關(guān)于質(zhì)數(shù)的新證明闡明了加法和乘法之間的微妙關(guān)系，并為著名的abc猜想取得進展帶來了希望。

加法和乘法都是相對簡單的運算。但當兩者結(jié)合起來時，就會引出數(shù)學家仍在努力理解的深刻問題。

圖源：Samuel Velasco / Quanta Magazine

作者：Erica Klarreich 量子雜志特約記者 2024-10-14

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2024-10-15

去年11月的一個早上，數(shù)學家赫克托·帕斯滕 (Hector Pasten） 終于通過使用一種經(jīng)過時間考驗的生產(chǎn)力技巧，解決了困擾他十多年的問題：拖延癥。

他本來要為圣地亞哥智利天主教大學的數(shù)論課程撰寫期末考試試卷。為了避免這項任務，他無數(shù)次地開始思考他最喜歡的數(shù)列之一：2、5、10、17、26…，即所有形式為n2 + 1（其中n是整數(shù)）的數(shù)列。

一個多世紀以來，數(shù)學家一直在使用這個數(shù)列來探索加法和乘法之間令人擔憂的關(guān)系，而這是數(shù)論核心的張力。一旦涉及加法，關(guān)于乘法的基本問題——比如數(shù)字如何分解為質(zhì)數(shù)——突然變得更加深刻和更具挑戰(zhàn)性。例如，數(shù)學中最大的懸而未決的問題之一是，是否每個大于 2 的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)之和（即哥德巴赫猜想）？另一個問題是，是否存在無限多只相差 2 的質(zhì)數(shù)對（例如11和13，即孿生質(zhì)數(shù)猜想）。

n2 + 1 數(shù)列為研究加法和乘法之間的關(guān)系提供了一個很好的起點，因為它結(jié)合了最簡單的乘法類型之一（對數(shù)字進行平方）和最簡單的加法類型之一（加 1）。這并不意味著數(shù)列本身很簡單。數(shù)學家仍然無法回答關(guān)于它的基本問題，例如它是否包含無限多個質(zhì)數(shù)。“到達我們知識的邊界并不遠，”蒙特利爾大學的安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville）說。當數(shù)學家成功稍微改進一下這個界限時，他們開發(fā)的技術(shù)通常會闡明有關(guān)加法和乘法的更廣泛的問題。

帕斯滕試圖證明該數(shù)列中的數(shù)字一定始終至少有一個相當大的質(zhì)因數(shù)。在他應該給期末考試出題的那天早上，他終于成功了，方法是通過弄清楚如何將有關(guān)n2 + 1 質(zhì)因數(shù)的信息嵌入到稱為橢圓曲線的方程結(jié)構(gòu)中。

那天午餐時，他向他的妻子、數(shù)學家納塔莉亞·加西亞·弗里茨（Natalia Garcia-Fritz） 描述了他的證明。鑒于他的結(jié)果令人驚訝，她“告訴我，我可能應該多檢查幾次，”帕斯滕說。“那天下午我這樣做了，定理仍然成立。”

赫克托·帕斯滕 (Hector Pasten) 花了十多年的時間試圖解決加法和乘法交界的數(shù)學問題。當他決定推遲為他的一門課程出期末考試題時，他終于成功了。

圖源：Natalia Garcia-Fritz

只有一個問題：帕斯滕沒有給他的學生考試。相反，他讓學生們就他們想要的任何主題寫一篇文章。“事實證明，這帶來了非常高質(zhì)量的工作，”他說。

帕斯滕將他的證明 https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01244-6 提交給了數(shù)學界最著名的期刊之一《數(shù)學新進展 Inventiones Mathematicae》 ，該證明僅用了一個多月的時間就被接受了——按照該領域通常的出版標準，簡直就是一眨眼的功夫。滑鐵盧大學的卡梅倫·斯圖爾特（Cameron Stewart）表示：“對于近100年來都沒有取得太大進展的事物來說，這是一個可愛的進步。”數(shù)學家希望它也能轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)列的進展。

帕斯滕的技術(shù)還使他能夠在abc猜想的某些情況下取得進展，這是另一個涉及加法和乘法之間相互作用的問題，也是數(shù)學中最著名且最具爭議的未解難題之一。“這一領域的新（且正確）想法很少，”格蘭維爾在一封電子郵件中寫道。“他的方法的獨創(chuàng)性和前景值得廣泛關(guān)注。”

