女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

復雜的幾何設計是伊斯蘭藝術的一個常見特征。在此，我們將探討這一流派的歷史背景，追溯到伊斯蘭教在早期征服拜占庭領土時遇到的柏拉圖主義和希臘新柏拉圖主義的影響（尤其是歐幾里得的巨大貢獻）。

此外，現代分析顯示了數學方面的關系。這種分析自然會導致使用計算機圖形來呈現圖案。

伊斯蘭藝術中的幾何模式

復雜的幾何圖案是伊斯蘭藝術和建筑的一個眾所周知的特點，同時它還喜歡高度對稱的排列方式。但這種模式的起源是什么？這種廣泛的風格傾向究竟反映了伊斯蘭精神的哪些方面？嚴肅的伊斯蘭藝術史學家自然不愿意對伊斯蘭裝飾形式的演變妄下結論——鑒于考古證據的匱乏，這是可以理解的。但很明顯，一千多年來，伊斯蘭領域內的許多民族和種族持續使用強烈的對稱布局和高度幾何化的裝飾方式，一定有其原因，而且是令人信服的原因。下面將對這一問題的各個方面進行探討。

理論、問題和證據

任何關于"伊斯蘭幾何設計"的討論都應考慮到這一主題的廣泛性。從整個伊斯蘭世界幾個世紀的發展歷程中汲取了大量的實例，顯然，這是一個不宜一概而論的主題。但是，在欣賞這種藝術形式的內在品質的同時，并不總是對其進行應有的認真評價。事實上，不得不說，作為伊斯蘭裝飾藝術的一個主題，"幾何模式"所經受的無端解釋和誤解遠遠超過了其應有的份額。其中比較常見的有：

1. 采用幾何和"阿拉伯花紋"圖案完全是因為《古蘭經》禁止造像；

2. 認為這些圖案是根據某種潛在的象征意義設計的；

3. 認為理論數學家參與了這些圖案的創作。

第一種說法顯然有一定的影響基礎，因為伊斯蘭教嚴格遵守《出埃及記》第20章第2條誡命（"不可為你造像...... "等）。但是，這種解釋本身完全不足以解釋為什么會出現這種特殊的形式。至于其他命題，沒有任何證據表明伊斯蘭幾何圖案或植物圖案中使用了任何形式的象征主義，也幾乎沒有證據表明前者與純數學學科有任何聯系。

還應該指出的是，在這個廣泛的主題中，還有其他一些重要方面仍然模糊不清有爭議，而且很可能會繼續如此，例如獨特的伊斯蘭裝飾典范最初出現的確切時間和地點；它在多大程度上借鑒了晚期古典形式；以及它是否像一些人聲稱的那樣與教義有關，或者，實際上，它根本受到宗教或哲學思想的影響。很明顯，主要的證據來源始終在于現存作品本身，但即使在這方面也存在問題，尤其是許多建筑記錄已被毀壞。此外，人們往往不清楚一件具體的裝飾藝術作品是完全歸功于參與制作的藝術家和工匠，還是由委托人的品味決定的。此外，很少有很好的證據來說明相關創作過程的實際情況，尤其是在大型項目中，例如，可能很難確定紀念碑的建筑師和受雇裝飾紀念碑的人員的相對貢獻。

很有可能，審美優先順序的確定以及參與更宏大計劃的不同機構的貢獻可能存在巨大差異。不過，在阿拉伯式花飾和幾何圖案的細節方面的創新通常都是由工匠向上發展的，這一點似乎是最有可能的。這是一門裝飾性的游戲藝術，主要源于藝術家/工匠個人的創造才能，他們熱衷于用自己的創造技能給贊助人（和他們的同行）留下深刻印象，無論是在他們使用的特定媒介上，還是在他們設計的精致性和復雜性上。在伊斯蘭藝術和手工藝中，精湛的技藝一直備受推崇。

至于對數學家在幾何圖案創作方面提供適當建議的程度的猜測，同樣，有少量證據表明，數學家通過編寫供工匠閱讀的幾何手冊（見下文），甚至偶爾舉行跨學科會議的形式提供了此類建議，但似乎更有可能的是，創作這些圖案的人通常依靠自己非正式的、非學術性的平面幾何工作知識，而這些知識顯然相當豐富。伊斯蘭藝術和建筑形成時期的建筑師都沒有傳記，更不用說工匠了，而后者留下的詳細工作實踐的文獻也很少，這也不足為奇。此外，也沒有任何跡象表明他們受到了任何一種總體理論的影響。在這門藝術中扮演重要角色的幾何圖案、阿拉伯式花飾和書法，通常都是在世代相傳的作坊傳統中創造出來的。

這些不成文的裝飾規則以及創作技巧，對于相關的藝術家/工匠來說已經成為第二天性，在許多情況下，其制作方法幾乎等同于商業秘密。甚至連這些不同裝飾成分（幾何圖形、阿拉伯式花飾和書法）的專業化程度以及將這些成分組織成成品的方法都無從知曉。不過，創作幾何圖案的伊斯蘭紋飾師不可能完全熟悉建筑師或從事土木工程、城市規劃、土地測量等工作的人所需的技術性更強的幾何知識。他們的藝術幾何主要關注的是優雅的外觀，而不是數學上的精確性；如果最終效果證明是合理的，那么近似值往往是可以接受的（圖 1）。

圖1：伊斯蘭藝術的"裝飾典范"由三種不同的元素組成（書法、純幾何圖案和阿拉伯式花飾），它們都以無窮無盡的形式出現。這種藝術完全是無名的，它違背了藝術家最崇高的使命，即把精神從世俗的羈絆中解放出來"。(Kühnel 1949）

然而，有關這些問題和其他問題的證據不足，困擾著伊斯蘭藝術史研究。伊斯蘭悠久的文化遺產經受了時間的摧殘，伊斯蘭歷史上許多可怕的破壞性事件意味著考古記錄的重要部分已被毀壞或嚴重縮減。除了人類付出的慘重代價外，這也給確定伊斯蘭裝飾藝術的藝術演變，特別是從早期的衍生風格到成熟形式的發展路徑帶來了嚴重困難。

