女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

許多研究都涉及幾何圖案的分類和分析，尤其是在西班牙阿爾罕布拉宮發現的幾何圖案，但是很少有作者對摩洛哥圖案感興趣，尤其是那些制作在木頭上的圖案。對14世紀至19世紀不同時期的近千個摩洛哥木刻圖案的研究和分析表明，盡管它們有很大的多樣性，但只存在五個平面對稱群。p4mm和c2mm是主要的，p6mm和p2mm不常見，而p4gm很少見。在這項工作中，它表明，使用一個稱為Hasba的大師工匠的方法可能獲得17個平面對稱群。這組圖案是通過Hasba方法從被認為是基本圖案的n重玫瑰花結中產生的。這些基本元素之間的組合和重疊產生了其他基本元素。通過重復這些基本元素，有可能構建具有各種對稱群的圖案。在這篇文章中，只考慮未著色的圖案，不考慮交織圖案。

1. 介紹

20世紀早期，幾位作者對各種文化的裝飾和設計進行了對稱分析(Polya, 1924; Speiser, 1927)。他們中的一些人對阿拉伯伊斯蘭裝飾圖案特別感興趣。在西班牙格拉納達的阿爾罕布拉宮發現的幾何圖案的對稱群吸引了數學家和晶體學家的注意(Muller,1944;Makovicky & Makovicky, 1977)。對阿爾罕布拉宮圖案的分析引起了關于17個對稱群存在性的爭論(Grunbaum & Grunbaum, 1986)

所有這些作者都把他們的工作集中在分類和分析阿爾罕布拉宮的圖案上，他們使用了一套從瓷磚上手工切割出來的特征形狀，稱為zellijs (Makovicky & Fenoll Hach-Ali, 1997;Fenoll Hach-Alf & Lopez Galindo, 2003)。除了Castera(1999)和Makovicky & Makovicky(2011)，很少有作者對木質摩洛哥圖案的對稱性感興趣。

摩洛哥的幾何藝術(Tasstir)在11世紀非常繁榮，在馬里尼德王朝(13-14世紀)時期達到頂峰，如Madrasa Attarine (Fez)這樣的杰作。傳統裝飾中使用的雕刻或涂漆木材完全符合現代建筑的要求。雕刻或繪畫的圖案精美地裝飾著陵墓、歷史遺跡和豪華私人住宅的天花板和入口。

在馬拉喀什和非斯古跡中發現的圖案中，可以發現14世紀至19世紀不同時期的近1000種圖案。這些圖案是通過先前描述的一種稱為Hasba的方法構建的(Thalal et al. 2011)。摩洛哥工匠廣泛采用的Hasba方法，特別是那些在木材上工作的人，導致復雜的面板由圖案組成，中央有對稱的8x2P和12 x 2P，其中p = 0,1,2,3和5 x 2P，，(p' = 0,1,2)，被稱為帶的區域包圍。玫瑰花結是圖案中最重要的元素，預先決定了要創建的重復圖案。

我們對摩洛哥木刻圖案的研究表明，盡管它們有很大的差異，但只有5種平面對稱群。p4mm和c2mm是主要的，p6mm和p2mm不太常見，而p4gm很少見(圖1)。其他對稱群的缺失可以解釋為，工匠們已經達到了完成其他群的能力極限(他們沒有對稱群的知識或者他們沒有高度發達的工具)，或者因為他們偏愛某些對稱而忽略了其他對稱。

目前的工作表明，用Hasba方法由n重玫瑰花結生成的17個對稱平面群是可能的。通過重復被認為是基本主題的玫瑰花結，我們可以組成具有各種對稱群的圖案。本文給出的17個對稱群的例子是用10重和12重玫瑰花形連續密鋪平面得到的。這里只考慮未著色的圖案，不考慮交織圖案。

圖1

(a)非斯Qaraouyine清真寺的對稱群p4mm，(b)馬拉喀什Medersa Ben Youssef的對稱群c2mm，(c)馬拉喀什Bahia宮的對稱群p6mm，(d)馬拉喀什一所私人住宅的對稱群p2mm，(e)馬拉喀什Dar Bieda的對稱群p4mg。

2.用Hasba法構建10重和12重玫瑰花結

Hasba是工匠們最常用的幾何圖案制作方法。Thalal等人(2011年)對此進行了詳盡的描述。工匠們從畫出圖案的大致框架開始工作，通常是正方形；矩形、八邊形和其他多邊形設計并不少見。在框架的邊上，它們定義了經驗單位劃分q。因此，正方形的邊的寬度L符合一個等式q:L = hq。比率h是圖案的特定度量或Hasba。所獲得的圖案類型強烈依賴于h，h可以是大于8的整數或有理數(圖2a)

