編譯：心蛛（核物理學(xué)博士）、鎖相（凝聚態(tài)物理學(xué)博士）

譯者按

對(duì)于什么是最美的數(shù)學(xué)方程，在Quora上，目前榜首為復(fù)分析領(lǐng)域的歐拉方程（后文提到的歐拉方程是在幾何學(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的形式），獲得了3300多個(gè)投票：

其次是麥克斯韋方程：

前言

數(shù)學(xué)方程不僅實(shí)用，很多還非常優(yōu)美。許多科學(xué)家承認(rèn)，他們常常喜歡一些特別的公式，不僅僅因?yàn)樗鼈児δ軓?qiáng)大，還因?yàn)樗鼈冃问絻?yōu)雅、簡(jiǎn)潔及其中所蘊(yùn)涵著詩(shī)一般的真理。

當(dāng)某些特別著名的方程，比如愛(ài)因斯坦的質(zhì)能方程$E = m c^2$，在公眾面前享譽(yù)極盛時(shí)，許多公眾不那么熟悉的方程在科學(xué)家群體中卻擁者甚眾。LiveScience咨詢了許多物理學(xué)家、天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，將他們喜愛(ài)的數(shù)學(xué)公式羅列如后：

廣義相對(duì)論

上面的公式是愛(ài)因斯坦于1915年發(fā)現(xiàn)的，是具有劃時(shí)代意義的廣義相對(duì)論中的一部分。該理論讓科學(xué)家對(duì)引力的認(rèn)識(shí)發(fā)生了革命性的轉(zhuǎn)變，引力在這里是空間與時(shí)間結(jié)構(gòu)的一種彎曲。

“讓我驚奇的是，這樣一個(gè)方程就揭示了全部的時(shí)空本質(zhì)。”太空望遠(yuǎn)鏡科學(xué)研究所的天體物理學(xué)家馬里奧·利維奧（Mario Livio）如是說(shuō)，他聲明此方程為自己的最愛(ài)。“愛(ài)因斯坦所有的真正的天才之處都蘊(yùn)含在這個(gè)方程中。”

“方程的右側(cè)描述了宇宙的能量構(gòu)成(包括促使宇宙加速膨漲的暗能量)，左側(cè)是時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)。”利維奧解釋道，“此方程揭示了這樣的事實(shí)，在愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論中，質(zhì)量和能量決定了幾何，以及伴隨的時(shí)空彎曲，它顯示為我們所說(shuō)的引力。”

“這是個(gè)非常優(yōu)雅的方程，它還揭示了時(shí)空、物質(zhì)和能量之間的關(guān)系。”紐約大學(xué)物理學(xué)家凱利·克蘭默（Kyle Cranmer）說(shuō)，“此方程告訴你它們之間是如何關(guān)聯(lián)的——比如，太陽(yáng)的存在如何導(dǎo)致了時(shí)空彎曲，從而令地球沿著其軌道運(yùn)轉(zhuǎn)，等等。它還告訴你宇宙自從大爆炸之后是如何演化的，并且預(yù)言了黑洞的存在。”

標(biāo)準(zhǔn)模型

標(biāo)準(zhǔn)模型是物理學(xué)中的另一個(gè)主流理論，它描述了構(gòu)成目前宇宙的所有可見(jiàn)的基本粒子。

這個(gè)理論可濃縮為一個(gè)主方程，即標(biāo)準(zhǔn)模型的拉格朗日量，該名字來(lái)自于十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）。加利福尼亞SLAC國(guó)家加速器實(shí)驗(yàn)室的蘭斯·迪克遜（Lance Dixon）在他的著名公式中采用了這個(gè)方程。

“它成功地描述了迄今所有在實(shí)驗(yàn)室中能夠觀測(cè)到的基本粒子和力——除了引力，這當(dāng)然包括了最新發(fā)現(xiàn)的希格斯玻色子，即公式中的$\phi$。它與量子力學(xué)和狹義相對(duì)論完全自洽，”迪克遜向LiveScience雜志解釋道。

標(biāo)準(zhǔn)模型理論還沒(méi)有與廣義相對(duì)論統(tǒng)一起來(lái)，所以它還不能夠描述引力。

微積分

前兩個(gè)方程描述了宇宙的特定形態(tài)，而微積分這個(gè)令人喜愛(ài)的方程則可以應(yīng)用于各種各樣的情況。微積分基礎(chǔ)理論是微積分學(xué)數(shù)學(xué)方法的基石，它將兩個(gè)主要思想連接了起來(lái)，即積分與求導(dǎo)的概念。

“簡(jiǎn)單來(lái)講，它表明，平滑連續(xù)的量的凈改變，比如經(jīng)過(guò)給定時(shí)間區(qū)間后的行進(jìn)距離（也就是說(shuō)，時(shí)間區(qū)間端點(diǎn)的量的差值），等于該量的變化率的積分，亦即，速度的積分，”美國(guó)福德漢姆大學(xué)（FordHam University）數(shù)學(xué)系主任特里維西克（MelkanaBrakalova-Trevithick）如是說(shuō)，她將此方程選為最愛(ài)。“微積分的基礎(chǔ)理論(FTC)允許我們基于整個(gè)區(qū)間內(nèi)的速率變化來(lái)測(cè)定該區(qū)間的凈變化。”

