女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文展示如何利用多面體的幾何形狀和木刻技術，以美觀和藝術的方式呈現模型。五個柏拉圖實體（四面體、六面體、八面體、十二面體和二十面體）中的每一個都通過木刻的視角進行了詮釋，讓觀眾從另一個角度欣賞這些經典的多面體。每個模型的描述都包括細節，如所用木材的類型、尺寸和制作過程。

1. 介紹

五種柏拉圖立體是四面體、六面體(立方體)、八面體、十二面體和二十面體。任何特定的柏拉圖立體的性質是，每個面都是規則的，面是相同的，并且在每個頂點有相同數量的面相交。每對鄰接面以相同的二面角相交，頂點位于球面上。

本文是[5]的修訂和擴展版本，隨后探索四面體、六面體、八面體、十二面體、二十面體、混合體和網絡模型，并用工作實例來說明上述每一種結構。

2. 影響

有本書名叫《超越基本車削》（Beyond Basic Turning），作者是考克斯 [1]。這本書包含了許多非常規木工車削項目的奇思妙想，但我的興趣被書中關于多面體的部分吸引住了。這是我進入五個柏拉圖實體新世界的第一步，書中還介紹了如何確定成品尺寸、厚度、邊長和角度以實現閉合。我很快就意識到，如果我想繼續學習這個迷人的幾何分支，多讀一些幾何方面的書籍會有很大幫助。曼格斯·溫寧格（Mangus Wenninger）撰寫的《多面體模型》[7]一書讓我意識到，有許多方法可以制作車削或刻面的木質模型。羅伯特·勞勒（Robert Lawlor）的《神圣幾何學》[4]介紹了約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）以及他將柏拉圖實體與太陽系行星聯系起來的理論。

3. 四面體

圖 1 是一個簡單的四面體模型。每個面都是等邊三角形。這些面是用模板在臺鋸上切割的，斜角為35.264°。該角度最初是根據考克斯的表 8 [1] 得出的，然后根據部件的干配合情況進行必要的調整。然后用膠水粘合，開孔只是為了顯示這是一個空心模型。

圖1：一個簡單的四面體。Pearwood，3英寸，1998年。

圖2中所示的兩個四面體具有代表邊緣的轉動軸。這種類型的模型可以稱為多面體形式的網絡。在這種情況下，“網格”指的是在許多作品中顯示的旋轉軸，并用于區分這種形式與萊昂納多風格的固體邊緣。主軸直徑為5/16英寸，每一端都有榫，與在1/2英寸的球體上鉆孔的孔相吻合，代表頂點。三個鉆孔的角度和間距至關重要。角度是近似的，然后用紙板模型確認，并產生了一個主塊。然后使用斜塊和分度系統鉆孔，以確保孔間距相等。這個過程被用來創建其他多面體網絡圖形，通過生產其他主塊的適當角度和索引。圖3中的四面體最初是一個球體，設計靈感來自于許多裝飾性家具上的扭曲。用圓規確定了這四個頂點的位置。圓規是用球體的直徑除以1.25來設置的，在這種情況下是4.8英寸。用第一個頂點作為起點，在球體上刻下一個圓。第二個頂點是切線圓上的任意一點。通過左右旋轉圓規，可以建立第三和第四個頂點。如果圓規上的設置是正確的，這條線將被分成三個相等的部分，你已經找到了四面體的四個頂點。然后，這個球體被掏空至約3/4英寸的壁厚，留下足夠的木材來雕刻連接頂點的雙重扭曲。這些扭曲是徒手用毛刺切割，然后用銼刀和砂紙打磨。

圖2：兩個網狀四面體。Pearwood，3英寸，2004年。請參見本圖彩色版本的插頁。

圖3：藝術四面體。胡桃木，符合6英寸球體，2005。

4.六面體

圖4中的6英寸立方體是一個六面體，被設計成一個秘密盒子。它的六個面是相同的，其中一個也是擰入式面板。每個面都刻有兩條對數螺線，在用黑色丙烯酸涂料突出顯示之前，用旋轉毛刺進行紋理處理。對數螺線是通過重復分割一個符合黃金分割比例的矩形發展起來的。通過圍繞每個面的中心將模板旋轉180度，螺旋被轉移到圖形上。