大質(zhì)數(shù)

如果一個數(shù)列變得越來越大，并不能保證它們的最大質(zhì)因數(shù)也會發(fā)生同樣的情況。例如數(shù)列n2 — 數(shù)字 1、4、9、16….。在這個數(shù)列中很容易找到質(zhì)因數(shù)很小的數(shù)字。例如，此列表中的任何2的冪（4、16、64、256、1024…）只有一個質(zhì)因數(shù)：2。

但帕斯滕說，當你把這個數(shù)列都加上1時，“你就完全破壞了你所擁有的所有有關(guān)質(zhì)因數(shù)的信息”。“質(zhì)數(shù)的行為方式非常瘋狂。”

1898年，Carl St?rmer（卡爾·斯特默，1874 - 1957）證明 https://link.springer.com/article/10.1007/BF02559599 ：與n2數(shù)列不同， n2 + 1 數(shù)列中數(shù)字的最大質(zhì)因數(shù)隨著n變大而接近無窮大。斯圖爾特說，這一發(fā)現(xiàn)表明“一些有趣的事情正在發(fā)生，一些不尋常的事情正在發(fā)生”。

但 St?rmer 無法計算出n2 + 1 的最大質(zhì)因數(shù)增長的速度——這是表征數(shù)列行為自然而然的下一步。

如果你開始計算數(shù)列中的數(shù)字，大多數(shù)數(shù)字似乎至少有一個非常大的質(zhì)因數(shù)。但偶爾也會出現(xiàn)大幅下滑。例如，數(shù)列中的一個數(shù)字 586,034,187,508,450，有一個質(zhì)因數(shù) 67,749,617,053。但數(shù)列中下一個數(shù)字 586,034,235,924,737 的最大質(zhì)因數(shù)僅為 89。正是這些例外使問題變得困難。

在1930年代中期，Sarvadaman Chowla（薩瓦達馬南·喬拉，1907 - 1995） https://repository.ias.ac.in/8576/1/8576.pdf 和 Kurt Mahler （庫爾特·馬勒，1903 - 1988）https://carmamaths.org/resources/mahler/docs/032.pdf 獨立地證明，對于任何n值， n2 + 1 的最大質(zhì)因數(shù)必須始終至少為log(log n)。但 log(log n ) 的增長速度極其緩慢 — 如果將其繪制成圖表，肉眼看起來會很平坦。數(shù)學家懷疑n2 + 1 的最大質(zhì)因數(shù)實際上增長得更快。但他們無法證明這一點。

在20世紀30年代中期，數(shù)學家?guī)鞝柼亍ゑR勒（上圖上）和薩瓦達馬南·喬拉（上圖下）獨立地證明了數(shù)列中最大質(zhì)因數(shù)增長速度的一個界限。新的研究標志著對他們成果的首個重大改進。

圖源：從上至下：MFO；由Shelby White和Leon Levy檔案中心提供。

2001年，香港科技大學的 Stewart（斯圖爾特） 和Kunrui Yu（於坤瑞） 使用稱為超越理論的數(shù)學領域，開發(fā)了一種研究數(shù)列質(zhì)因數(shù)的新方法 https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-108/issue-1/On-the-abc-conjecture-II/10.1215/S0012-7094-01-10815-6.short 。兩年后，Julien Haristoy 弄清楚了如何將他們的方法應用于n2 + 1 數(shù)列，相較于 Chowla 和 Mahler 的結(jié)果取得了小小的改進。

但從那時起，這個課題就陷入了僵局。“我們長期以來一直需要一種新成分，”格蘭維爾說。

小指數(shù)

帕斯滕十多年來一直致力于培育這種新成分。2012年，當他還是安大略省金斯頓女王大學的研究生時，他的導師Ram Murty建議他重點研究探索加法和乘法之間相互作用的問題。

數(shù)論學家研究這種相互作用的最有效工具之一是將數(shù)字編碼成一種稱為橢圓曲線的方程。例如，你的數(shù)字可能會顯示為方程的解，或者出現(xiàn)在稱為判別式（discriminant）的相關(guān)計算中。通過正確的編碼，數(shù)學家可以利用橢圓曲線的豐富結(jié)構(gòu)，并利用稱為模形式的相關(guān)數(shù)學對象。巴黎西岱大學的Marc Hindry 表示：“每當你引入這些模形式時，就會帶來大量信息，因為它們有一個完整的精彩理論。”

