女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

在伊斯蘭藝術和建筑瓷磚設計中發現的十角星圖案經過改進，可以根據彭羅斯密鋪的基本準周期結構進行排列。一個簡單的密鋪應用于六個傳統的主題，可以創造類似五邊形彭羅斯密鋪。然后應用指導這些彭羅斯密鋪的分級鋪砌的替換規則，實現設計。最后探索藝術家如何向觀眾暗示這些設計所代表的彭羅斯密鋪的數學特征，包括它們的正確排列、替代規則、準周期性和其他特征。

介紹

彭羅斯密鋪的基本結構可以用傳統的伊斯蘭幾何密鋪圖案來裝飾[1][3]。本文提出了一種通用方法，將傳統的十角星圖案重新排列到彭羅斯密鋪框架中(圖1)，采用多邊形方法來創建與五邊形彭羅斯密鋪等效的元素，這些元素可以通過分層鋪砌遵循替換規則。我從現有的傳統幾何設計的多邊形和密鋪分析開始[1][10]，借鑒Majewski [10]的特定密鋪方法，將直觀發現的特定案例應用于其他主題。

圖 1：將傳統的伊斯蘭幾何圖案排列成彭羅斯密鋪。一些圖案的名稱與文獻 [10] 同，但大多數圖案在歷史上都有許多不同的位置和表現形式。從左至右：玫瑰圖案（在 [10] 中被命名為 Kukeldash，由 "Tond "拼塊組 [2] 組成）、Nodir Devon 圖案（"Kond "拼塊組的一個子集）和十角星 Pandjara 圖案。

五角形彭羅斯密鋪的替換規則和分層鋪砌

讓我們首先考慮五角形彭羅斯密鋪及其替換規則，如圖2[7][8][12]所示。在三種標準的Penrose密鋪(五邊形P1，風箏和飛鏢P2，菱形P3)中，我選擇使用五邊形版本(P1)，以便將其替換規則作為分層鋪砌過程的步驟。彭羅斯密鋪通常由其邊緣匹配規則定義，可由其替換規則生成。彭羅斯鋪層是準周期的，具有局部同構[13]。

在五邊形彭羅斯密鋪中有六種不同的拼塊。我將把這三個五邊形稱為P-5、P-3和P-2，這取決于它們是否在邊緣處與五個、三個或兩個其他五邊形相連。對于剩余的三種拼塊，我使用羅杰·彭羅斯[12]給出的原始名稱：星星、船和鉆石。圖2e展示了五邊形彭羅斯密鋪的有限選擇。圖2b-d，f-h展示了三個層次的鋪砌，第0層是初始拼塊。在下一節中，當我們尋找可以與傳統十角星主題一起適配的拼塊和規則時，需要層次1和2來給我們提供線索。

圖2: (a)一套六種不同的五邊形彭羅斯密鋪類型。邊緣匹配規則由顏色指示，其中顏色的亮版本和暗版本是匹配的。這些邊緣顏色對應于[8]中的邊緣標簽。五角形密鋪內的顏色有助于我們跟蹤它們的0級身份。(b-d)五邊形的替換規則[8]。(e)五邊形彭羅斯密鋪。(f-h)菱形、船形和星形拼塊的替換規則[8]。

在這里，我們將替換規則視為指導分級鋪砌過程，其中所有拼片保持固定大小，并且所得到的拼片排列可以被視為“超級拼塊”，遵循與層級中下一級的原始拼片相同的替換規則。具有邊緣匹配規則的六個拼塊的集合構成層級的0級。級別1是應用替換規則的結果。當第二次對這些超級拼塊應用替換規則以產生第二級超級拼塊時，第一級超級拼塊在功能上等同于第0級拼塊。每個超拼塊都通過構造遵守匹配規則。

由于彭羅斯密鋪的局部同構特性，密鋪的任何有限部分都可以通過將超級拼塊鋪砌到層級中足夠高的級別來產生，使得感興趣的有限部分包含在該級別的一個或多個超級拼塊中。因此，彭羅斯密鋪的任何有限區域都可以通過這種方法產生，并且增長是指數級別的。