圖4：六面體盒子。蘋果木，6英寸，2005年。

5.正八面體

圖5所示的分組是我第一次嘗試使用柏拉圖立體。雖然它們看起來是一個八面體和三個球體，但所有四個球體都是八面體，每個都有八個等邊三角形面。“家庭”這個名字來源于這樣一個想法，即所有的盒子都來自同一個原始形式。它們各自位于獨特的基座上，并通過衛星基座連接。像所有的家庭一樣，他們有著共同的起源，但又各有自己的個性。在車削術語中，任何帶有蓋子的車削空心形狀都隱含著一個盒子。八面體中的三個被車床加工成球形。讓它們與眾不同的是木材的種類和蓋子的朝向。下面的盒子在赤道處分開；蓋子有四個部分，底部有四個部分。對于中間的盒子，蓋子用了兩部分，底部用了六部分。對于上面的盒子，蓋子有四個部分，底部有四個部分，不同之處在于三角形的方向，當蓋子被移除時，會產生鋸齒形邊緣。

圖 5：家庭。貝科特木、月桂樹、文格木、楓木、梨木、胡桃木、用于連接的不銹鋼桿，7 英寸，1998 年。

圖6中的八面體的靈感來自一種被稱為翻滾塊的傳統絎縫設計。所使用的技術被稱為棍子器或Tunbridgeware，因為它是由一束棍子組成的。“Tunbridgeware”一詞主要指在英國肯特郡的Tunbridge Wells或其周邊地區生產的物品。這個過程是把木棍捆在一起，粘合在一起，形成一個預定的設計。它有時也被稱為stickware。非常復雜和美麗的馬賽克被制作出來，然后可以用作固體塊來制作諸如盒蓋之類的物品，或者切成薄單板來裝飾桌面。這是一個在19世紀達到頂峰的行業。然而，現在它過于勞動密集型，許多幸存的作品都是古董。

圖6：Stickware八面體。冬青，白橡木和椰子樹，3×3×4?，2006

在這種情況下，木棒是30度切割的菱形，每個面都是等長。一組由三種不同顏色的木材制成的三個可以捆綁在一起，最終的視圖創造了一個立方體的視覺錯覺，表明有時事情并不是它們看起來的那樣。

下一步是把它們重新綁在一起，做成一個三角形的棍子，然后可以切成相同圖案的薄片。八個等邊三角形被斜切并粘合在一起，形成一個八面體，看起來像許多堆疊的立方體。

6. 十二面體

圖7中的十二面體是為一些陀螺制作棍器時產生的。剩下的足夠制作12個面，成了這個十二面體。把 10 面的木棍用五塊橡木包起來，做成五邊形的木棍。從這根木棍上切下 12 塊板，每塊板厚 3/16 英寸，制成了十二面體。這個十二面體是大于還是小于各部分的總和？十二面上各有475塊。

圖7：stickware十二面體。冬青、椰子樹、梨、白橡木和楓木，符合 6 英寸球體，2007 年。

圖 8 的標題是“懸掛的和平”。這個標題意在玩文字游戲。如你所見，十二面體的盒子是懸浮的。十二面體的每個面都是一個象征和平的五邊形。這個盒子本意是象征性地裝著小布什的大規模殺傷性武器，但當你往里面看時，盒子是空的。網代表邪惡之網。手柄是一只鴿子，但不是白色的和平鴿，是用同樣的黑色烏木制成的。

圖 8：作品——懸掛的和平。烏木和冬青，7 英寸，2004 年。

圖9是一個星狀十二面體。星狀十二面體一詞是由約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）提出的[4]，也是這件作品的靈感來源。星狀多面體是一種工藝，通過擴展面直到它們重新相交，我們可以從現有的多面體中衍生出一個新的多面體。從這些圖形中產生的平面使這件作品可以用車床或帶鋸來制作；這里選擇了后者。第一步是創建一個球體，然后確定 12 個頂點的位置。使用球體直徑乘以0.526 [4]計算圓規設置，然后在球體上劃出一個初始圓。選擇初始圓上的任意一點，劃出第二個圓，形成兩個交點。從兩個圓相交的每個點開始畫圓。每個交點都成為一個頂點。這一過程結束時，將找到 12 個頂點。

圖9：星狀十二面體。盒柏，直徑 800，2005 年。

在每個頂點鉆孔，然后插入一根臨時桿作為支點，在帶鋸上切割這些面。用夾具控制所有12個軸的切割深度，隨著木頭的脫落，一個十二面體出現了。為了突出重點，用對比色的木頭堵住了孔洞。

