縱觀整個歷史，很多學者都曾與無窮大狹路相逢，都曾遭遇阻礙，都曾選擇了放棄。他們中的很多人說，這個怪獸太過離奇，說它既不是數學，也不是什么合理的思維，應該把它留在它自己的黑暗深淵中。它那超出一切控制的行為是讓人無法接受的，而且似乎是無可救藥的。

想要把適用于大數的模式和推理應用于無窮大，是一個根本性的錯誤。無窮大有著截然不同的本質，這就要求我們為它創造新的思維方式。

想象一下，你發了瘋似地計數到無窮大。你開始安靜地計數，旁邊放著一個進度條，它顯示出你從 0% 到 100% 的實時進度（圖 3.4）。無窮大由符號∞表示，這個符號是數學家約翰·沃利斯（John Wallis）在 1655 年提出來的。

你覺得這個進度條會隨著你的計數過程發生怎樣的變化呢？比如說，在整整三個月后，你會打破杰里米·哈珀的紀錄，這個進度條會是什么樣子呢？這個問題很奇怪，答案也很奇怪。當你數到一百萬的時候，這個進度條仍會顯示令人失望的 0%。它怎么可能會是別的樣子呢？因為和無窮大剩下要數的數量相比，你剛剛數完的一百萬根本算不上什么。

無論你數到多大的數量，結果都一樣。哪怕你數到十億，數到古戈爾，數到“asamkhyeya”，甚至數到古戈爾普勒克斯，進度條依然會無情地停留在 0% ！面對無窮大，數數沒有任何意義。所有的數都很小。它們中的任何一個被單拎出來，對所有跟隨其后的數來說都是微不足道的。

簡而言之，在這個進度條上，所有的數都聚集在零的位置上（圖 3.5）。在 0% 和 100% 之間絕對什么都沒有。沒有一個數會位于進度條的 1%、50% 和 95%。說到底，這是相當合乎邏輯的，因為無窮大的一半已經是無窮的了。如果你的進度條走到了一半，那么它實際上已經走到了終點。

由這些思考得出的唯一合理結論是，進度條的表現形式完全不適用于這種情況。如果你的目標是數到一個非常大的數，哪怕數到古戈爾普勒克斯，那么你的進度條也會乖乖地從 0% 走到 100%，遍歷介于兩者之間所有的數。但是，從“巨大”到“無窮大”的過渡標志著一種瞬間的突破，所有對“有限”行之有效的方法會突然變成邏輯上的災難。像剛才這樣的悖論會滾滾而來。你剛一開始思考無窮大，這些悖論就會毫無預兆地出現，并讓你的常識和本能變得毫無用武之地。

縱觀整個歷史，很多學者都曾與無窮大狹路相逢，都曾遭遇阻礙，都曾選擇了放棄。他們中的很多人說，這個怪獸太過離奇，說它既不是數學，也不是什么合理的思維，應該把它留在它自己的黑暗深淵中。它那超出一切控制的行為是讓人無法接受的，而且似乎是無可救藥的。

不幸的是，對于那些以為可以像忘記一場噩夢那樣忘記無窮大的人來說，想要擺脫它可不是件容易的事。你把它從數論中驅逐出去，它又回到了幾何中。你對幾何視而不見，它又出現在代數里。對于那些害怕去思考無窮大的人，我們應當保持寬容，但今天，我們將無法容許自己這樣使性子。如果我們想要繼續前進，迎接自己發起的挑戰，如果我們想要解開邊境線的秘密和海岸線悖論，如果我們想要不斷深入探索宇宙的機制，就不該懼怕橫亙在前進道路上的悖論。直覺將經歷幾次暴風雨，但我們絕不能退縮。

但在這次冒險中，我們并非全然無助，我們會獲得兩個支持。第一個支持來自數學家，他們沒有向無窮大這頭怪獸繳械投降，而是設法一點一點地馴服了這頭怪獸。第二個支持來自巧克力。

想象一下，你每天都會從一家巨型巧克力店的玻璃櫥窗前經過，每每因為禁不住美食的誘惑而停下腳步。你每天在店里買兩塊巧克力，然后把它們帶回家，但是你每次只吃一塊，把另一塊留下來。

漸漸地，你的櫥柜里裝滿了所有買回來但還沒有被吃掉的巧克力。更準確地說，你的庫存每天增加一塊。走進這家巧克力店的第一天，你儲存起第一塊巧克力。第二天，你儲存起第二塊，第三天，儲存第三塊，依此類推……一年之后，你的庫存達到了 365 塊！二十六年之后，你儲存的巧克力不會少于 10 000 塊！現在，讓我們問一下自己這個問題：假設你能永遠活下去，并無限期地儲存下去，那么在抵達時間盡頭的那一天，你儲存的巧克力會有多少塊呢？