密鋪玫瑰圖案

我從十瓣玫瑰圖案開始(圖3)，在傳統的伊斯蘭設計中無處不在，由“Tond”拼塊組合b[2][3]組成。根據Majewski[10]的分析，這種密鋪只需要三種拼塊。玫瑰圖案將直觀地適應這里的五邊形彭羅斯密鋪，給我們一個從頭開始的密鋪點。這個圖案以前被用來裝飾[3]中的彭羅斯菱形，在沒有明確的彭羅斯匹配規則的情況下，人們可以根據薄菱形的兩種可能的方向推斷出玫瑰圖案的兩種不同的P3彭羅斯密鋪。這兩種選擇中的一種產生了我們接下來開發的玫瑰彭羅斯密鋪(圖1a，圖5)。我們可以很容易地在三種標準彭羅斯密鋪(P1, P2和P3)之間轉換密鋪裝飾。然而，這里的目的是將五邊形彭羅斯密鋪等同于整個伊斯蘭密鋪形狀的集合體，這些集合體可以通過相同的替代規則進行操作，以規定分層鋪砌過程，在集合體的匹配邊緣沒有重疊和空隙。

圖3: (a)三種拼塊，用于我們的彭羅斯密鋪。Majewski [10]的密鋪使用(從上到下)Girih集合中的Penta拼塊，以及[5]的類別適配拼塊中的Cone和Pyra拼塊。(b)重復十角星玫瑰花結圖案，取自Kukeldash Madrasah，覆蓋了Majewski的密鋪[10]。(c)來自阿格拉I'timd-ud-Daulah陵墓的圖案為我們提供了兩個部分玫瑰圖案，這將有助于完成彭羅斯密鋪。請注意，該密鋪也完全由與(b)中相同的三個裝飾密鋪。(d)在這些和我們的彭羅斯密鋪中出現的拼塊形狀的集合，稱為Tond拼塊集合[2]。灰色的單幅圖塊形狀出現在黑色單幅圖塊形狀之間的負空間中。

Bonner[1]和Majewski的作品[10]中深入解釋的多邊形方法是我們將等級替換規則適用于許多主題的關鍵。我在這里將多邊形稱為密鋪，注意這三個密鋪拼塊，如圖3A所示，在Erikson的分析中稱為Penta、Pyra和Cone[5]。我們還需要Erikson的短拼塊類別[6]中的日出和盾牌拼塊中包含的形狀，但我們不需要切換到該論文的短拼塊方法。

發現玫瑰花圖案與五邊形彭羅斯拼塊匹配的替換規則

此處采取一種直觀的，嘗試性的方法來適應玫瑰圖案的五邊形彭羅斯拼塊和它的替代規則。讓我們開始在花瓣，太陽和玫瑰圖案的其他形狀元素的視覺完形中工作。后來，我們切換回密鋪的適應性，將結果應用到其他十角形圖案。在玫瑰圖案中，我們將遇到的形狀都是“Tond”拼塊集[2]的一部分。我將把傳統的伊斯蘭拼塊形狀稱為“拼塊形狀”，把彭羅斯和密鋪拼塊稱為“拼塊”，把彭羅斯拼塊形狀的有限排列稱為“集合體”。

給定一個完整玫瑰花形的十角星對稱，將其對稱中心放在五邊形拼塊P-5、P-3和P-2的5重對稱中心上是有意義的。我們可以使用顏色來跟蹤哪些拼塊相互對應。我們將認為小塊拼塊形狀的集合相當于0級彭羅斯拼塊，這意味著沒有進一步細分的可能。我們從0級P-5五角形開始。為了在第1層復制其與其他五個五邊形的連接，在中心玫瑰花結周圍對稱放置另外五個玫瑰花結，以猜測P-5第1層結構(圖4)。我們現在考慮產生的差距。很明顯，玫瑰花結圖案的星星形狀可用于填充玫瑰花結之間的小間隙，因此我們首先用這些星星包圍等同于P-5的玫瑰花結(圖4A)。它們就像一種邊緣形狀，是解釋邊緣匹配規則的一種方式。P-5五邊形是對稱的，所以我們給它一個這些星星圖案的對稱冕。

圖4：確定等同于五邊形彭羅斯拼塊集合的玫瑰拼塊集合的過程。

接下來，我們注意到P-3五邊形有兩條邊與P-5五邊形相同，所以我們也給這些邊賦予了星形。P-3和P-2五邊形的其他邊沒有星形，推測這將允許沒有重疊或間隙的匹配。當我們繼續進行時，如果我們在分層鋪砌中應用替換規則后發現重疊或空白，我們必須進行猜測和修正。

圖5:在第1級和第2級應用的替換規則驗證我們的拼塊集合體選擇與五邊形彭羅斯替換規則一起工作。這4個2級的超級拼塊是足夠的驗證，因為星星重復了與鉆石和船相同的相互作用。