在 "Hasba"的 h 值給定的情況下，繪制由四組交叉平行線構成的特定底層網格圖案（圖 2b、2c 和 2d）。這些線組通過位于正方形中心的四倍軸旋轉、正方形邊中點連接線的鏡面反射和對角線的反射而兩兩相連。

圖2

(a)正方形框架上的單元劃分,( b)h = 16的網格,( c)(d)從非對稱單元構建圖案

如果 h 值較高，"Hasba"就會產生復雜的圖案，其中包含一個中心為w重的玫瑰花結。這是一種星形圖案，其中n是射線的數量。

n重玫瑰花結，例如n = 12，是圖案中最重要的元素；它預先決定了要實現的設計，因此該圖案根據其玫瑰花形對稱性命名。

我們在此簡要描述用12重玫瑰花結構建圖案的過程，這允許獲得下面生成的8個對稱群。

我們從追蹤h = 28的第一個網格開始。我們在其上連續疊加兩個相同的網格，彼此成30度角。旋轉軸位于網格的中心(圖3a)。結果是一個新的網格，即所謂的12網格(圖3b)。

然后，我們在線條上追蹤中央玫瑰花結的一部分(圖3c)和圖案的一些元素。最后，我們通過應用鏡面和四重對稱軸構建整個圖案(圖3d)。

圖3

(a)三個重疊網格。(b)12格網。(c)放大的公共區域;( d) 12重對稱圖案

通過Hasba方法獲得的圖案具有寬度等于以上定義的單位尺寸q的交錯帶。即使隱藏在構造的圖案中，交錯帶也自然地出現在設計中；延伸構成圖案的不同形狀的邊緣會顯示出它們實際上，通過標出隱藏的絲帶，更多的藝術交錯圖案會從初始圖案中顯現出來。該方法要求條帶必須是無限連續的，并且它們的寬度在圖案內以及在每個重復圖案中必須是恒定的(圖4)。這是Hasba的主要特點。

圖4

(a)顯示絲帶：交錯圖案。(b)12層圖案中的無限連續絲帶。

其他n重玫瑰花結(其中n > 5)可以通過Hasba方法獲得。它們構成了產生17個對稱群的基本元素。在這篇文章中，我們將使用10倍(圖5)和12倍玫瑰花結來建立17個對稱群。

圖5：十重對稱圖案

3 生成17個平面對稱群

17個對稱群是由Hasba方法構建的玫瑰花結生成的。為了描述組的生成，我們選擇了兩個圖案系列。第一個系列是由一個十重玫瑰花結構建而成，第二個系列是由一個十二重玫瑰花結構建而成。

3.1.從十重玫瑰花結得到的對稱群

如圖6所示，包含十重玫瑰花結的摩洛哥圖案包括互穿(IR)和非互穿(NIR)玫瑰花結的重復。

圖6

(a)非斯Medersa Attarine的十重玫瑰花結(Sijelmassi，1991年)。

(b)非斯Medersa Bou Inania的十重玫瑰花結(Sijelmassi，1991年)。

十重玫瑰花結總是按照六種構型或它們的組合排列。在每一種配置中，Hasba規則要求帶必須是無限連續的，并且它們的寬度必須是恒定的，并且等于單位分割q。

設x.y為平面的參考軸相對于x軸成90°、54°和18°取向的NIR分別稱為R90、R54和R18。相對于x軸成90°的三個IR稱為IRα、IRβ和IRδ(圖7)。

圖7 非互穿(NIR)和互穿(IR)基本元素。

最初的十重對稱圖案，我們從中提取了用于生成對稱群的傾斜裝飾，將角度值限制為54°和18°。這些角度不能任意選擇，否則Hasba強加的連續性條件在要構建的圖案中不再受尊重對于玫瑰花結的其他對稱性，角度將明顯不同。

這些構型被認為是包含產生圖案對稱群所需的最小幾何信息的基本元素。

用這些基本元素或它們的組合來密鋪平面，會產生包含對稱元素的圖案，這些對稱元素決定了圖案的對稱群。

3 . 1 . 1 . p1、p1m和p2群。

具有基本元素IRα的平面的密鋪給出了除平移之外沒有任何對稱元素的圖案，并導致對稱群p1。通過對圖案p1的晶胞應用鏡像，我們獲得了群pm。此外，IRβ的密鋪給出了具有雙重軸的圖案，并產生對稱群p2(圖8)。

圖8

(a)p1 (b)p1m (c)p2對稱群

3 . 1 . 2 . c2mm、c1m、p2mg和p2gg群。

基本元件R90和R54的組合給出了如圖9(a)所示的在中心具有間隙的六個玫瑰花結的集合。通過根據Hasba方法的規則連接玫瑰花結的花瓣，我們可以用幾種方法來填充這個間隙(圖9b、9c和9d)。通過切掉它們的核心并丟棄其余的，我們得到三個單位拼塊，稱為UT1、UT2和UT3，如圖9(e)、9(f)和9(g)所示。單位拼塊UT1和UT2分別顯示兩個垂直的鏡子(點組mm2)和單個鏡子平面(點群m)，而單位拼塊UT3不具有任何對稱元素。