伊斯蘭藝術與其他偉大文化的藝術作品一樣，都具有使人一眼就能認出的風格特征——但創造這些獨特文化品質的確切特質卻往往不那么容易確定（Wade 2018）。當然，伊斯蘭教對幾何裝飾的偏愛是其特征的重要組成部分，也是讓人一眼就能辨認出來的原因之一——但這種藝術表現形式本質上是一個更廣泛主題的組成部分，即對稱。當然，許多其他文化也使用對稱，但在伊斯蘭教中，對稱是一個必要條件。伊斯蘭藝術不僅僅是充滿了幾何對稱——這是它的核心原則。這個話題的首要問題必須是：為什么以及如何形成的？

我們冒著被指責為前文提到的那種以偏概全的風險，對于幾何模式在伊斯蘭藝術和建筑中的起源和持續使用，我們自己的直覺是，它在某種程度上反映了古典哲學傳統的美學理想，而這種美學理想在其發展的早期階段就已被徹底吸收到伊斯蘭的主流思想中。當然，我們指的是始于畢達哥拉斯、由柏拉圖鞏固并由后期古典主義的"新柏拉圖主義者"延續的思想推測。伊斯蘭教擴展到希臘化的古代晚期這一領域的事實意味著，新柏拉圖主義是伊斯蘭教接觸到的第一種主要哲學，后來伊斯蘭教將其中的許多主題納入了自己廣闊的哲學視野。事實上，希臘古典哲學在很大程度上成為了伊斯蘭傳統的一部分。在伊斯蘭教的形成時期，柏拉圖和亞里士多德的許多思想尤其被認為是可以接受的，甚至完全符合伊斯蘭教的核心信仰。

柏拉圖思想流派的一個核心概念是理想形式與美之間的聯系，它專注于幾何形式的純粹性，將其作為這些概念的一種表現形式，這似乎與伊斯蘭藝術的主要主題有著密切的關系。早在伊斯蘭教出現之前，希臘作家普魯塔克就像一位真正的畢達哥拉斯主義者一樣，將幾何與柏拉圖傳統中的靈性聯系在一起——"幾何的作用是將我們從感官和墮落的世界引向理智和永恒的世界。因為對永恒的思考是哲學的目的，正如對神秘的思考是宗教的目的一樣"。還有比這更完美的描述嗎？在千百年來的伊斯蘭世界中，幾何圖案種類繁多，其背后的深層意圖以及對這一模式的不斷藝術探索過程是什么？在我們看來，這一流派以其純粹的幾何圖形，在歐幾里得平面的舞臺上不斷上演著對稱的舞蹈，是典型的柏拉圖風格。至于這些崇高的哲學思想是如何傳播給生活在社會底層的工匠的，當然完全是另一回事......。

象征意義

正如前文所述，我們很容易將象征意義賦予我們稱之為"伊斯蘭裝飾典范"的傳統形式劇目，即在伊斯蘭世界的藝術和建筑中以這種或那種形式出現的書法、阿拉伯式花紋和幾何元素劇目。這很誘人，但卻是誤解。盡管有各種與此相反的說法，但這些形式很少帶有任何象征性或教義性的聯系。事實上，伊斯蘭藝術始終避免使用象征意義——但由于不愿接受這一事實，導致近來對這一流派的各種誤讀，尤其是對其幾何方面的誤讀。其中包括神秘主義/宗教解釋，包括涉及神秘的"宇宙學"和占星術象征意義的庸俗的"新時代"解釋；幾何結構中不太可能使用的魔方；以及賦予特定的教義關聯——所有這些都是沒有實際證據的歸因。會講阿拉伯語的Wasma'a K. Chorbachi 在研究了數百幅原始作坊圖后，發現其中沒有任何關于神秘學、占星學或宗教象征意義的內容（Chorbachi，1989 年，第 771 頁）。事實上，最近對這一體裁象征意義的錯誤歸因似乎正是因為它在西歐（或其他任何地方）的藝術中沒有真正的對等體裁。

至于教義方面的聯系，喬納森·布魯姆認為，到了法蒂瑪王朝（什葉派）后期，純粹的阿拉伯式樣和幾何圖形的趣味占據了統治地位，在伊斯蘭國家的其他地方也是如此。他確信這些圖案和裝飾方式與教義無關（Bloom 2007）。同樣，特里·艾倫（Terry Allen）也寫道，沒有證據支持幾何圖案被理解為阿拔斯王朝和遜尼派的"象征"這一說法（Allen 2004）。希拉·布萊爾（Sheila Blair）則宣稱，在她看來，圓形文字和幾何圖形的神圣化與十世紀的宗教宗派主義毫無關系（Blair 2006）。

事實上，到10世紀時，幾何圖案、阿拉伯式花飾和書法已成為伊斯蘭藝術的既定特色，而且這種裝飾典范在伊斯蘭教義的制定過程中經歷了各種紛爭，并得以發展和延續。無論是否存在"遜尼派復興"，這些形式都已成為一種國際伊斯蘭風格。由于蒙古人的入侵造成了這一時期考古證據的匱乏，大量的阿拔斯藝術和建筑在蒙古人的入侵中被毀，因此有關這一風格發展的特殊藝術史問題變得異常復雜。不過，要了解幾個世紀前實際創作作品的藝術家/手工藝人和建筑師的心態，總會遇到更多普遍的困難。與文化態度或世界觀產生共鳴的風格總是從下而上產生的，而不是從上而下刻意強加的。誰知道每個工匠的真正想法是什么呢？歸根結底，作品本身才是最重要的。伊斯蘭裝飾中的許多幾何圖形、阿拉伯式花飾和書法變化就像伊斯蘭精神本身一樣獨一無二，并具有深遠的文化共鳴和自身的意義。