P-5五邊形具有簡單和對稱的相互作用，因此我們繼續猜測2級P-5五邊形的構造以獲得更多線索(圖4b)。我們只需要將1級P-3五邊形連接到1級P-5五邊形，創建另一個要填充的間隙，其中菱形拼塊協調交互(圖4C)。我們從其他傳統圖案中尋找主題，發現中心為盾形的三瓣玫瑰花結非常適合這個空間(如圖3C)。通過再次從現有的邊緣膠中獲取線索，我們決定了花瓣的方向。現在我們有一個相當于五邊形彭羅斯鉆石拼塊。然而，我們稍后會發現，我們也可以選擇另一個方向，并且仍然可以成功地使用替換規則。事實上，任何0級集合體的內部設計都是可以修改的，我們將用這種性質來解決出現的尷尬設計問題。

接下來，我們重疊三個五邊形彭羅斯鉆石，以獲得與船和星星相同的邊緣，并查看應該如何修改它(圖4E)。重疊強烈地暗示了我們在這里為這些拼塊選擇的結構，我們將日出拼塊形狀放置在重疊區域的中心，并在底部使用錐形密鋪拼塊。考慮到鉆石等量集合體的構成，我們還用小星形圖案最大限度地包圍了船和星集合體。在這個階段，這些都是猜測。我們將通過鋪砌圖5中的所有1級和2級超級拼塊來驗證它們的功能是否符合預期。

圖6：五邊形彭羅斯拼塊密鋪的替換規則。我們將0級密鋪集合體著色，以幫助讀者保持跟蹤。密鋪集合體顏色與之前顯示的五邊形彭羅斯拼塊顏色無關。替換遵循與圖2相同的規則。

結果：拼塊集合體似于五邊形彭羅斯拼塊

現在，在完成1級拼塊之后，遵循應用替換規則來構建所有2級超級拼塊的過程。我們在圖5中驗證了我們提出的拼塊集合確實在兩個級別上符合替換規則。現在直觀上很清楚，我們有一個工作拼塊集來產生彭羅斯圖案 。我們發現三種拼塊形狀足以彭羅斯密鋪，并且替換規則完美地奏效，沒有間隙和重疊。我們已經發現這三種拼塊的集合在替換規則下充當六種五邊形彭羅斯拼塊的替代品。

圖7：部分十角星中設計挑戰的解決方案細節。(a)用附加的Pyra拼塊解決了缺少的Tan Sahid元素。(b)作為彭羅斯密鋪的Tan Sahid圖案，(c)用Pyra拼塊和鏡像錐形拼塊解決了Yazd圖案的不和諧元素。(d)作為彭羅斯密鋪的Yazd圖案。

十角形拼塊主題嵌入彭羅斯密鋪

將密鋪替換規則應用于其他十角形圖案

我們的嘗試性玫瑰彭羅斯和Majewski密鋪之間的映射為我們提供了可以承載其他密鋪形狀的密鋪拼塊幾何體(圖6)。我們可以使用我們為Majewski密鋪拼塊找到的替換規則，將任何具有Majewski密鋪的十角星拼塊變成彭羅斯排列。這不是唯一可以這樣工作的集合體，也不是唯一可以應用的密鋪或替換規則。但是，通過制作類似于五邊形彭羅斯拼塊的多邊形集合體，在十角星圖案和彭羅斯結構之間存在直接的美學聯系，這可以使希望創作這些密鋪的藝術家受益。從這項工作中可以推斷出三拼塊Majewski密鋪的其他替換規則，但我在這里不會遵循這個方向。

圖8：主要結果：拼塊形狀集合等效于五邊形彭羅斯拼塊，改編自傳統圖案。從左到右的主題是:五邊形彭羅斯，密鋪圖案，十角星Pandjara，Nodir Devon，波斯圖案，玫瑰花結，Tan Sahid，Yazd。

解決設計困境

Majewski的分析b[10][11]包含了一些經驗法則來解決某些拼塊意外鄰接的情況下的設計困境。在這里，我們可以遵循這些指導方針和我們自己的審美來找到合適的解決方案，以解決圖7中的這些設計困境。解決了這些細節后，我們有了一整套密鋪拼塊集合體，類似于0級五邊形彭羅斯拼塊，將傳統的十角形圖案帶入彭羅斯密鋪(圖8)。

