《量子雜志》每周都會解釋推動現代研究的最重要思想之一。本周，數學專欄作家Joseph Howlett詳細介紹了數學思維的魅力和重要性。

作者：Joseph Howlett（量子雜志數學專欄作家） 2024-12-16

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-12-17

直到一年多前，我還是一名實驗物理學家。我一直都在使用數學，所以你可能會認為，成為一名數學記者對我來說是再合適不過了。從很多方面來說，這的確沒錯。但從其他方面來看，我的新知識家園星球感覺就像一個外星世界。

在我以前的生活里，我研究的是物理對象和可測量的現象。數學是讓我能夠做到這一點的工具。我曾經嘲笑過我的理論學家朋友，他們不告訴我他們最近在“研究”什么，而是告訴我他們在“思考”什么。這讓我想起這些朋友整天躺在辦公桌前，頭向后仰，眼睛瞇著看著天花板，心思飄忽不定。現在，我采訪的每個人都以同樣的方式談論他們的研究。

數學家關注的數學類型與我作為物理學家所使用的工具截然不同。他們的工作深受人類對美和抽象概念的驅動，并將純邏輯推向極限。實驗和觀察可以幫助指導數學家的理解，但最終，他們不會接受某些東西在數學上是正確的，除非他們能提出一個嚴謹的論證來證明它。正如一位數學家最近向我保證的那樣，“沒有嚴格的證據表明某人不能活到超過一千歲。這只是一個經驗事實。”

這種對嚴謹性的強調有時會帶來看似不可能的現象的證明。例如，巴拿赫-塔斯基（Banach-Tarski）悖論說（參閱），你可以把一個球打碎，然后用它制造出兩個與原球一模一樣的球。對我這個物理學家來說，這聽起來像是從無到有創造物質，但從數學上來說，毫無疑問這是正確的——而且也很美妙。

我欣賞這種嚴謹的思維方式。我并不懷念物理學的一點是，當你試圖跟上講座或論文時，你經常站在不穩定的理論基礎上。數學是如此堅固，如此沒有虛晃的架勢（原文用詞hand-waving，在物理里表示其所描述的論斷沒有嚴格的根據，譯者注）。在某種程度上，數學真理是由比我過去整天擰緊的真空法蘭上的鋼螺栓更堅固的東西構成的。

數學思維似乎過于苛刻，但它很重要。作為一門藝術和一門科學，它展示了人類創造力的力量，同時也揭示了我們周圍世界的奧秘。它甚至有各種各樣的實際應用：曾經被視為無用的數學抽象現在在密碼學、化學、工程、機器學習等領域發揮著至關重要的作用。但從本質上講，數學是關于探索、發現、美和理解的。

以下是《Quanta Magazine量子雜志》在2024年講述的一些數學故事，它們常常挑戰我對數學的認知，幫助我適應了這個新世界。

改變我數學思維的故事

我對數學的理解以及數學從業者的思維方式很大程度上來自于閱讀量子雜志的解釋和問答。如果你一年前問我如何正確定義2的平方根，我會感到困惑——它是當你將它乘以自身時等于2的數字！但在閱讀Jordana Cepelewicz的解釋后（參閱），我明白了數學家需要如何根據完善的公理和定理來具體定義一切，包括數字。因此，2的平方根需要更嚴格的定義。

我經常聽到伽利略說宇宙“是用數學語言寫成的”，但直到我讀到克萊爾·瓦贊（Claire Voisin）的這篇問答時（參閱，以及 ），我才意識到不同的數學語言可以描述同一個宇宙。她解釋了數學家們如何努力在不同的數學語言（比如代數語言和幾何語言）之間進行翻譯，以獲得新的見解。物理學家經常使用不同的描述來嘗試理解相同的基本現實，他們的想法是，沒有一種描述比另一種更“真實”。我從未想過數學語言也可以以同樣的方式運作。

在我當物理學家的日子里，我通常被困在三維空間中（不包括時間）。數學家不受物理現實的限制，可以飛越更高的平面，那里充滿了他們自己無法理解的對象。他們只能通過觀察嵌入其中的更簡單、更低維的形狀來感受這些形狀的邊緣。今年，數學家發現了比他們之前認為的更奇怪、更豐富的嵌入，這表明四維世界比他們所知道的還要奇怪。

2024年的一條數學新聞確實吸引了我的注意，部分原因是我是一個狂熱的觀鳥愛好者，但也因為它表明數學和其他科學一樣，充滿了偶然的發現。Lyndie Chiou 今年早些時候報道了一種神秘的數學模式，稱為“椋鳥群飛”（murmuration，參閱），因其類似于翱翔的椋鳥群中形成的華麗的波浪狀漣漪而得名。這種模式是由一位名叫 Alexey Pozdnyakov 的本科生發現的，當時他使用一個公共方程式數據庫繪制了一張圖，而這在資深數論學家看來是永遠不會發生的。他在這張圖中看到的奇怪漣漪遠不僅限于這些方程式，后來被證明在數論及其他領域無處不在。在我最近參加的石溪大學關于該主題的研討會上，麻省理工學院的數論學家 Andrew Sutherland 展示了 Pozdnyakov 的圖，并將其與“他們在培養皿中發現霉菌以發現青霉素”進行了類比。

感謝這些故事，我的數學基礎（某種程度上）穩定了下來，我迫不及待地想看看2025年會帶來什么新的突破。

網絡上

彼得·佩西克（Peter Pesic）撰寫的長篇論文《阿貝爾的證明》（Abel's Proof）讓我明白了現代數學為何充斥著深奧的抽象概念。它還讓我開始思考不可解性 — — 有些數學問題，即使是非常簡單的問題，也是可以證明無法證明的。

統計學在我心中占有特殊的地位。它對于我們理解世界至關重要，但同時也非常復雜和微妙。我喜歡閱讀由統計學家Andrew Gelman創辦的博客“統計建模、因果推斷和社會科學” ，其中有關于統計學及其在科學中經常被濫用的清晰對話。

在一個實際應用并不重要的領域，我對數學家認為什么是有趣的東西非常感興趣。這讓我找到了維基百科上的“有趣數字悖論”頁面，這真是令人愉快。（我最喜歡的有趣數字是142857。）

隨著我撰寫的每一個新故事，我越來越了解數學家的工作方式。例如，他們的工作日常是什么樣子的？我很高興在數學家Kimball Martin的主頁上找到這篇“日常生活”帖子。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4865837

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-marvel-at-crazy-cuts-through-four-dimensions-20240422/

https://mp.weixin.qq.com/s/eia9KK4LQnmTnOP7tbtG3w

https://mitpress.mit.edu/9780262661829/abels-proof/

https://statmodeling.stat.columbia.edu

https://en.wikipedia.org/wiki/Interesting_number_paradox

https://en.wikipedia.org/wiki/142857

https://math.ou.edu/~kmartin/aday.html

科普薦書

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉載、投稿

查看原始文章出處

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

數學科普不迷路！