早期伊斯蘭藝術：伊斯蘭審美情趣的出現

最早時期，即第一個伊斯蘭王朝倭馬亞王朝時期的伊斯蘭藝術和建筑給人的第一印象是陌生的，幾乎沒有后來伊斯蘭藝術的特征。這是因為伊斯蘭教的文化和藝術價值遠比純粹的宗教價值發展得更為漸進。倭馬亞王朝（Umayyads）在征服敘利亞的初期，從阿拉伯的阿爾赫賈茲（Al Hejaz）地區向北遷移，建立了大馬士革作為首都和行政中心（公元 661 年）。在這里，他們很快采用了前拜占庭當局的行政和民事做法，并在很短的時間內從粗暴的征服者轉變為成熟的軍事貴族。當代的記載表明，盡管新的穆斯林政權對自己的宗教使命充滿信心，但拜占庭領土上的文明先進給他們留下了深刻的印象，尤其是該地區基督教藝術和建筑的富麗堂皇和美輪美奐。

因此，最早的重要伊斯蘭建筑項目，特別是耶路撒冷的圓頂寺和大馬士革的大清真寺，旨在與最令人印象深刻的基督教圣地相媲美，甚至勝過它們，也就不足為奇了。當然，它們也是伊斯蘭教地位上升的象征，在建造這些紀念碑時，穆斯林顯然對圣地的功能和外觀有了自己的想法。但此時新的統治者仍是少數，因此受委托建造和裝飾這些紀念碑的建筑師、建造者和藝術家/工匠很可能主要是基督徒。因此，穆斯林統治頭幾十年中這些建筑和其他建筑的裝飾方面特別有趣，因為它們顯示了伊斯蘭獨特的審美偏好（Al-Khalili，2010 年；Freely，2009 年；Kennedy，2005 年）。

上述兩座古跡最顯著的特點之一就是使用了大面積的精細馬賽克壁畫。這些壁畫的主題大部分是繁茂的植物造型，其意義和含義并不完全清楚，但在這兩處古跡中，這些裝飾很可能指的是穆斯林對信徒來世天堂的憧憬。巖石穹頂上精致的、風格化的植物造型來自于晚期的古代造型，并被鑲嵌在寶石狀裝飾和書法的延伸帶中。大清真寺的馬賽克比巖石穹頂晚建約 15 年，其馬賽克更具有表現力，包括輝煌花園中的異國建筑、流淌的河流和婀娜多姿的樹木。但是，這兩座紀念碑都沒有基督教意義上的圣像——事實上，根本沒有人或動物的形象，穆斯林顯然認為這些主題在這樣的宗教環境中是完全不合適的。

然而，這種藝術和建筑給人留下的印象明顯是精神上的，本質上是一種有序的超凡脫俗。這種靜謐感是通過使用建筑和裝飾的對稱性來實現的，而這種對稱性并不依賴于任何公開的符號。巖石穹頂的馬賽克鑲板與建筑物強烈的整體對稱性相一致，再加上建筑物整體建筑風格的刻意重復，似乎是為了讓朝圣者在其內部產生一種游離感。在這里，正如在后來的伊斯蘭建筑裝飾中一樣，有一種建筑實體消解的感覺。大馬士革大清真寺的馬賽克展現了一種不同的視覺效果，但同樣，其鑲板似乎描繪了一種理想的、天堂般的存在狀態。特別有趣的是，這些美學偏好，尤其是對強烈對稱的使用，似乎受到了新柏拉圖態度的影響，而這種態度已經被該地區的基督教思想所吸收（見下文）。大馬士革大清真寺的窗格等其他有趣的建筑細節也是基于早期的形式，似乎反映了新的伊斯蘭感性認識（圖 2）。至少可以說，在伊斯蘭建筑的早期階段就出現純粹幾何裝飾效果的可能性是耐人尋味的，尤其是這些例子在設計上似乎比明顯源自古代晚期的模型更具有冒險精神。奧列格·格拉巴（Oleg Grabar）在談到伊斯蘭教早期使用裝飾的這些例子和其他例子時指出，這些例子似乎顯示了對以前形式的有意選擇，同時避免了明顯、僵硬的結構，并傾向于使用通過對稱排列能夠無限延伸的裝飾圖案（Grabar 1973）。

圖2：大馬士革烏瑪亞德大清真寺的窗花圖案明顯源自晚期古典模式，但似乎表明伊斯蘭世界對圖案的使用更具活力

伊斯蘭教的希臘繼承：數學、科學和哲學

畢達哥拉斯是伊斯蘭數學研究的領軍人物。誠然，其中摻雜了希臘和印度的元素，但一切都是從新畢達哥拉斯的觀點出發的。(De Boer 1903）

在伊斯蘭教的第二個世紀，阿拔斯王朝在巴格達建立了新的首都，穆斯林的管理者和學者能夠從他們控制的廣袤土地上汲取大量的知識。古典、羅馬、希臘、中國、印度、波斯和埃及的各種學問開始出現并得到研究，但最重要的一般和實用知識來源仍然是大量的希臘著作，這些著作是穆斯林在征服埃及和敘利亞的拜占庭時期首次接觸到的。

倭馬亞哈里發統治下的早期穆斯林將大馬士革作為他們的行政中心，他們對希臘人的博學水平以及埃及和敘利亞的總體文明生活水平印象深刻。這一地區曾被羅馬統治了7個世紀，是希臘文明的繼承者，自公元4世紀以來一直信奉基督教。當伊斯蘭教于公元7世紀末進入這一地區時，人們仍在傳授早期古典和希臘化時代的希臘科學和文學（盡管是通過基督教的視角過濾的），以及柏拉圖和亞里士多德的哲學。起源于這些哲學的新柏拉圖主義對這一環境產生了持久的影響（Morewedge，1992 年）。

然而，穆斯林在第一次接觸到這一龐大的古典知識體系時，他們的反應就出現了分歧。古典主義帶有異教徒和異教的色彩，因此受到那些嚴格信奉宗教的人的極大懷疑，但由于快速發展的帝國的行政管理現在必須用阿拉伯語進行，因此迫切需要將包括官方文件在內的大量書面材料從希臘原文翻譯過來。穆斯林需要學習的東西很多，拜占庭的資料也有很多值得借鑒的地方，盡管翻譯希臘文資料的最初動力可能純粹是出于實用的原因，但隨著對這些豐富信息的日益熟悉，人們不可避免地對希臘思想產生了更廣泛的興趣。早期的翻譯往往是非官方的，即由私人贊助，但由于這些資料顯然在許多領域都大有可為，這種情況將有所改變。隨著希臘原文翻譯數量的增加和質量的提高，它們的價值變得越來越明顯。在這一階段，醫學論文以及有關占星術和煉金術的論文尤其引人關注，但隨著越來越多的主題被翻譯出來，它們已成為穆斯林社會所吸收的普遍文化影響的一部分。這種文化滲透的最終結果是，伊斯蘭教接受了希臘晚期的態度，以至于這些態度幾乎被默認為其自身傳統的重要組成部分。在許多方面，伊斯蘭公民生活的模式在此確立，并永久性地融入了其自身的伊斯蘭精神。

