的結果相同。

圖3.50 主單元的四個角中的每一個都可以旋轉，以產生四個不同的轉輪塊。將鏡子放在風車狀拼塊的所有面上，看看鏡像風車狀(p4g)對稱圖案是什么樣子。

圖3.51 可以從主單元創建的四個圖塊中的兩個

要在鏡像風車(p4g)對稱組中創建圖案，從風車拼塊開始(參見第39頁)，然后在所有面上鏡像該單元。在風車(p4)對稱組中，你看到了如何根據旋轉的角生成兩種不同的圖案。鏡像風車(p4g)對稱組中的圖案也是如此，只是這次可以通過旋轉四個角中的每一個來生成四個不同的圖案。你可以從四個風車狀拼塊中的任何一個開始。鏡像所有的面，想出四種不同的設計，如圖3.52所示。需要兩個風車和兩個反向或鏡像的風車來制作重復的拼塊。將單元影印到纖維上，創建四個風車狀拼塊，正面朝上。現在將其中兩個翻轉過來，如圖3.51所示交替放置。

要看到圖案是什么樣子，沿著風車狀拼塊的兩邊以直角放置兩個鏡子。

在交錯鏡像(cm)和交錯雙鏡像(cmm)對稱組中，你看到了相同的圖案是如何從兩個不同的原始單元生成的，一個是正方形，另一個是三角形。鏡像風車(p4g)模式也是如此。根據設計和如何使用，這種三角形單元可能更有效，因為重復的拼塊更小，需要的單元更少。在任何一種情況下，無論是方形單元還是三角形單元被隔離，模式都是相同的。

圖3.52 可以使用鏡像風車(p4g)對稱創建的四種模式的示例

圖3.53 展示鏡像風車(p4g)對稱示例的面料設計。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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