7 二十面體

二十面體的簡單網格(圖10)強調它的對稱和平衡。如前所述，使用紡錘體和球體作為頂點來創建網格，唯一的區別是鉆孔的角度和鉆孔的數量。紡錘由玫瑰木制成，頂點處的球體由黃楊木制成。

圖10：網格二十面體。紅木和黃楊木，12英寸，2005年。

圖11中的球體最初是一個切面二十面體。接縫處用黑白單板層壓而成。頂點被鉆出，換上了黑色鑲片。每塊鑲嵌板的中心都有手工雕刻的花朵，花朵的圖案多種多樣，使用的木材也不盡相同。底座最初是車削而成，然后手工雕刻，最后涂成黑色。

圖11：球形二十面體。卷曲楓木和黑木，5英寸球體，9 英寸高，2006 年。

圖12是一個偉大的星狀十二面體（再次感謝約翰內斯·開普勒），最初是一個用馬德龍木制成的實心球體。然后采用與圖9類似的技術，在帶鋸上切割出十二面體。在本例中，有 12 個旋轉支點位于山谷中，可以看到黑色的烏木蓋。底座由胡桃木制成，使用旋轉樞軸刳刨機在車床上制作，然后涂成黑色。成品高9英寸。

圖12：大星狀十二面體。馬德龍木、烏木、涂漆胡桃木，符合8?英寸的球體，2003年。

圖13是大十二面體和大星狀十二面體的組合。制作這件作品所用的所有板材厚度均為1/8 英寸。該作品需要120塊平板。從點到點的距離約為8.5英寸。使用模板對面板進行斜切，然后粘合在一起。開普勒將星狀多面體稱為多刺多面體，如圖12和圖13所示。

圖13：大十二面體和大星形十二面體的組合。胡桃木和橡木，符合2006年的8英寸球體。

8 混合體

在接下來的作品中，我使用了被網絡模型包圍的柏拉圖立體的實體面。我稱這些設計為混合體。通過使用術語混合，我暗示我使用了一種以上的技術，即平板和旋轉主軸，或者在圖14的情況下，實心和主軸。

圖14：完全轉向。蜂蜜蝗蟲和椰子樹，7英寸，2004年。

在圖15中，我們看到了由八個小正四面體構成的兩個正四面體的化合物。開普勒稱其為斯特拉八芒星。八個小正四面體的頂點之一成為一個六面體的角。我用轉軸將它們連接在一起，以加強它們之間的關系。

圖15：四面體-六面體混合體。蘋果木、楓木和胡桃木，5 英寸，2003年。

圖16中的十二面體是用3/16英寸的板材制作的，每個金字塔有5塊板材，總共60塊板材。12個頂點構成了網的框架，如你所見，這是一個二十面體。共有 30 個主軸和球體。

圖16：十二面體—二十面體混合體。紫檀木和巴彬加，符合6英寸球體，2003年。

圖14所示的作品完全是在車床上完成的。它的靈感來源于文澤爾·賈姆尼策（Wenzel Jamnitzer），他是一位德國蝕刻家/金匠，在1568年繪制了這件作品[2]。我只能假設它從未制作過，而且只是一個圖形設計，因為主體只是懸浮在底座之上。

9網絡模型

以下四件作品是用網頁設計制作的。它們包含了更多對柏拉圖立體的藝術詮釋，并且是用網來完成的，這樣整個形狀，就像線條畫一樣，可以從一個單一的角度看到。在這些三維模型中，我們可以比在二維線條畫中更容易地欣賞整個空間。

圖17是一個巨大的星形十二面體的網狀模型。有趣的是看到一個潛在的二十面體，以及它的20個面是如何被提升以創建20個新頂點的，我們開始看到二十面體和十二面體之間的關系。有12個平面形成五邊形。巨大的星形十二面體的頂點是通過延伸這些五邊形的邊來創建的。紡錘的長度與基部的長度之比就是黃金分割點。

圖17：巨大的星形十二面體。椰子樹，符合12英寸的球體，2006年。

在完成圖17所示的作品后，很容易創建出變形(圖18)。十二面體和二十面體之間的關系使我著迷。它從一個中央十二面體開始。在每一個面的中心，紡錘體被投射形成二十面體的12個頂點。最后，將二十面體提升以創建外部十二面體的20個頂點。然后，網絡在這些頂點之間連接起來，完成變形。