多年來，帕斯滕發(fā)展了一種涉及模形式和相關(guān)實體（稱為志村曲線 Shimura curve）的新理論，這使他能夠解決Murty向他提出的許多問題。“但我在n2 + 1 問題上沒能取得任何進展，絕對沒有，”他說。“這困擾了我很多年。”

11月的早上，當帕斯滕應該出試題時， n2 + 1 問題代表著多種逃避方式。那年早些時候，他的父親去世了，帕斯滕轉(zhuǎn)向數(shù)學尋求安慰。“我發(fā)現(xiàn)數(shù)學對此非常有幫助，”他說。“數(shù)學不僅僅是證明定理——也許它是一種與現(xiàn)實互動的方式。”

直接控制n2 + 1 數(shù)列的質(zhì)因數(shù)似乎太難了，因此帕斯滕很早就將目光投向了更間接的進攻：控制質(zhì)因數(shù)分解中的指數(shù)。如果你要對一個大數(shù)進行因式分解，它可能由小質(zhì)數(shù)的大指數(shù)（次方）組成，或由大質(zhì)數(shù)的小指數(shù)組成。但它不能由小質(zhì)數(shù)的小指數(shù)組成——這樣就無法得到足夠大的數(shù)字。因此，如果你能證明指數(shù)很小，那么至少有一個質(zhì)數(shù)一定很大，這正是帕斯滕想要證明的。

當帕斯滕盯著前一天黑板上的一些計算時，他突然意識到，他也許可以通過創(chuàng)建正確的橢圓曲線來控制n2 + 1 素因式分解中的指數(shù)。經(jīng)過一番實驗，他發(fā)現(xiàn)了一個方程y2 = x3 + 3x + 2n ，其判別式為n2 + 1 乘以一個 -108的因子。

將他的志村曲線理論應用于這個特定的橢圓曲線，他可以證明n2 + 1中的指數(shù)的乘積必須相當小。這并不一定意味著所有指數(shù)都必須很小，但這給了他足夠的控制權(quán)，以便能夠從超越理論中引入斯圖爾特和於坤瑞的舊方法。通過結(jié)合使用這兩種技術(shù)，他能夠證明n2 + 1 的最大質(zhì)因數(shù)必須至少約為 log2(log n) — 即Chowla 和 Mahler 在1930年代發(fā)現(xiàn)的估計值的平方。帕斯滕的新增長率遠高于之前的記錄，盡管數(shù)學家懷疑真正的增長率仍然更高。

即便如此，“這仍然是一個顯著的進步，”Hindry說。

帕斯滕還能夠利用他的技術(shù)來改進對abc猜想的某些情況的估計，該猜想表示，如果三個整數(shù)a 、 b和c（無公共質(zhì)因數(shù)）滿足方程a + b = c ，則它們的質(zhì)因數(shù)乘積與c相比必須很大。這個猜想是數(shù)論中最重要的猜想之一，一直是長達十年的爭議的中心：數(shù)學家望月新一（Shinichi Mochizuki）聲稱已經(jīng)證明了這一猜想，但數(shù)學界的大多數(shù)人不認同。帕斯滕的工作代表了一種完全不同的解題方法。雖然他的結(jié)果遠未證明完整的猜想，但從某些方面來看，它代表了幾十年來的第一個重大進展。“我覺得abc猜想是一個非常棘手的課題，”格蘭維爾說。

90年前，Chowla 和 Mahler 提出了他們的界限后，數(shù)學家逐漸為一個無限族的相關(guān)數(shù)列（例如n2 + 3 或n? + 2）建立了相同的界限。研究人員可能會嘗試對帕斯滕的新界限進行相同的嘗試，同時還探索了他的方法對加法和乘法交界處其他問題的影響。哈佛大學的巴里·馬祖爾（Barry Mazur）表示，“進攻的新穎性”使這一前景令人興奮。”

這些探索將會產(chǎn)生什么結(jié)果很難預測。“這就是原創(chuàng)性的問題，”格蘭維爾說。但“他肯定有一些很酷的東西。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/big-advance-on-simple-sounding-math-problem-was-a-century-in-the-making-20241014/

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01244-6

https://link.springer.com/article/10.1007/BF02559599

https://repository.ias.ac.in/8576/1/8576.pdf

https://carmamaths.org/resources/mahler/docs/032.pdf

https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-108/issue-1/On-the-abc-conjecture-II/10.1215/S0012-7094-01-10815-6.short

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