伊斯蘭教第二大哈里發王朝阿拔斯王朝（伊斯蘭教第三個世紀）所謂的巴格達黃金時代的特點是，不僅對希臘知識，而且對帕提亞和印度知識的翻譯都異常熱衷。但是，即使到了著名的智慧之家（Bayt al-Hikma）在巴格達成立（公元830年）的時候，伊斯蘭知識分子對柏拉圖、亞里士多德和普羅提諾等重要人物的熟悉程度也不亞于拜占庭世界的知識分子。基督教和猶太教早先對古典思想進行的調整促進了這一進程，可以說，這些調整"凈化"了古典思想中的異教色彩，使其更容易為伊斯蘭教所接受。

宮廷從大馬士革轉移到巴格達意味著哈里發的"拜占庭化"在很大程度上被其宗教政治思想、態度和禮儀的 "波斯化 "所取代（盡管統治者仍然傾向于阿拉伯人）。但是，人們對希臘文本的興趣卻絲毫未減。Bayt al-Hikma 最初是作為一個翻譯中心建立的，但后來自然而然地發展成為一個圖書館，再后來成為一所大學，為學者們提供希臘文和其他著作。這一機構的建立也意味著人們很快就會從拜占庭、波斯和印度等所有可用的來源積極尋找各種學術課題的原始手稿。與大馬士革一樣，最先翻譯的是那些被認為對統治者最直接有用的書籍，包括醫學、占星術、農業和其他技術論文，但隨著翻譯運動的加快，特別是在哈里發哈倫·拉希德統治時期，學者們將注意力轉向了科學和哲學著作。到九世紀上半葉哈里發的兒子哈里發·馬蒙統治時期，翻譯運動已成為一種非常時尚的活動，涉及許多不同的翻譯團隊和抄寫員，由皇家宮廷和私人富豪資助。

巴格達宮廷圈對希臘思想的日益熟悉使人們產生了一種由衷的欽佩之情，尤其是對那些涉及哲學/科學和數學主題的文本。歐幾里得、阿波羅尼烏斯和阿基米德的作品尤其受到極大的尊重。數學家 al-Hajjaj ibn Matar 在哈倫·拉希德統治時期（公元786-809 年）將歐幾里得的著作翻譯成了阿拉伯語（他后來為自己的兒子、未來的哈里發馬蒙提供了簡略但經過改進的版本）。

公元9世紀，巴格達作為哈里發王朝的首都，是伊斯蘭世界的知識、宗教和商業中心。這是一個科學和醫學創新非凡的時期，其發展往往與哲學推測有關。伊斯蘭知識分子對古典數學和幾何學原理的理解加深，自然而然地產生了自信感，使他們能夠不斷進步，并在必要時糾正其杰出前輩的論斷。在哈里發·馬蒙統治時期（公元 813-833 年），數學、天文學、地理學和醫學等領域的新著作明顯增多。這些著作往往遠遠超出了單純的翻譯。一個新的伊斯蘭學者階層出現了，他們能夠對希臘著作進行注釋，并越來越多地參與原創性研究。例如，在天文學方面，對托勒密《天文學大成》的研究促使馬蒙制定了一項計劃，以驗證現有星圖的準確性。這反過來又促成了官方天文學家的任命，并在巴格達和大馬士革建立了天文臺--為伊斯蘭教與這門科學長達 700 年的合作奠定了基礎（其巨大成就為現代天文學做出了巨大貢獻）。翻譯運動本身在公元 10 世紀末或多或少地結束了，這主要是因為現有的一切都已翻譯完畢，但同時也因為此時伊斯蘭科學已經真正建立了自己的體系，并產生了大量原創作品。

在巴格達的"黃金時代"，最令人矚目的成就之一是嘗試精確測量地球的周長，這是阿爾·馬蒙個人感興趣的一個項目，這也表明了當時科學探索的普遍精神。第一次嘗試是對伊拉克西北部辛賈爾的一片平坦沙漠進行精確測量，比較測量過程開始和結束時北極星的高度，然后根據角度差計算地球的曲率。結果是8000 farsakhs（24,000 英里），并由第二次考察進行了檢驗，在當時是非常準確的。

哈里發馬蒙親自聘用了著名的數學家和天文學家阿赫瓦里茲米，他的許多成就中包括將印度數字引入阿拉伯數學。阿赫瓦里茲米還開發了我們現在所知的代數（al-Jebr）程序，并將自己的名字命名為"算法"。此時的巴格達宮廷中洋溢著一種令人振奮的親科學氛圍，但在這種早期伊斯蘭的環境中，不可避免地會出現理性與信仰的調和問題。哈里發對宗教界對他的原理性主義觀點的批評越來越多，他的回應是推廣被稱為穆塔濟勒主義的神學，認為安拉的道德義務是理性思維可以理解的，而且由于知識源于理性，后者應該是"最終的仲裁者"。穆塔齊勒派不喜歡對《古蘭經》進行傳統的擬人化解釋，甚至宣稱《古蘭經》不能被恰當地視為安拉的話語，因為安拉不可能有可分離的部分。這種觀點認為，《古蘭經》是創造出來的，而不是像流行的宗教信仰認為的那樣是永恒的。

