女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

七種飾帶圖案是眾所周知的，但如果想在一條材料中展示多種對稱性，它們之間的過渡是必要的，以便展示所有可用的對稱性，而不會突然改變設計。這項工作探索了七種傳統飾帶圖案之間的可行轉換，初步考慮將這一結果擴展到十七種利用顏色反轉對稱性的飾帶圖案。

眾所周知，對于出現在飾帶中的周期性圖案(通常稱為“飾帶圖案”)，可能有七種不同的對稱群。許多論文討論了飾帶圖案，特別是考慮到它們在非代表性藝術中的文化流行[1，4，5，6]，它們非常適合裝飾性的邊界或窄帶材料，如皮帶。然而，為了在一件作品中展示多種圖案，使用允許一種圖案自然流入另一種圖案的過渡狀態提供了一種在一件作品中使用各種不同對稱組的不引人注目的方法。不同鑲嵌或鑲嵌之間的過渡已被廣泛用于以鑲嵌為導向的工作，特別是在M·C·埃舍爾的變形系列版畫和威廉赫夫的拼花變形，這也是以前的bridge論文[2，3]的主題。然而，大多數涉及圖案過渡的工作都是在保持單一基本對稱性的同時對圖案進行變形，而不是展示各種對稱性；一個顯著的例外是Karl Schaffer對舞蹈中對稱性的探索，隨著時間的推移，舞蹈家群體中對稱性的變化是一種廣泛使用的舞蹈技巧[7]。本文旨在闡明如何在一件作品中通過適當的過渡來表達多種不同的對稱：例如，雖然飾帶群可以用七條單獨的腰帶來展示，每條腰帶都有不同的圖案，但展示對稱的優雅方式將允許用一條腰帶展示所有對稱。

因為這個項目的目的是作為對上面討論的顏色反轉對稱的最終探索的序言，我們可以在一開始就確定，圖案具有等量的正(黑色)和負(白色)空間是可取的；這是任何顏色反轉對稱的必要屬性，但我們將要求它，即使這項工作涉及的圖案，它不是由底層對稱性強制要求的。同樣考慮到以后引入這類更大的對稱，為了恰當地考慮七個標準飾帶對稱群作為構成顏色反轉群的子群，我們將只展示那些根本不具有任何顏色反轉對稱性的橫紋作為這七個橫紋的代表。

受這些限制，圖1中顯示了七個橫紋組的代表性顏色平衡圖案，并通過其標準晶體學名稱進行識別。如果一個對稱的保模變換群是高階對稱的子群，那么它就可以說是低階對稱。保持對稱變換偏序集的Hasse圖如圖2所示。

圖1：顯示可能的飾帶對稱的七種圖案

圖2：七種飾帶對稱的Hasse圖

通過從低階對稱到高階對稱的轉變，我們的意思是在單個周期內出現的圖案的連續變形，使得圖案在轉換過程中所有點都表現出低階對稱，僅在變形結束時表現出高階對稱，并且在變形過程中任何點都沒有其他對稱。在圖2中有12對可比較的對稱，特別注意到pmm2和p111之間以及pmg2和p111之間的可比性在Hasse圖中被省略了，因為它們是由順序的傳遞性暗示的。從展示所有這些可比性的角度來看，如果有可能為每一對可比性對稱產生躍遷，那將是理想的。

飾帶對稱之間的過渡

圖1中顯示的特定模式是這樣的，一些轉換是對眾所周知的幾何變換的直接調用，為了簡單起見，我們將描述為應用于黑色區域。具體而言，通過將平行四邊形剪切成矩形，p111展示的圖案可以轉換成pm11展示的圖案，并且類似的過程將p112圖案轉換成pmm2。此外，p111可以通過垂直于中心線平移平行四邊形來轉換成p112，并且對矩形執行的類似過程將pm11轉換成pmm2。最后，通過同時進行這兩種轉化，p111可以直接轉化為pmm2。給出的例子中類似的直接轉換是將p1g1的梯形剪切成pmg2的等腰梯形的結果。為了簡潔起見，這些簡單的轉換沒有一個完整地展示出來。

因為p111是一個非常容易變換的對稱，p111圖案自由變形為三個圖案(p1m1、p1g1和pmg2)也是非常簡單的，盡管以面積保持的方式變形為p1m1在算術上有些混亂。特別地，p111到pmg2的轉換可以通過將每個平行四邊形一分為二成兩個梯形，并將其中一個向上和向右平移來容易地獲得。這種轉換在圖3a中線性顯示。到p1g1的轉換非常相似，包含一個剪切元素，如圖3b所示。為了變換到p1m1，平行四邊形的兩個最右邊的頂點可以自由地向三角形的右頂點移動，而左上頂點進一步向上和向左移動；雖然這些運動中有兩個是線性的，但是為了保持面積，右下角的點實際上會描繪出一條拋物線路徑。這種轉換可以在圖3c中看到。

圖3：從p111對稱到(a) pmg2對稱，(b) p1g1對稱和(c) p1m1對稱的圖案轉換

圖4：圖案從(a) pm11到pmg2對稱，(b) p1m1到pmm2對稱，以及(c) p112到pmg2對稱的變換

圖中每個對稱用一個頂點表示，有效的過渡用鄰接表示，這在視覺上與圖中的Hasse圖非常相似；唯一的區別是pmm2和pmg2與p111的相似性，這在Hasse圖中是隱含的，在轉變圖中是一條邊。這張圖上的歐拉或哈密爾頓遍歷將分別代表每一個躍遷和每一個對稱的展示。