好吧，這個問題問得很蠢。我們都知道，“時間的盡頭”不具有任何意義。就算精確用詞很重要——我們稍后會做這件事情——但我敢肯定，你的直覺會賦予這個問題某種意義，即便是含糊的意義。因為你的庫存每天都會增加一塊，所以在永恒的盡頭（也就是無窮大日子的盡頭），將你積攢的巧克力庫存估計為一個無窮大的數量似乎是合乎邏輯的。

話雖如此，我們還是來做一些數學運算，并試著更嚴謹地證實這一點吧。為此，我們就從為你的巧克力編號開始。讓我們把你第一天購買的巧克力編為 1 號和 2 號，把你第二天購買的巧克力編為 3 號和 4號，依此類推（圖 3.6）。

現在，我們來確認一下你的消耗量。假設你每天吃掉當天購買的兩塊巧克力中的第一塊，那么，你在第一天吃掉了 1 號巧克力，然后在第二天吃掉了 3 號巧克力，在第三天吃掉了 5 號巧克力，依此類推（圖 3.7）。

通過這種方式，我們可以看出，你日復一日吃掉的巧克力的編號都是奇數。編號為偶數的巧克力（2 號、4 號、6 號……）被儲存在櫥柜里，因而注定永遠都不會被吃掉。

那么現在，我們就可以為問題設定一個更精準的含義了。我們想要知道抵達永恒盡頭的那一天還剩下多少塊巧克力，就等于想要知道會有多少塊巧克力不會被吃掉。在這種情況下，答案就很簡單了，那就是所有偶數巧克力的數量。而且由于偶數總數是一個無窮大的數量，因此到最后，你的庫存巧克力會是一個無窮大的數量。

到目前為止，數學似乎增強了我們的直覺，而我們距離可以宣告自己了解到一些東西僅有一步之遙了。但我們必須保持謹慎，讓我們再做一個思維實驗。現在想象一下，你決定按照編號順序吃掉巧克力，而不是每天吃掉當天購買的兩塊巧克力中的一塊。這樣一來，你就會在第一天吃掉 1 號巧克力，在第二天吃掉 2 號巧克力，在第三天吃掉 3號巧克力，依此類推（圖 3.8）。

在以這種方式進行操作時，你會驚訝地發現，巧克力絕對會在某一天被全部吃光。100 號巧克力會在第一百天被吃掉，1 000 000 001 號巧克力會在第十億零一天被吃掉，古戈爾普勒克斯號巧克力會在第古戈爾普勒克斯天被吃掉，依此類推。因此，我們會得到這樣一個奇怪的結論：在永恒的盡頭，你的庫存會變空。你的櫥柜里一塊巧克力都不會剩下。

如果你是一個正常人，那么這個結果必定會讓你感到錯亂。每天都只增不減的庫存怎么可能歸零呢？況且，結果怎么會因為選擇吃掉編號不同的巧克力就不一樣了呢？我們面對的是一個真正的悖論。但我們必須承認，在第二種情況下，所有的巧克力最終都會被吃掉。在時間的盡頭，你的櫥柜里一塊巧克力也不會剩下。

就是在這一刻，我們會傾向于認為，無窮大的運作機制中毫無數學和邏輯可言。同樣的計算根據不同的運算方式會得出不同的結果，這簡直荒謬！就像很多偉大的學者那樣，我們可能會想要放棄對無窮大的思考。但現在需要的正是堅持不懈。

不管這聽起來有多奇怪，但我們在上文中描述的計算并沒有任何錯誤。如果你每天吃掉其中一塊當天購買的巧克力，那么在永恒的盡頭就會剩下無窮大數量的巧克力；而如果你按照順序吃掉這些巧克力，那么一塊巧克力都不會剩下。這個結果之所以會讓我們感到震驚，是因為它違背了我們小時候在學校里學到的基本計算規則：一個運算的結果并不取決于被計算的對象。

巴比倫的書吏已經明白了這一點，而這就是他們數字系統的強大優勢之一。如果我告訴你 5 ? 2 = 3，你無須知道 5、2 和 3 的具體所指就能確定這個等式是正確的。如果你有五塊巧克力，我從中拿走兩塊，那你那里肯定就會剩下三塊。無論我拿走的是前兩塊、后兩塊還是任意兩塊，全都無關緊要，這對剩下三塊這一結果不會產生任何影響。無論現實的情況如何，運算的結果都是不變的（圖 3.9）。

數的這種特性如此自然而明顯，我們幾乎連把它表述出來的興趣都沒有，更談不上對此感到驚訝了。但是，當我們談論無窮大時，這個特性就是錯誤的。一個運算的結果取決于你計算的對象和你選擇添加或刪除的特定元素！這個新規則無論多么反直覺，你都必須接受和消化它，這樣才能理解無窮大。

作者：[法] 米卡埃爾?洛奈（Micka?l Launay）

譯者：歐瑜

法國數學學會“達朗貝爾獎”得主新作

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