這種對伊斯蘭教基本戒律的詮釋令人興奮，但在宗教正統派中卻完全不受待見，他們對這些理性主義思想的方方面面都極力反對。最終，這場沖突引發了一場意識形態危機，導致哈里發馬蒙（al-Mamun）試圖通過將接受穆塔茲主義作為官方服務的條件來迫使人們接受這一觀點，面對持續不斷的反對聲，他對那些拒絕接受其統治的人實施了宗教裁判所（mihnah）。這反過來又引起了宗教和民眾對這些舉措的強烈反響，因此哈里發試圖在理性實踐和宗教遵守之間強加某種程度的分離最終失敗了。事后看來，這證明是伊斯蘭教的一個岔路口，最終信仰優先于理性——古典希臘態度的影響力因此下降。在隨后的幾個世紀里，科學思想和懷疑、理性的思維在伊斯蘭世界繼續發揮著重要作用，并取得了許多重要發現，但客觀地說，伊斯蘭科學在公元前1000年左右達到頂峰，并進入漫長而緩慢的衰落期。不幸的是，此后伊斯蘭世界的宗教保守主義和教條主義傾向越來越傾向于創造不利于追求科學知識的條件。

這一過程中的一個關鍵時刻發生在公元十一世紀，當時頗具影響力的神學家加扎利在一本名為《哲學家的不一致性》（Tahafut al-Falasifa）的著作中抨擊了整個希臘哲學傳統（尤其是新柏拉圖主義的"喚醒"原則），將其斥為異端邪說。這一宣言標志著伊斯蘭認識論的重要轉變。然而，此時新柏拉圖主義的態度已被伊斯蘭主流思想徹底同化，具有諷刺意味的是，加扎利本人在駁斥新柏拉圖主義和其他古典哲學時也使用了古典辯證法。新柏拉圖主義繼續以許多微妙的方式影響著伊斯蘭文化；然而，伊斯蘭藝術中的超凡脫俗、幾何圖形、先入為主的思想確實可以看作是這一持久遺產的一部分。這種宗教哲學的復雜思想不太可能引起大多數藝術家/手工藝者的興趣，但他們（以及伊斯蘭社會中的許多其他人）似乎通過上述文化滲透的方式吸收了其中的許多廣泛概念。

加扎利（Al-Ghazali，公元 1058-1111 年）是伊斯蘭文化史上的杰出人物，至今仍被視為最偉大的宗教思想家之一。他之所以重要，是因為在他所處的時代，法律和立法事務中的終極權威問題（其根源在于上文提到的穆塔茲主義之爭）已成為文化危機的一部分。伊斯蘭社會朝著各種不可調和的方向發展，其中包括希臘理性/哲學傳統的持續挑戰。加扎利在個人層面上經歷了這種認識論上的分裂，表現為信仰和良知危機，導致精神和身體完全崩潰。他從這一創傷經歷中恢復過來，從以前極端的哲學懷疑論轉變為更加神秘地接受先知啟示的作用。他的《宗教科學的復興》（Ihya ulum l-din）對伊斯蘭真理進行了徹底的重新聚焦，影響巨大。通過這部著作和其他作品，他被譽為"信仰的恢復者"。他的成就體現在他的思想被廣泛接受。對于蘇菲派來說，他仍然是一位神秘主義者；對于正統神學家來說，他是一位重要的宗教導師；而對于法學家來說，他仍然是一位受人敬仰的杰出法學家。

后來，加扎利（他出版了約70本著作）間接影響了歐洲的理性思想，特別是通過托馬斯·阿奎那和帕斯卡爾的哲學著作，使歐洲理性思想從黑暗時代緩慢地崛起。

伊斯蘭世界的理論幾何學和手工藝實踐

鑒于其起源，木工需要大量的各種幾何知識。它需要關于比例和測量的一般或專門的知識，以便以適當的方式將形式從潛在變為現實，而關于比例的知識必須求助于幾何學家。因此，希臘主要的幾何學家都是木匠大師。《原理》的作者歐幾里得就是一位木匠，并因此而聞名。《圓錐曲線》一書的作者阿波羅尼烏斯、墨涅拉烏斯等人也是如此。伊本·胡爾敦（Ibn Khuldun）摘自他的《Muqaddimah》（Khaldun 1967）。

伊斯蘭哲學家和社會歷史學家伊本·胡爾敦在其經典百科全書式的《世界史》（Muqaddimah，完成于公元 1377 年）的導言中，對幾何學和手工藝提出了各種看法，上面的引文就摘自這些看法。他的評論很有意思，部分原因是這些評論顯然熟悉古典數學的各種重要人物，還因為這些評論似乎反映了建筑師和工匠所使用的幾何學與伊斯蘭教從希臘人那里繼承的學術幾何學傳統之間的默契。對幾何問題的這種明顯的共同興趣使近代的許多人認為兩者之間的聯系比證據所證明的要密切得多。當然，伊斯蘭教中兩種幾何學都有大量的證據，但歸根結底，它們之間相互聯系的證據卻很少。

希臘數學傳統在伊斯蘭領域的延續，尤其是其幾何學，無疑令人印象深刻。幾何學從翻譯運動一開始就受到青睞，主要是因為它有許多明顯的實際應用。歐幾里得的《幾何原本》為平面幾何奠定了基礎，該書很早就被翻譯過來，并因其有條不紊、合乎邏輯的論述而備受推崇。事實上，這部著作不僅是理論幾何學的基礎，也是邏輯方法論的典范。它通過一系列公理的穩步推進，為伊斯蘭各種數學和科學研究的嚴謹性樹立了標桿。

對于本文討論的主題而言，最重要的是，早期伊斯蘭翻譯家和學者的新探究精神以及他們對希臘學問的熱情似乎對伊斯蘭文化態度產生了更廣泛的影響。眾所周知，伊斯蘭對復雜的幾何圖案情有獨鐘，可以說是所有藝術形式中最"科學"的一種，這可以看作是這種共同熱情的一種表現，也表明了伊斯蘭世界對古典數學知識的吸收程度。因此，一些評論家認為伊斯蘭數學家和工匠在裝飾板上表現出高度的幾何復雜性方面進行了一定程度的合作；但實際上，幾乎沒有證據表明這種跨學科合作真正發生過。數學家和各種能工巧匠肯定對幾何學非常熟悉。但是，他們的興趣、技能和目標是不同的（他們在社會中的地位也是不同的）。正如藝術史學家特里·艾倫（Terry Allen）在談到這一主題時所指出的，我們不能簡單地將幾何興趣的每一種表現形式混為一談（Allen 2004）。作為數學分支的理論幾何學與工匠和建筑師使用的"實踐"幾何學是同樣專業但又截然不同的學科。認為裝飾圖案中的復雜幾何圖形源于對幾何理論的深刻理解，這種觀點在很大程度上是錯誤的。此外，盡管"幾何模式"確實成為伊斯蘭藝術中無處不在的裝飾形式，但這并不是伊斯蘭世界對幾何產生更普遍興趣的表現。沒有關于普通穆斯林公民如何看待幾何裝飾的記載（我們可以想象，他們會像我們今天一樣印象深刻、興趣盎然），但這并不意味著他們會比現代的非穆斯林更了解幾何裝飾的基本構造原理。這些更有可能屬于專業領域的內幕知識。