雖然歐拉回路在躍遷圖上是不可能的，因為pm11和p112都參與了三個躍遷，但在躍遷圖上，從pm11到p112的歐拉軌跡是可能的，這意味著有可能做出一條飾帶，顯示狀態之間所有可能的躍遷。圖5展示了這樣一個飾帶，每個過渡由五個重復組成。這個特殊的飾帶對應于歐拉軌跡，它依次訪問頂點pm11, pmm2, p1m1, p111, pmm2, p112, pmg2, p1g1, p111, pmg2, pm11, p111和p112。

圖5：61個重復的飾帶，經歷所有12個過渡；過渡端點顯示為紅色。

周期修改

值得注意的是，任何具有水平反射軸的對稱都有滑移反射，但是滑移反射的相關平移距離是一個完整的周期，而不是一個周期的一半。因此，感覺上圖2中的Hasse圖并不完全準確:p1m1和p2mm具有滑移反射對稱性，因此它們的對稱群是p1g1和pmg2的對稱群的超集，盡管周期是兩倍大。因此，對對稱性轉變的更全面的探索不僅要考慮單個周期的對稱群之間的關系，還要考慮它們與長度減半或加倍的周期上的對稱群之間的關系。

如果我們用下標2表示半周期上的對稱群，那么我們可以考慮14個全寬和半寬對稱的擴展偏序集，其中除了全寬子集和半寬子集內已建立的排序，以及每個全寬對稱與其半寬變體之間的可比性，我們還將具有p1g1 < p1m12和pmg2 < pmm22的可比性。這種結構可以無限地向上或向下擴展，子集不僅可以是半周期的，也可以是四分之一或更小周期的，在相反的方向上可以是兩倍、四倍等等。

未來的工作

還有許多其他對稱族，在這些對稱族上，設計對稱之間的過渡的問題可能對于構建展示多重對稱的展示作品是有意義的。這個項目最初是出于建立一個展示所有17種飾帶反對稱的編織帶的設計的愿望，這些反對稱是由Weber [8]系統化的，它依賴于一個通過飾帶反對稱轉換圖上的哈密爾頓導線展示所有對稱的計劃，或者更雄心勃勃地通過歐拉導線展示所有反對稱轉換。識別過渡的相同過程也可能與十七個平面對稱相關，也稱為“墻紙圖案”，或H.J. Woods的四十六種“變換”平面對稱[9]。然而，平面對稱中的過渡呈現出獨特的挑戰和機遇：不僅圖案，而且基本域也必須作為過渡的一部分改變形狀，并且沿著兩個不同的軸在兩個不同的方向上過渡圖案的能力意味著正在經歷過渡的作品的底層結構可能比簡單地在圖形中穿行更豐富。

參考文獻

[1] B. L. Bodner. “Frieze Patterns of the Alhambra.” Bridges Conference Proceedings. San Sebastian, Spain, July 24–27 2007. pp. 203–208. http://archive.bridgesmathart.org/2007/bridges2007-203.html.

[2] C. S. Kaplan. “Metamorphosis in Escher’s Art.” Bridges Conference Proceedings. Leeuwarden, the Netherlands, July 24–28 2008. pp. 39–46. http://archive.bridgesmathart.org/2008/bridges2008-39.html.

[3] C. S. Kaplan. “Curve Evolution Schemes for Parquet Deformations.” Bridges Conference Proceedings. Pécs, Hungary, July 24–28 2010. pp. 95–102.

http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-95.html.

[4] L. Koss. “One-color Frieze Patterns in Friendship Bracelets: A Cross-Cultural Comparison.” Bridges Conference Proceedings. 2021. pp. 253–256.

http://archive.bridgesmathart.org/2021/bridges2021-253.html.

[5] G. R. Laigo, H. M. GebreYohannes, and F. M. H. Al Khamisi. “Symmetry Groups of Islamic Patterns at the Sultan Qaboos Grand Mosque.” Bridges Conference Proceedings. 2014. pp. 183–190.

http://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.html.

[6] L. Radovic and S. Jablan. “Antisymmetry and Modularity in Ornamental Art.” Bridges Conference Proceedings. 2001. pp. 55–66. http://archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-55.html.

[7] K. Schaffer. “Dichromatic Dances.” Bridges Conference Proceedings. Waterloo, Canada, July 27–31 2017. pp. 291–298. http://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-291.pdf.

[8] L. Weber. “XII. Die Symmetrie homogener ebener Punktsysteme.” Zeitschrift für Kristallographie, vol. 70, 1929, pp. 309–327. https://doi.org/10.1524/zkri.1929.70.1.309.

[9] H. J. Woods. “The Geometrical Basis of Pattern Design. Part IV: Counterchange Symmetry in Plane Patterns.” Journal of the Textile Institute Transactions, vol. 27, no. 12, 1936, pp. T305–T320.

https://doi.org/10.1080/19447023608661695.

[10] D. Jacob Wildstrom, Transition Processes for Frieze Patterns

青山不改，綠水長流，在下告退。

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