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替代拼塊的特點是遞歸生成過程，有助于多層拼塊設計。受傳統伊斯蘭幾何多層拼塊設計的啟發，本文提出了基于增強替代規則的多層設計技術。伊斯蘭幾何圖案作為裝飾被結合在多層替換中，以建立在基層替換拼塊的遞歸結構上。使用這種技術的變體突出了兩個非周期性替代拼塊中的局部對稱性。

圖1：裝飾有zellij圖案的非周期性Ammann-Beenker拼塊。較大的玫瑰花結以這種替代拼塊的遞歸層次中不同層次的局部對稱性為中心。

具有不同程度自相似性的多級設計可見于許多傳統伊斯蘭幾何拼塊的例子【4】【16】。我將這一設計理念應用于兩種著名的替代拼塊的多層結構：阿曼·本克爾拼塊和二進制拼塊。用伊斯蘭幾何圖案裝飾替代拼塊多年來一直是一個豐富的探索領域【1】【2】【5】【9】【11】【12】【13】【14】，作品太多了，無法在此完全引用。一種常用的技術是用伊斯蘭幾何圖案裝飾給定替代拼塊的菱形原型拼塊集。對稱的伊斯蘭幾何圖案可以整合到菱形頂點處的拼塊中，如【9】所示，并在許多示例中進行了演示【1】【5】【9】【11】【13】【14】。在本文中，重點將是在遞歸替換層次中將裝飾性替換過程擴展到更高的級別。

在圖1中，多級設計是通過裝飾Ammann-Beenker拼塊實現的，這是一種非周期性替代拼塊，其特點是無處不在的八邊形對稱拼塊片[8]，常見的摩洛哥zellij圖案模塊化地應用于替代層級中尺寸不斷增加的局部對稱拼塊片[10]。一片拼塊被定義為一個拼塊中有限的一組拼塊，其并集是一個拓撲圓盤[8]。Zellij是一種拼塊馬賽克，由傳統的伊斯蘭幾何手工切割的小拼塊制成。摩洛哥zellij設計的全面展示在[5]中給出，包括大型多瓣玫瑰花結的建造，它與[3]一起可以將這里顯示的設計擴展到更高的水平。

替代拼塊有一個膨脹—細分規則，用表示，對有限的一組原始拼塊類型進行操作。替換規則用定義的原型拼塊面板替換每個原型拼塊。為了視覺呈現的清晰，應當理解，充氣步驟并不總是在圖像中進行。有或沒有通貨膨脹的替代規則將由表示。Ammann-Beenker拼塊[8]的替換規則如圖2所示，其中菱形(橙色)和半方形(藍色)原型拼塊的右側有兩個細分步驟，左側有一個裝飾性替換。術語超級拼塊指的是通過重復應用替換規則從集合中的原拼塊中得到的任何拼塊片。原型拼塊是第0層，并且替換規則的每個操作將超級拼塊的層提高一層。任何級別的超級拼塊都將繼續用它們所源自的原拼塊來標識。在圖2中，Ammann-Beenker原型拼塊的右邊分別是1級和2級超級拼塊。每個原型的左邊是一個裝飾步驟的結果，K0.

圖2：Ammann-Beenker替換規則和原始拼塊裝飾。

如果替換規則是自相似的，即如果每個超級拼塊都與原拼塊相似，則稱其為完美規則。否則，如果不產生自相似的超級拼塊，則替換是不完美的。更多的技術定義和闡述出現在【6】中。在圖2中，半方形原拼塊的使用確保了阿曼·本克爾拼塊的替換規則是完美的。相比之下，在本文的第二部分中，我對二進制拼塊使用了不完全菱形替換規則。在下面的兩個例子中，自相似超級拼塊次構造的存在與否對多層設計方法的選擇起著重要作用。一些替換拼塊（包括這里的例子）共享的另一個有用的屬性是局部同構。該屬性的另一個術語是重復。這一性質表明，拼塊的任何有限部分都可以在拼塊中某個有限半徑內的任何地方找到【15】。實際上，對于設計而言，當拼塊具有這種特性時，這意味著可以從替換過程的任何地方開始，并在替換規則的有限次迭代后到達任何期望的有限部分。特別是，它足以生成任何一個足夠高的級別來覆蓋感興趣的區域。