事實上，在伊斯蘭教中世紀的任何現存數學文獻中，幾乎都沒有關于裝飾的記載。其藝術和建筑藝術中的幾何形式都是由藝術家/工匠創造的，實際上，從純數學的角度來看，即使是最復雜的裝飾板也相對微不足道。當然，當時的數學家對幾何設計感興趣是再自然不過的事了——他們現在仍然如此。誠然，我們可以看到一些"學術"幾何學家與使用幾何圖形的工匠之間的交流，但同樣沒有證據表明他們在實際項目中進行了合作。據此可以判斷（因為此類接觸的證據往往來自學術方面），雙方之間從未有過完全的思想碰撞。"給工匠的建議"之類的文獻，往往是指手畫腳地試圖讓藝術家/工匠"正確地"，即按照純粹的歐幾里得幾何原理來構造他們的設計。如前所述，在設計中加入"近似"（即在設計中加入"不完全"規則的圖形）是任何幾何學術家都無法接受的，但設計師偶爾也會接受。

幾個世紀以來，復雜圖案在伊斯蘭世界的廣泛使用清楚地表明，這種表達方式滿足了伊斯蘭精神中不可或缺的東西——尤其是因為幾何模式的使用并不是以任何單一的、不間斷的傳統來表達的。從技術上講，在伊斯蘭幾何圖案中創造高度復雜性的方法有很多種，最終只有廣泛的幾何主題本身是不變的。這就是說，盡管在不同的伊斯蘭地區，隨著時間的推移，幾何圖案的復雜性有增加的趨勢，但其表現形式和方法卻多種多樣。然而，耐人尋味的是，隨著時間的推移，這些不起眼的穆斯林工匠設法發掘并利用了形式對稱排列的許多可能性（見下文"現代數學分析"部分），用于裝飾目的。

毫無疑問，藝術家/手工藝人（自愿或非自愿）在相隔遙遠的地區旅行，而在不同的時間和地點，圖案書籍和施工圖紙會為傳承提供便利。由于伊斯蘭教的歷史支離破碎，傳統很可能被打破，有時會以微妙的不同方式重新恢復，圖案也會從一種媒介改編成另一種媒介。從整體上看，這一悠久的傳統表明，隨著時間的推移，嘗試與堅持既定的形式并存。伊斯蘭裝飾紋樣的使用有其連續性，但真正不變的是對平面分割的基本幾何原理的透徹理解，以及對藝術幾何的精通。這涉及到對一套不言而喻的規則的敏銳認識，其中包括強烈的對稱意識，以及對框架板塊內各元素細致、均衡分布的偏好。歸根結底，正是這些標準，而不是任何數學公式，在很大程度上使各式各樣的伊斯蘭藝術具有可識別性、連貫性和獨特性。

伊斯蘭世界的數學及其與幾何裝飾的關系

近來，早期伊斯蘭科學家和數學家對世界知識所做的巨大貢獻得到了一定程度的認可，這是早該得到的。特別是，伊斯蘭學術在恢復和發展古典文獻以及隨后將這一龐大的學術體系傳播到中世紀歐洲方面所起的作用，現在已得到廣泛承認。人們不再認為，從古典時期到現代早期，歐洲的學術鏈是一脈相承的——現在人們正確地認識到，文藝復興時期對所有科學重新燃起的巨大興趣在很大程度上是由伊斯蘭的博學所推動的（蒙哥馬利·瓦特，1972 年；薩利巴，2011 年）。

我們已經提到了伊斯蘭科學的"黃金時代"，它興盛于阿拔斯王朝早期（公元8世紀到10世紀之間的巴格達），涌現出了阿赫瓦里茲米、金迪和奧馬爾·海亞姆等杰出學者。但是，伊斯蘭科學建立在古典、帕提亞和印度知識的基礎之上，在未來的幾個世紀里，將繼續在廣袤的伊斯蘭領地的各個中心取得重大進展。只要社會、知識和經濟條件有利，就會取得進步，尤其是在數學、天文學、光學和醫學等領域。盡管如此，"科學"——它與異教哲學的聯系從未被完全遺忘——仍然受到正統派的懷疑。在皇室的庇護下，具有科學頭腦的思想家通常會受到一定程度的保護，以免受到更加狂熱的宗教批評家的影響——無論如何，宗教批評家對數學等抽象領域的研究不太關心。因此可以說，至少在較高的知識層次上，數學（尤其是幾何）研究在整個中世紀伊斯蘭世界都得到了很好的確立和廣泛的傳授，亞歷山大柏拉圖主義者歐幾里得和托勒密分別作為幾何學和天文學的鼻祖，保持了他們受人尊敬的地位。

然而，如前所述，在伊斯蘭社會中，幾乎沒有證據表明"理論"數學家與幾何工匠之間存在互動，盡管有少量現存文獻表明這種互動偶爾會發生。作者 Gülru Necipoglu（1995 年）和 Alpay ?zdural（2000 年）挑出了幾個例子——一個源于10世紀，涉及數學家和占星家 Abu al-Wafa al-Buzjani，另一個是公元14世紀關于"互鎖圖形"的佚名波斯文。