微積分的萌芽從古代就開(kāi)始了，但其完善集中在十七世紀(jì)并歸功于艾薩克·牛頓，他使用微積分解釋了行星環(huán)繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)。

畢達(dá)哥拉斯定理

說(shuō)到經(jīng)久不衰的方程，非著名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）莫屬，每個(gè)幾何初學(xué)者都要學(xué)習(xí)它。這個(gè)方程表明，對(duì)任意直角三角形，弦（直角三角形的最長(zhǎng)邊）的平方等于其余兩邊長(zhǎng)的平方和。

“第一個(gè)令我驚奇的數(shù)學(xué)事實(shí)就是畢達(dá)哥拉斯定理。”康奈爾大學(xué)（Cornell University）的數(shù)學(xué)家丹尼婭·泰敏娜（Daina Taimina）如是說(shuō)，“當(dāng)我還是孩子時(shí)，它就令我驚奇不已，它不僅在幾何中有用，在數(shù)論中也一樣！”

歐拉公式（Euler's equation）

這個(gè)簡(jiǎn)單的公式蘊(yùn)含著球體的純粹本質(zhì)：

“如果把一個(gè)球切割成面、棱和頂點(diǎn)，令F表示面數(shù)，E表示棱數(shù),V表示頂點(diǎn)數(shù)，你始終能得到V?E+F=2，”馬薩諸塞州威廉姆斯學(xué)院（Williams College）一名數(shù)學(xué)家科林·亞當(dāng)斯（Colin Adams）解釋說(shuō)。

“比如以四面體為例，它有4個(gè)三角形，6根棱和4個(gè)頂點(diǎn)，如果你使勁吹一個(gè)表面柔軟的四面體，它會(huì)脹成一個(gè)球，故這樣看來(lái)，一個(gè)球可以切割成四個(gè)面、六根棱和四個(gè)頂點(diǎn)。我們就有了V?E+F=2。對(duì)于金字塔方錐也一樣，它有五個(gè)面——四個(gè)三角形和一個(gè)正方形，八根棱和五個(gè)頂點(diǎn)。對(duì)于任意其它的面、棱和頂點(diǎn)組合也一樣，”亞當(dāng)斯說(shuō)。“這是一個(gè)非常酷的事實(shí)！頂點(diǎn)、棱和面的組合提示了球體的一些非常基本的東西。”

狹義相對(duì)論

愛(ài)因斯坦又一次榜上有名，這次是因?yàn)樗莫M義相對(duì)論方程，它表明時(shí)間和空間不是絕對(duì)的概念，而是受觀察者速度影響的相對(duì)概念。上面的方程表明，一個(gè)人在任意方向運(yùn)動(dòng)得越快，時(shí)間會(huì)愈加膨漲，或變得更慢。

“它非常簡(jiǎn)潔，任何一名高中畢業(yè)生都會(huì)用，沒(méi)有復(fù)雜的求導(dǎo)和線性代數(shù)。”歐洲核子中心日內(nèi)瓦實(shí)驗(yàn)室的一名粒子物理學(xué)家比爾·莫瑞（Bill Murray）說(shuō)，“但它表達(dá)的是一種全新的觀察世界的方式，一種對(duì)待現(xiàn)實(shí)和我們與它之間關(guān)系的全新態(tài)度。突然間，那個(gè)剛性的不變的宇宙被掃除干凈了，取而代之的是一個(gè)人性的世界，它同你的觀察相關(guān)。你從在宇宙之外的審視者變成了其中的一部分。而這個(gè)概念和數(shù)學(xué)可以被任何想學(xué)的人掌握。”

莫瑞說(shuō)，比起愛(ài)因斯坦后續(xù)理論中的復(fù)雜方程，他更偏愛(ài)狹義相對(duì)論方程。“我都沒(méi)弄懂廣義相對(duì)論中的數(shù)學(xué)。”他補(bǔ)充道。

1 = 0.999999999…

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的方程式，它的意思是，0.999緊跟著無(wú)限個(gè)小數(shù)位的9，其結(jié)果與1等價(jià)。這是康奈爾大學(xué)數(shù)學(xué)家斯蒂芬·斯托加茲（Steven Strogatz）的最愛(ài)。

他說(shuō)：“我愛(ài)它的簡(jiǎn)單，任何人都能夠理解其意思——但是它又多么挑釁啊！許多人就不相信這是真的。它也是優(yōu)美的平衡，左側(cè)代表數(shù)學(xué)的開(kāi)始，而右側(cè)則代表神秘的無(wú)限。”

歐拉－拉格朗日方程及諾特定理

“這非常抽象，但令人驚奇的強(qiáng)大。”紐約大學(xué)的克蘭默說(shuō)，“更酷的是，這種思考物理的方式經(jīng)歷了物理學(xué)的許多主要革命卻依然正確，比如量子力學(xué)、相對(duì)論的出現(xiàn)，等等。”