圖9

(a)基本元素R90和R54的組合。(b)點群為mm2的主題·(c)點群為m的主題。(d)不含任何對稱元素的主題，(e)、(f)和(g)單元拼塊(UT)。

使用UT1和UT2的密鋪分別生成c2mm和c1m1圖案(圖10)。

圖10

(a) c2mm群的圖案。(b)平面群為c1m1的圖形。

元素UT3可以分成三個菱形(圖11a)。僅從菱形I和II，我們可以構建三個主題。第一個是通過在菱面體II上應用垂直反射鏡獲得的(圖11b)，第二個是由菱面體I和II形成的(圖1lc)，并且其相對于垂直反射鏡的圖像給出了最后一個(圖1 l1d)。通過應用雙重軸，它們分別給出了三個具有對稱群pmg的裝飾FR1(圖11e)、FR2(圖11f)和FR3(圖11g)。

圖11

(a)分成三個菱形的元素UT3，(b)、(c)和(d)從UT3獲得的三個圖案。(e)、(f)和(g)三個圖案FR1、FR2和FR3。

FR1拼接產生p2mg圖案(圖12)。z字形聚集體FR2-FR3給出了p2gg圖案(圖13)。

在圖12和圖13中，圖案由基于玫瑰花形的板連接到僅具有對稱性m的薄板構成。薄板的取向(向上或向下)給出不同的平面群(圖14d)這是基于玫瑰花結的板具有比結構所需的更高的圖案對稱性的結果。因此，在圖13中，平面群pgg沒有示出基于玫瑰花結的板的垂直m平面。這些平面對整個結構無效：它們只是局部的。如果使用一次垂直m平面，我們得到一對pgg結構(圖14b)。如果每次都使用它，從圖13開始，并且薄板仍然只有m，我們得到平面群p1m1(圖14c)。因此，玫瑰花結的超對稱性導致孿生或其他平面群，如果定期發生的話。

圖12

(a)FR1密鋪 (b)平面對稱群p2mg圖案

圖13

(a)z字形聚集體RF2-RF3 (b)平面群p2gg的圖案。

圖14

(a)上下薄板，(b)pgg孿生結構，(c)平面群p1m1

3 . 1 . 3 p2mm和p1g1群

遵循上一節中描述的相同的構造原理，R54和IRδ的組合給出了兩個新的主題(圖15a和15b)，從中我們提取了兩個單位拼塊UT4(圖15b)和UT5(圖15c和15d)。

圖15

分別從圖案(a)和(c)中提取新的單位拼塊(b)和(d)。

用UT1密鋪，接著是一行元素UT4，依此類推，得到圖案p2mm(圖16a)用UT5密鋪得到圖案p1g1(圖16b)。

圖16

(a) p2mm群的圖案。(b)平面群p1g1·的圖案

3·2·從12重玫瑰花結中獲得對稱群

3 . 2 . 1 對稱群p4mm和p4gm。

通過使用Hasba方法，我們用兩種類型的12重中心玫瑰花結構造了兩個正方形拼塊，稱為單位拼塊UT6和UT7(圖17a)。用UT6或UT7密鋪產生p4mm圖案(圖17b)。

2/3UT6和1/3UT7的組合生成混合圖塊HT1(點組4mm)(圖18a)。基于HT1的密鋪給出了p4gm圖案(圖18b)。

圖17

(a)單元拼塊UT6和UT7。(b)具有平面群p4mm的圖案

圖18

(a)旋轉了45°角的混合單元拼塊HT1。(b)具有平面群p4gm的圖案。

3 . 2 . 2 對稱群p6mm、p6、p3、p3m1和p31m。

從單位拼塊UT6和UT7中，我們提取具有等邊三角形形狀的模板。如圖19(d)和19(b)所示，通過繞穿過三角形頂點的六重軸旋轉，我們獲得兩個六邊形拼塊UT8和UT9。用它們中的一個密鋪給出p6mm圖案(圖19c)。

圖19

(a)具有等邊三角形形狀的模板，(b)六邊形拼塊UT8和UT9。(c)具有平面群p6mm的圖案。

不同比例的六邊形拼塊UT8和UT9的組合生成了混合拼塊HT2(圖20a)，其具有點群6，以及三個其他混合拼塊HT3、HT4和HT5(圖20b、20c和20d)，其具有位于中心的三重軸，它們的不同之處在于鏡子的存在及其位置。