在相同對稱性不能具有全局范圍的非周期性替換拼塊中，可能存在對稱的拼塊片。在【14】中討論了與彭羅斯拼塊相關的局部對稱性。局部點對稱在這里被定義為平面中的點對稱，（循環的或二面體的），由非周期2D置換拼塊中的一片拼塊（必然是有限的）遵守。此外，我將把這種對稱性描述為幾何對稱性，如果拼塊片僅在拼塊上的標記被忽略時才遵循這種對稱性，例如在阿曼·本克爾拼塊的情況下，其局部d8對稱性適用于原拼塊形狀的局部排列（圖3（a））。如果局部點對稱包含完整的 ? 1級超級拼塊，并且不包含完整的或更高級的超級拼塊，則稱之為級局部點對稱。在局部對稱性已經確定并且含義明確的情況下，我將放寬術語并將其稱為“重”，其中確定了旋轉對稱的程度，無論是循環還是二面角。

Ammann-Beenker拼塊：局部8重對稱的Zellij裝飾

Ammann-Beenker拼塊內的局部對稱性始于圖3（a）中的局部幾何8重對稱拼塊。如上所述，阿曼·本克爾原型拼塊上的標記破壞了對稱性，但拼塊形狀的排列具有d8對稱性。Ammann-Beenker拼塊的遞歸結構意味著圖3（a）的局部對稱拼塊可以由拼塊中每一層的超面組成。圖3（b）和3（c）顯示了接下來的兩層，分別由第一層和第二層超級拼塊組成，用半透明的白色覆蓋物直觀顯示。從圖3（d）中的第二層超級拼塊開始，可以看到關于超級拼塊的八重對稱補片的可預測外觀。這些2級超級拼塊被著色以顯示哪些原拼塊參與了局部1級8重對稱。圖3（a）的1級8倍中不涉及白色原型拼塊。應該注意的是，有了這些標記，阿曼·本克爾原型拼塊組合由菱形和半方形以及它們的鏡像組成。在超級拼塊也是如此。從2級超級拼塊每個頂點附近的原型拼塊排列可以看出，這些頂點中的每一個都將位于某種排列的中心，這種排列在幾何上與圖3（a）的1級局部8重對稱相同。頂點星是給定拼塊的原型拼塊標記所允許的在中心頂點相遇的拼塊排列。第二層超級拼塊的頂點星顯示了第二層超級拼塊頂點交匯處的第一層8重的生成過程（圖3（e）-（g））。外推至更高的超級拼塊，-18層將在超級拼塊的頂點交匯處形成。每個超級拼塊的可預測結構允許通過下述迭代過程進行超級拼塊設計。

圖 3：阿曼·貝克爾拼塊中的局部 8重對稱性。(a) 第1層8重對稱。(b) 第2層8重對稱。(c) 第3層8重對稱。(d) 第2層超級拼塊著色，以顯示原點參與第1層8 重形狀。(e)-(g)第 1 層8重體位于第2層超級特異性頂點星內。

Ammann-Beenker拼塊：局部8重對稱的Zellij裝飾

Ammann-Beenker拼塊內的局部對稱性始于圖3（a）中的局部幾何8重對稱拼塊。如上所述，阿曼·本克爾原型拼塊上的標記破壞了對稱性，但拼塊形狀的排列具有d8對稱性。Ammann Beenker拼塊的遞歸結構意味著圖3（a）的局部對稱拼塊可以由拼塊中每一層的超級拼塊組成。圖3（b）和3（c）顯示了接下來的兩層，分別由第一層和第二層超級拼塊組成，用半透明的白色覆蓋物直觀顯示。