Al-Wafa al-Buzjani（公元 940-998 年）著有一本實用幾何手冊《工匠必備的幾何構造》（Risala fima yahtaju al-sani'u min a'mal al-handasa），現存四個已知的手寫版本——一個阿拉伯語版本和三個波斯語版本。原著是在巴格達用阿拉伯語寫成的，但已不復存在，后來的每個副本都有一些缺失的信息和章節。現存的阿拉伯語版本（保存在伊斯坦布爾阿亞索菲亞圖書館）雖然不是原版，但比其他版本更完整。三份波斯語手稿中最著名的一份保存在法國巴黎國家圖書館。雖然這部作品明顯是針對藝術家/工匠的，但其總體基調是對他們不愿采用"適當的"（即歐幾里得）幾何構造方法的批評。

《聯鎖相似或全等圖形》（On interlocking similar or congruent figures, F? tadakhul al-ashkal almutashabiha aw al-mutawafiqa)是一本幾何手冊，作者不詳，可能起源于伊爾汗王朝時期的大不里士。該書似乎既關注圖形的"謎題"方面，也關注圖形在裝飾中的應用，這表明該書可能并非專門針對藝術家/手工藝者。

關于數學家參與裝飾方案的典故還有一些，但都不太具體。多才多藝的發明家阿爾賈扎里在《巧妙的機械裝置》一書中繪制并描述了一個精心設計的門圖（不過作者喬治-薩利巴指出，該書所依據的翻譯可能有誤）。奧瑪爾-海亞姆（Omar Khayyam）在《工匠和幾何學家的會議》中提到了一個誘人的典故，但這個典故也很含糊，容易引起誤解。總之，根據這些證據和其他現有證據，很難對任何時期學術界持續參與伊斯蘭幾何裝飾流派的概念提出任何實質性的主張。

歷史視角的結論

在這里，我想讓你們理解的"形狀美"，不是大眾所理解的"形狀美"，比如活物之美或與活物相似的繪畫之美，而是直角和圓形的交替之美，以及人們用圓規、方尺和規則從直角和圓形中創造出的曲面和實體之美。因為這些東西和其他東西一樣，不是有條件的美，而是本身就是美的。

——柏拉圖，出自《菲利伯斯對話錄》

通過多年對伊斯蘭設計幾何模式的了解，我們發現其中一個更有趣的方面是，并不存在單一的"伊斯蘭圖案關鍵"，而是有多種實現幾何復雜性的方法。事實上，地區差異導致了一系列不同的模式、圖案家族和對稱類型，更不用說對幾何"純粹性"的不同態度了。這也許是這門藝術最迷人的地方，因為它似乎引出了一個問題："在這個廣泛的美學傳統中，不變的標準究竟是什么？也就是說，在如此漫長的時期內，在如此廣闊的地理區域內，是什么讓伊斯蘭對幾何圖案的關注作為一種重要的藝術表現形式持續至今？

這里的命題是，伊斯蘭教對對稱和幾何裝飾形式的執著，最終都源于特定古典哲學傳統的美學理想，即柏拉圖主義/新柏拉圖主義，它在伊斯蘭教文化演變的早期階段就被徹底吸收到伊斯蘭教的主流思想中，但后來卻遭到宗教反對。簡而言之，我們認為，伊斯蘭幾何主義喜歡在歐幾里得平面上無休止地玩弄抽象幾何圖形，本質上是一種柏拉圖式的藝術形式。

我們意識到，從學術角度看，這一論斷可能被視為毫無希望的泛泛之談。然而，對這一主題的所有研究都面臨同樣的問題。如上所述，學術界數學家參與伊斯蘭幾何藝術發展的真實證據很少（但這并不意味著沒有），而教義影響至上的觀點（如"遜尼派復興"理論所表達的）至少是值得懷疑的。盡管如此，正如本注釋開頭所述，伊斯蘭世界的藝術和建筑之所以堅持強烈的對稱布局和高度幾何化的裝飾模式，一定有其令人信服的原因。這種美學傾向似乎在伊斯蘭文化自信的早期階段就已形成，而且確實是伊斯蘭文化自信的一種表現形式。一旦確定了這一特定的美學軌跡，即高度對稱的裝飾形式已成為文化表達的主要手段，繼承下來的晚期古典主義裝飾元素自然會得到美化、發展，并隨著時代的變遷而變得更加復雜。

現代數學分析

十九世紀末，費多羅夫、舍恩菲斯和巴羅對17個壁紙群（二維晶體學群）和 230 個三維晶體學群進行了分類。現代權威分析見 Grünbaum 和 Shephard (1987)。一個被多次提出的問題是，在最偉大的伊斯蘭幾何遺址之一的阿爾罕布拉宮中出現了多少種重復類型。這些研究包括 Müller (1944)、Jaworski (2006)、Montesinos (1985)、Grünbaum (2006)和Du Sautoy (2008)。在我們的案例中，我們只考慮有明顯重復的直邊密鋪圖案。這就是圖3。

圖3：阿爾罕布拉宮中出現的對稱性

這意味著我們的嚴格標準只有17種情況中的8種，而Du Sautoy有所有17種情況。關于對稱組在整個伊斯蘭世界的出現頻率，見表（Wichmann和Wade 2017年，第208頁）。該表顯示了一個非常不均勻的分布，具有兩個對稱性，沒有已知的伊斯蘭示例:××（pg）和22×（pgg）。

實際建筑物的圖案區域通常可以表現為上述類型的重復圖案。如圖4所示，有些圖案以圓形對稱的方式展示更為真實。另見 Wichmann 和 Wade（2017 年，第 207 頁，圖，A31）。這一分析由布爾貢（Bourgoin）首先進行；見布爾貢（Bourgoin）（1873 年，1879 年）。對這一領域的興趣部分歸功于歐文·瓊斯（Owen Jones，1856 年；瓊斯和古里，1837 年）的工作。

圖4：伊斯法罕的 Kasehgaran Madrasah（Al-Naqsh，1983 年），*5-（d5）對稱，數據 181/F111。關于該圖案及其后的參考文獻，請參見 (TI 2019)

另一種現代分析方法是僅用尺子和圓規來構造圖案。高斯的研究表明，17邊形的正多邊形是可以構造的（伊斯蘭藝術中似乎沒有），而9邊形的正多邊形是不可以構造的（伊斯蘭藝術中至少有三個例子）；見Jagy (2000)。