圖20

具有點群6、3和3m的混合拼塊(a) HT2、(b) HT3、(c) HT4和(d) HT5。

用這些拼塊鋪砌分別產生具有平面對稱群p6、p3、p3m1和p31m的圖案(圖21)。

圖21

(a)具有平面群p6的圖案。(b)具有平面群p3的圖案;( c)具有平面群p3m1的圖案。(d)具有平面群p31m的圖案

4.結論

Hasba是一種經驗方法，在開始構建圖案時應用嚴格的規則。這種方法經常被用來在木頭上雕刻和繪畫。對稱性的概念在這種方法中無處不在圖案由帶有單位尺寸的網格支撐。即使隱藏在圖案中，交錯的絲帶也自然地出現在設計中；它們的厚度是恒定的，等于單位分割q。從工匠的角度來看，絲帶構成了檢查圖案藝術有效性的一種方式。絲帶在圖案內以及在重復圖案中是無限連續的。這是哈斯巴的主要特征。

Hasba方法使得獲得具有n重玫瑰花結的圖案成為可能。圖案的復雜性和玫瑰花結的對稱性都隨著Hasba值的增加而增加。玫瑰花結被認為是產生17個對稱群的基本元素。

雖然在本文中，我們僅用10重和12重玫瑰花結構建了17個對稱群，但其他n重玫瑰花結也可用于構建大量圖案。圖22顯示了由9重玫瑰花結產生的p6mm圖案。由于每個玫瑰都有自己的對稱性，很難用相同的元素得到所有17個對稱群。

圖22 九重對稱圖案

此外，所有生成的圖案都充滿了對稱元素。與它們所在的平面群的要求相比，玫瑰花形是超對稱的。帶有玫瑰花形圖案的結構板可能有局部鏡面，這對整個結構無效。這種超對稱性可能會讓制作zellige(陶瓷馬賽克)的工匠在制作圖案時感到困惑。然而，這個問題在制作木材的工匠中從未出現過，因為他們在制作圖案之前，就開始在紙上畫出他們的設計，并切割出被認為是基本單元的模板。

在我們的構建中，我們嚴格遵守摩洛哥工匠使用的規則，除了我們用繪圖軟件(Inkscape,http:// inkscape.org)。我們的圖案展示給了摩洛哥幾何藝術領域的著名工藝大師，如J. Benatia(傳統藝術和書法教授)、S. Al Ouasrani和A. Boughali(馬拉喀什“傳統摩洛哥藝術”工作室的工藝大師)。他們從建筑和美學的角度驗證了文章中提出的新圖案。

在實踐層面上，我們提出的方法結合了傳統的構建圖案的方法和對稱群的概念，將為工匠提供新的創造性視野來發展這種古老的藝術。誠然，在摩洛哥，古老的技術仍然活躍和繁榮，但沒有真正的重大創新可以觀察到。

在學術層面上，這將是學生熟悉平面對稱群，更好地理解和使用晶體學和固體科學中的對稱群的機會。這里介紹的一些圖案，雖然它們非常接近，但對學生和年輕的研究人員研究對稱群的工作更有指導意義。使用各種n重玫瑰花結，我們可以生成非常不同的對稱群(圖22)。

參考文獻

Castera, J. M. (1999). Arabesques. Decorative Art in Morocco. Paris: ACR Edition Internationale.

Fenoll Hach-Ali, P & Lopez Galindo, A. (2003). Simetna en la Alhambra, Ciencia, Bclleza e Intuicion, Universidad de Granada, Consejo Superior de Investigaciones Cientfficas.

Griinbaum, B. & Griinbaum,乙(1986). Comput. Math. Appt. 12,641- 653.

Makovicky, E. & Fenoll Hach-Ali, R (1997). Bol. Soc. Esp. Mineral. 20, 1-40.

Makovicky, E. & Makovicky, M. (1977). Neues Jahrb. Miner a L Monatsh. 2, 58-6&

Makovicky, E. & Makovicky, N. M. (2011). J. Appl. Cryst. 44,569-573. Muller, E. (1944). PhD thesis, University of Zurich, Switzerland.

Paccard, A. (1980). Traditional Islamic Craft in Moroccan Archi-tecture, Vols. 1 and 2. Saint-Jorioz: Ateliers 74.

Polya (1924). Z. Kristallogr. 60, 278-282.

Sijelmassi (1991). Fes Cite de VArt et du Savoir, pp. 252-253. Paris: ACR.

Speiser, A. (1927). Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordming, 2nd ed. Berlin: Springer.

Thalal, A., Benatia, M. J., Jali, A., Aboufadil, Y. & Elidrissi Raghni, M. A. (2011). Symmetry Culture Sci. 22, 1-2, 103-130.

Youssef Aboufadil, Abdelmalek Thalal. Symmetry groups of Moroccan geometric woodwork patterns

青山不改，綠水長流，在下告退。

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