圖9:(a)玫瑰花圖案的大量密鋪和著色揭示了彭羅斯密鋪的遞歸水平和特征。我們還看到，玫瑰設計可以在鉆石等效幾何體中反轉，如上所述。(b)波斯彭羅斯密鋪用顏色突出顯示一個方向上的阿曼條帶，顯示粗線和細線的斐波那契序列。(c)波斯彭羅斯密鋪的多層密鋪表明圖案的遞歸結構和密鋪分析。

藝術介入：藝術家如何在設計中展示彭羅斯密鋪

展示彭羅斯密鋪的特征和知識

傳統的伊斯蘭幾何拼塊揭示了設計師對幾何的復雜理解。一般來說，傳統圖案的彭羅斯排列如何呈現出我們對彭羅斯密鋪的理解水平?傳統伊斯蘭圖案(如伊斯法罕的Darb-e Imam神殿)具有準周期性，這一大膽的主張已被反復提出，也被反復駁斥。因此，值得一問的是，設計師如何才能讓觀眾相信設計師對彭羅斯密鋪背后的數學知識?

圖10：(a)來自Darb-e伊瑪目神殿的Kond 形狀的彭羅斯排列。(b)Kond 形狀的彭羅斯排列。(c)引導(a)和等效(d)的Nodir Devon拼塊排列。(d)由(f)導出的五邊形cartwheel圖案的中心。(e)五邊形cartwheel圖案。(f)術語“cartwheel”是由約翰康威創造的，用來描述風箏和飛鏢彭羅斯拼塊(青色)在這里顯示的紅色輪廓規則十角形內的排列(從[7]旋轉180°)。轉換自五邊形彭羅斯密鋪[8]，我采用五邊形的內輪及其內部作為五邊形cartwheel(灰色)。(g)五邊形彭羅斯等效集合體的生成(b)。

向觀眾傳達彭羅斯密鋪精確知識的最有效方法之一是創建非常大的密鋪并添加顏色，以幫助眼睛看到分形性質、比例、對稱性和非周期性(圖9a)。要做到這一點，人們必須很好地理解結構，這對于觀眾來說是顯而易見的。我在這里列出了許多方法來展示彭羅斯密鋪的數學知識:1)顯示一個大區域，用顏色顯示結構(圖9a)，2)顯示設計的多個遞歸層次(圖9c)，3)突出顯示諸如阿曼條帶(圖9b)，車輪(圖10)和五重對稱的中心等特征，4)突出顯示或突出顯示替換規則，5)顯示一個彭羅斯密鋪如何映射到另一個，6)在框架內包括裝飾，其中包含單詞，定義，證明，幾何構造，黃金比例，斐波那契數列或任何其他相關的內容傳統的伊斯蘭幾何密鋪通常包括瓷磚形狀內的設計元素和書法，或在瓷磚內創建的空間。在這個框架中有足夠的空間將傳統設計元素與現代數學知識相匹配。

應用于Darb-e伊瑪目神殿的十角星圖案

Darb-e伊瑪目神殿拼塊的排列強烈暗示了準周期彭羅斯結構。本文中的Nodir Devon拼塊與Darb-e 伊瑪目神殿拼塊中更高級別的拼塊具有相同的形狀。我在這一層應用了Nodir Devon彭羅斯密鋪排列(圖10a)。我選擇了彭羅斯密鋪中最小的最具特征的排列：車輪圖案(圖10c-f)[7]，在這種情況下，只是它的中心(圖10d)。在圖10a中，除了Nodir Devon拼塊形狀的裝飾之外，較小的拼塊形狀不起作用。對于另一種方法，圖10b，我展示了Kond tile形狀集到五邊形彭羅斯等價物的一種可能的映射，與本文前面使用的密鋪略有不同。這可以用很多方法來實現，但我選擇了一種復制原作中十個十角星圓圈的方法。通過這種方法，彭羅斯結構以不同于傳統Darb-e 伊瑪目神殿密鋪的新方式表現出來(圖10b)。

結論

總之，我們利用多邊形技術和三種Majewski密鋪拼塊(五角形、圓錐形和金字塔形)，通過創建五角形彭羅斯拼塊系列的類似物，將一組傳統的伊斯蘭十角星圖案改造成彭羅斯拼塊結構。我們已經將彭羅斯密鋪的替換規則解釋為由這些密鋪組成的拼塊形狀集合體的分級鋪砌過程。最后，我們突出彭羅斯密鋪的結構特征，如遞歸和準周期結構，車輪圖案，阿曼條帶和多層次的密鋪，向觀眾傳達數學知識。

參考文獻

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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