圖18：變形。烏木、黃楊木和黑漆楓木，14英寸，2007年。

約翰尼斯·開普勒生于1571年，卒于1630年，對柏拉圖立體有著濃厚的興趣，也是下一幅作品的靈感來源。他認為行星的軌道與柏拉圖立體有關，這是我的靈感來源。

在圖19中，每一個柏拉圖立體都包含在另一個里面，并且各自繞著自己的軸旋轉。從中心開始，我們得到四面體、六面體、八面體、十二面體，最后是二十面體。每個都旋轉，天體也是如此。這件作品共有90個紡錘體和40個頂點。紡錘和圓形框架是巴西紫檀木，頂點是箱木，底部是黑漆硬木。

圖19：開普勒理論。巴西紅木、黃楊木和黑漆楓木，18英寸，2001年。

圖20是一個漸進式網格轉換的例子。中心是一個八面體，通過將八個面中的每一個做成四面體來轉換。這些不僅表示兩個主要的相交四面體，而且還表示六面體的八個頂點。這件作品在多倫多大學數學系唐納德·考克斯特的模型陳列柜中找到了歸宿。

圖20：變形。梨、烏木、冬青和緞木、胡桃木和黑漆楓木，8英寸，2006 年。

以下兩件作品的靈感來自盧卡·帕喬利（Luca Pacioli）于 1509 年出版的《神的比例》（De Divina Proportiona）一書，達·芬奇（Leonardo Da Vinci）為該書繪制了規則實體的插圖。萊昂納多的畫可能是第一幅用實體邊緣繪制的骨架實體插圖，因此可以讓人看到哪些邊緣屬于正面，哪些屬于背面。當然，在三維模型中這是不言自明的。

圖21與達·芬奇的模型相似，我對該作品的理解是由84個獨立的框架斜切而成。邊角必須在組裝前切割。第一排12個框架粘合在一起后，就可以粘合和組裝其他各排，直至球體閉合。從圖中可以看出，用于框架的木條的所有面都在組裝前進行了預加工。底座已用鉛彈配重，以便在偏移位置展示該作品。

圖21：達芬奇模型1號。巴賓加和胡桃木，10英寸球體，總高14英寸，2005 年。

達芬奇的第二件作品是一個圓環（圖 22）。這是他以實邊形式繪制的馬佐基奧（mazzocchio）。它的圓周由32個部分組成。每個部分包含八個邊框，共256個邊框，每個邊框都有特定的邊角。

圖22：達芬奇圓環。斑馬木，符合14英寸的環形，2008 年。

圖23顯示了富勒稱之為“矢量平衡”的網絡模型[3]。它是一個立方體八面體，所有的頂點都與中心相連。

圖23：矢量平衡。印度花梨木、黃楊木和橡木，12英寸，2008 年。

立方八面體有許多有趣的特性：它有12個頂點，位于球面上。它包含24條邊和14個面。這個“矢量平衡”模型展示了如何將一個長方體分解成八個四面體和六個半八面體。最后，任意兩個相鄰頂點之間的距離與任意頂點到中心的距離相同。棋子在圓形橡木框內旋轉，而橡木框又在底座上轉動。

這篇文章展示了許多多面體和柏拉圖實體藝術品，也是閱讀大量相關書籍的結果。旅程是無止境的，變數也是無限的。

參考文獻

[1] J. Cox, Beyond Basic Turning, Linden Publishing Co, Fresno, 1993.

[2] P. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, New York, 1997.

[3] R.B. Fuller, Synergetics, MacMillan, New York, 1982.

[4] R. Lawlor, Sacred Geometry, Thames & Hudson, London, 1982.

[5] R. Rollings, Polyhedra through the beauty of wood, in Bridges Banff Procceedings, C. Kaplan and R. Sarhangi, eds., Tarquin Books, Hertfordshire, UK, 2009, pp. 199–206.

[6] D. Springett, Woodturning Wizardry, Guild of Master Craftsman Publications Ltd, East Sussex, 1997.

[7] M. Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, New York, 1971.

[8] Robert Weadon Rollings, Polyhedra expressed through the beauty of wood

青山不改，綠水長流，在下告退。

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