從圖3（d）中的第二層超級拼塊開始，可以看到關于超級拼塊的八重對稱面板的可預測外觀。這些2級超級拼塊被著色以顯示哪些原拼塊參與了局部1級8重對稱。圖3（a）的1級8倍中不涉及白色原型拼塊。應該注意的是，有了這些標記，阿曼·本克爾原型拼塊組合由菱形和半方形以及它們的鏡像組成。在超級拼塊也是如此。從2級超級拼塊每個頂點附近的原型拼塊排列可以看出，這些頂點中的每一個都將位于某種排列的中心，這種排列在幾何上與圖3（a）的1級局部8重對稱相同。頂點星是給定拼塊的原型拼塊標記所允許的在中心頂點相遇的拼塊排列。第二層超級拼塊的頂點星顯示了第二層超級拼塊頂點交匯處的第一層8折的生成過程（圖3（e）-（g））。外推至更高的超級拼塊，第N- 1層8重對稱將在第N層超頂點交匯處形成。每個超級拼塊的可預測結構允許通過下述迭代過程進行超級拼塊設計。

模塊化的8重對稱zellij圖案以中心玫瑰花結花瓣數量不斷增加的玫瑰花結為中心，用于表示局部8重對稱程度的增加（圖1和圖4）。圖4（a）-（c）顯示了第1層至第3層8重對稱的中心部分，以及它們是如何被zelij圖案裝飾的，zelij圖案具有花瓣數量遞增的中心玫瑰形圖案。這些圖案由模塊組成，包括圖4（d）中所示的可替換圖4（a）和（b）中所示拼塊面板的元素，以及圖4（d）中所示的可替換小八角形圖案下方的兩個模塊替換物。

圖4：

用于裝飾8重局部對稱的模塊化zellij。（a）1級8重中央面板和相應的zellij裝飾。（b）2級8重中央面板及其相應的zellij裝飾。（c）3級8重中央面板及其相應的zellij裝飾。（d）2級和3級8重裝飾組合中的模塊化zellij元素。

多層設計過程從在原型拼塊層添加zellij裝飾開始（圖2和圖5），由K0表示。專為N超級拼塊設計的裝飾用KN表示這里的裝飾方案是根據模塊化zellij元素添加的，從原型拼塊裝飾開始，并添加到第2層到第5層的超級拼塊（圖5和圖6）。一旦知道了裝飾方案，裝飾操作KN本身可以直接應用于任何級別的N超級拼塊，而無需通過先前的級別（圖5（c））。圖4（c）的模塊被重新著色，以用作圖6中4級8重的裝飾。

圖 5：Ammann-Beenker 超級拼塊裝飾。(a) 第2層菱形疊層的裝飾。(b) 第2層半四邊形的裝飾。(c) 第3層菱形裝飾。

圖6：阿曼·比克5級菱形超級拼塊的多層zellij裝飾。

如果被裝飾的拼塊帶有原始原型拼塊的隱藏標記，那么就有可能將任何被裝飾的超級拼塊正確地分解成原始原型拼塊及其超級拼塊（如果這在原始拼塊中是可能的）。這樣，KN就可以對任何N級或更高級別的超級拼塊進行操作，將其分解為N級的超級拼塊（圖 5）。置換操作N既可以在超級拼塊上進行，也可以在原生拼塊上進行。如果在裝飾過的N級超整數上進行，KN裝飾就可以同時應用到所有N級超級拼塊上，構成N+ 1級超級拼塊。

裝飾可以改變原始拼塊的局部對稱性。這里的目的不是用裝飾來表示精確的對稱，而是放置一個指示真實對稱元素的位置的元素，盡管有額外的修飾。通過這種方式，底層的拼塊充當了裝飾的腳手架，持續存在于裝飾之下(圖6)。

二元拼塊：顏色的局部五重對稱

二進制拼塊是由圖7[6][7][15] 所示的不完全替換規則生成的。它由相同的厚和薄菱形原拼塊形狀組成，以與彭羅斯拼塊相同的相對頻率出現，但具有不同的標記。二元替換規則具有弱混合特性，這使其比彭羅斯拼塊[6]具有更高的無序度。盡管如此，局部五重旋轉對稱大量存在。在這種情況下，如果超級拼塊不是自相似的，則可以方便地用顏色突出局部5重對稱，稍后添加伊斯蘭幾何裝飾（圖8和9）。