在許多情況下，對伊斯蘭圖案線描的分析是簡單明了的。例如，在 Wichmann 和 Wade（2017 年，第8章）中，一個來自阿爾罕布拉宮的圖案被證明是完全確定的，這意味著任何與數學表述的偏差都是錯誤的。關于星形圖案的分析，請參見 Lee (1987) 和 Lee and Soliman (2014)。

許多伊斯蘭圖案的一個特點是重復使用特定的瓷磚形狀。在瓷磚的情況下，這可以通過復制過程來實現。一組常見的瓷磚是那些包含khatem的瓷磚，khatem是頂角為90°的8角星形多邊形瓷磚。Wichmann和Wade（2017年，圖9.10）給出了這樣一組瓷磚。

許多拼塊圖案的一個重要特征是中央有一顆大星。在摩洛哥，圖 5 就是一個很好的例子。從圖中可以看出，中央星形圖案周圍的黑色條帶上有大小不一的六邊形拼塊，這是電腦繪圖中數學分析的結果。手工繪制的圖案往往會進行調整以避免此類問題。16個點的恒星在這方面只有很小的差異，但對于較大的恒星，情況就一目了然了。詳情請參見Wichmann 和 Wade（2017 年，第 10 章）。

圖5：非斯皇家宮殿，Paccard (1980)，data203/S32A

有一類重要的密鋪圖案，其角度總是 36的倍數（Wichmann 和 Rigby，2009 年）。這個角度確保了 10 角星形多邊形的角度可以達到 72 或 108 度。此類圖案種類繁多，土耳其的清真寺就是很好的代表。

圖6展示了這類圖案的基本特征。圖（a）中顯示了兩顆主要的星星，都是 10 點。圖（b）是一種常見的菱形圖案。這兩種圖案都有一顆 10 點星，周圍是風箏和黑色花瓣--這就是玫瑰花形的一個例子。請注意，鉆石的大小可以通過調整玫瑰花形之間的距離來改變。

圖6：十邊形圖案。(a) 兩種星型。(b) 星形和菱形

另一類圖案是具有六重對稱性的圖案：*632(p6m) 或 632(p6)。圖7顯示的是一個24點的星形圖案，但這類六重圖案也可能有6點或12點的星形圖案。

圖7：非斯，data194/FEZ1

另兩個例子見圖 8。圖（a）是六邊形而不是星形，但不同尋常之處在于三向交錯。這可以通過引入一個小三角形來避免（如某些變體）。圖（b）是伊朗 Kharraqan 東部墓塔的早期圖案。這里使用的顏色來自土耳其。

圖8：六邊形圖案的兩個例子。(a)六邊形和交錯。(b)早期示例

最后一類圖案是那些數學分析非常困難或非常耗時以至于不值得進行的圖案（因為它無法闡明設計）。Wichmann 和 Wade（2017 年，第 16 章）的第一部分中就出現了這樣的圖案，其中進行了棘手的分析，并給出了人工構造的替代方案。這一類圖案的存在并不令人驚訝，因為最初的藝術家們是在設計一種效果，并沒有使用數學。

盡管很明顯伊斯蘭世界傳達了他們的設計理念，但各個地區都有自己獨特的風格。Wichmann 和 Wade（2017，圖 17.4）對此進行了總結。另一項分析是為各種設計制作日期，以便繪制柱狀圖。Wichmann 和 Wade（2017 年，圖 17.3）對此進行了分析，但由于獲得了更多數據，因此在此進行了修訂。

圖 9 顯示了圖案首次出現的日期與頻率的對比分析。右側的文字顯示了直方圖中出現頻率較高的地區或遺址。阿爾罕布拉宮和法特普爾-錫克里的圖案數量之多非常明顯。布盧姆（2001 年）認為，現成的紙張有助于圖案的傳播。

圖9：數據分析

電腦使用

使用現代圖形工具在計算機上繪制自己的伊斯蘭風格圖案的吸引力是顯而易見的（Wichmann 2001）。因此，互聯網上有許多此類材料的網站。

有三本書對這一問題的考慮也比許多互聯網網站更為細致。在 Castéra（1999 年）一書中，作者只考慮了摩洛哥的圖案。這本書提供了美麗多彩的圖案，而且繪制得非常完美。需要注意的一個問題是大星的邊界，如上所述，Wichmann 和 Wade（2017 年，第10章）對這一問題進行了數學分析。考慮一下圖 10 中巴黎清真寺中由摩洛哥工匠制作的精美圖案的一部分。圖中大部分瓷磚都是以相關形狀的 Khatems 為基礎。不過，其中一顆棕色星星有7個點，以便與48點的星星相吻合。相比之下，該圖底部的 16 點星星則沒有任何困難。

圖10：中心星邊界部分，data0/S48P1

倫敦攝政公園清真寺中還有一個幾乎無法用數學方法分析的棘手設計。在這里，七角星是設計的一個組成部分，而不是克服潛在問題的一種手段；見圖 11。

圖11：攝政公園清真寺，穹頂下的邊界，數據0/REG1

第二本值得考慮的書是 Broug（2013 年）。正文包括一些出色的照片，其中許多照片都不易找到。文中的小圖提供了在電腦上制作完整圖案的線索。附錄中只有圖紙，主要是使用 Broug（2008 年）中描述的技術繪制的。其中一些圖紙似乎具有伊斯蘭風格，而不是根據實際文物繪制的。繪制方法并不總能繪制出伊斯蘭范例中使用比例的圖案。

第三本著作是Bonner寫的（2016 年），旨在全面介紹伊斯蘭幾何圖案，似乎是以書籍形式收集伊斯蘭幾何圖案最多的一本書。奇怪的是，該書略去了格子圖案；見 http://www.tilingsearch.org/special/lattice.html。書中提供了約 100 張照片，但在制作大量圖表時顯然使用了更多照片。如果這些圖案不是發明，則會注明其來源，不過許多照片的來源并不明確。最后一章由克雷格·卡普蘭（Craig Kaplan）介紹了制作伊斯蘭圖案的算法。該書是一部令人印象深刻的作品集，在未來許多年里仍將是圖案的重要來源。

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