在這里，L表示拉格朗日量，它代表一個(gè)物理系統(tǒng)的能量量度，比如彈簧、杠桿或基本粒子。“求解這個(gè)方程會(huì)讓你明白系統(tǒng)會(huì)如何隨時(shí)間演化，”克蘭默解釋說(shuō)。

拉格朗日方程的一個(gè)副產(chǎn)品是諾特定理，以二十世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家埃米·諾特（Emmy Noether）命名。“該定理對(duì)于物理學(xué)和對(duì)稱論來(lái)說(shuō)非常基礎(chǔ)。簡(jiǎn)單地講，該理論是說(shuō)如果你的系統(tǒng)有一個(gè) 對(duì)稱性，則必伴隨一個(gè)守恒量。比如，今天的物理基本定律與明天是一樣的（時(shí)間對(duì)稱性），這個(gè)思想則意味著能量是守恒的。物理定律在這兒的與在外太空是相同的，則意味著動(dòng)量守恒。對(duì)稱性在基礎(chǔ)物理中是起推進(jìn)作用的概念，這主要得益于諾特的貢獻(xiàn)，”克蘭默補(bǔ)充道。

卡蘭 -西曼齊克方程（Callan-Symanzik Equation）

“從 1970 年起，卡蘭-西曼齊克方程就是非常重要的第一原則性方程，尤其是用于描述樸素的預(yù)測(cè)在量子世界中會(huì)如何失敗，”羅格斯大學(xué)（Rutgers University）的理論物理學(xué)家馬特·斯特拉斯（Matt Strassler）說(shuō)。

此方程有很多應(yīng)用，包括讓物理學(xué)家用它來(lái)預(yù)測(cè)質(zhì)子和中子的質(zhì)量和大小。質(zhì)子和中子是構(gòu)成原子核的基本粒子。

基礎(chǔ)物理告訴我們，兩個(gè)物體之間的引力和電磁力，與它們之間的距離成平方反比關(guān)系。簡(jiǎn)單來(lái)講，這也適用于強(qiáng)核子力，該力把質(zhì)子和中子捆綁起來(lái)構(gòu)成了原子核，也是它將夸克捆綁起來(lái)構(gòu)成了質(zhì)子和中子。但是，微小的量子漲落會(huì)影響力與距離的依賴關(guān)系，這對(duì)強(qiáng)核力帶來(lái)的影響是巨大的。

“這阻礙了此力在長(zhǎng)距離處的衰減，結(jié)果導(dǎo)致對(duì)夸克的囚禁，迫使它們形成了質(zhì)子和中子，從而構(gòu)造了我們的世界，”斯特拉斯解釋說(shuō)。“卡蘭 -西曼齊克方程的作用與這個(gè)巨大的難以計(jì)算的效應(yīng)相關(guān)聯(lián)，當(dāng)距離在大概質(zhì)子大小的尺寸時(shí)它很重要，當(dāng)距離比質(zhì)子尺寸小很多時(shí)它更加敏感，更容易計(jì)算其效應(yīng)。”

極小曲面方程

“極小曲面方程以某種方式形成了美麗的肥皂薄膜，這個(gè)你可以用金屬框伸進(jìn)肥皂水中泡一下再拿出來(lái)而制作。”威廉姆斯學(xué)院的數(shù)學(xué)家弗蘭克·摩根（Frank Morgan）說(shuō)，“此方程是非線性的，涉及到導(dǎo)數(shù)的冪和乘積，其中暗含的數(shù)學(xué)表現(xiàn)在肥皂薄膜的奇怪反應(yīng)上。它的非線性與大家熟悉的線性偏微分方程相不同，比如熱傳導(dǎo)方程，波動(dòng)方程，以及量子力學(xué)中的薛定諤方程。”

歐拉線（The Euler line）

紐約數(shù)學(xué)博物館的奠基人格倫·惠特尼（Glen Whiteney）選擇了另一個(gè)幾何定理，它與歐拉線有關(guān)，以十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）來(lái)命名。

惠特尼這樣解釋：“選擇任一個(gè)三角形，畫(huà)一個(gè)包含此三角形的最小的圓，并找到其圓心。找到三角形的重心——如果把三角形從紙上切下來(lái)，針頂著重心可令它保持平衡。畫(huà)出三角形的三條垂線（過(guò)三角形任意定角，并垂直于該角對(duì)邊的線），找到它們交匯的點(diǎn)。該定理是說(shuō)，你剛才找到的同一個(gè)三角形的這三個(gè)點(diǎn)始終位于一條直線上，這條線就叫三角形的歐拉線。”

這條定理蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的美與強(qiáng)大，數(shù)學(xué)經(jīng)常會(huì)用簡(jiǎn)潔、熟悉的形狀提示出令人驚訝的模式。

來(lái)源：livescience

作者：Clara Moskowitz

編譯：心蛛

校對(duì)：鎖相