圖7：二元菱形拼塊原型的替換（右箭頭）和裝飾（左箭頭）。

圖8：相鄰疊面邊緣產生的5重對稱性。（a）第5層厚菱形超級拼塊。(b) 第5層薄菱形超級拼塊。(c) 第6層薄菱形超級拼塊。(d) 5 重對稱局部區域的厚菱形疊加色。

圖9：五重對稱的原色裝飾。

(a) 裝飾著色方案。(b) 接近1級5重對稱性的原生拼塊裝飾的直接結果。(c)十邊形圖案的統一著色。

預測二進制拼塊中超級拼塊內對稱區域的位置并不像預測Ammann-Beenker拼塊那樣簡單。當新的五重對稱拼塊在下一層超級拼塊相鄰時，它們的中心位于沿超級拼塊共享邊緣的位置（圖8）。5級超級拼塊（圖8（a）和（b））和6級薄菱形超級拼塊（圖8（c））通過顏色變化突出顯示局部5層。這些超級拼塊的組成用下一層超級拼塊之間的黃線表示。如果尚未出現在復合超級拼塊中，則在下一層超級拼塊中的邊界處會出現5重對稱 。第1層5重對稱來自于厚的菱形原生拼塊。可以觀察到，較高層次的5重對稱是由較高層次的厚菱形超級拼塊構成的。因此，為了按層次對5層進行著色，當發現它們涉及局部5層對稱性時，根據它們的層次用厚菱體超級拼塊替代交替著色就足夠了。圖8（d）顯示了從淺到深漸變的顏色使用，分別突出顯示了1級5重對稱中的0級粗菱面體原拼塊，2級5重對稱中的1級粗菱面體原拼塊和第3層5重對稱中的2級粗菱面體原拼塊。使用顏色漸變可以輕松延續到更高的級別（圖9（a））。

與阿曼·本克爾拼塊一樣，藝術家可以選擇在二元拼塊的任何給定有限區域內突出顯示局部對稱的級別。根據局部同構特性，將有一個足夠高的級別的超級拼塊來包含整個面板。較高的局部對稱性總是存在于拼塊的較大區域中。藝術家可以選擇僅突出顯示最高的局部對稱性，該對稱性可以在給定的有限圖像的上下文中容易地識別。由于局部對稱性出現在超級拼塊的邊緣中心，從超級拼塊裁剪的感興趣的片不應比r更靠近超級拼塊的任何邊緣，其中r是要突出顯示的最大局部5重的半徑。在生成感興趣的面板并用顏色突出顯示局部5重對稱性之后，可以根據它們的顏色來裝飾原型拼塊。圖9（a）顯示了菱形原型拼塊的Nodir Devon裝飾方案【12】，該方案將局部5重對稱至第5層。菱形原型裝飾方案在Nodir Devon裝飾的十邊形圖案中留下了一個缺乏美感的多色形狀（圖9（b））。這很容易通過為著色方案選擇一個層次并用根據該層次的單一顏色替換整個十邊形元素來糾正（圖9（c））。與本文的其他技術相比，這可以被認為是一個藝術干預步驟。這里，層次結構從級別1的5重對稱開始，下降到級別5的5重對稱，非對稱著色位于最低級別。

經過多級超級拼塊生成后，二進制拼塊中出現兩個主要的視覺特征(圖8和圖10)。第一個是細菱形的彎曲線的出現，所有的線在它們的邊緣接觸。我將把這些細長菱形的彎曲線稱為“蠕蟲”第二個特征是在不同水平上出現局部5重對稱，沿著蠕蟲的交替側呈規則排列。在未修飾的二元拼塊的視覺無序中，很難區分局部5重旋轉對稱的區域。通過顏色突出顯示它們以及它們沿著蠕蟲的排列，創建多尺度設計。

圖10：裝飾二進制拼塊。顏色突出了1至5級的局部5重對稱以及由連接的線性排列中的薄菱形生成的“蠕蟲”。

總結和結論

這兩個例子探討了在替換拼塊遞歸結構中，基于替換規則的增強來創建多層次設計的技術。多層次的超級對稱裝飾直觀地揭示了這些非周期性替換方格中局部對稱的縮放特性和遞歸結構。

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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