如何理解曲線積分的概念

——數學科普

在實際的工作和學習中，我們常常會遇到曲線積分。比如在《電磁學》、《流體力學》、《復變函數》和《場論》中等的里面。曲線積分是工作和學習中很重要的一個概念。不理解這個概念，在電磁場中的那幾個關鍵的公式，我們也就無理解了。

許多人都說學習數學很難，其實學習數學的關鍵點在于“思維方式和數學方法”的問題。但是有些環境問題我們無法左右，比如做習題和考試。尤其是一些習題那是無底洞，習題是無邊無際的。尤其是一些偏題怪題，也就是“腦筋游戲”對于繼續學習數學毫無意義。但是習題不做不行啊，必須做。不考試也不行，不考試你進不了大學，你無法畢業啊。

習題要做，考試還得應付，但是千萬不要成了做題的機器和考試的工具。

現在數學界有一個誤區，給人們的宣傳是搞數學的都是“傻里吧唧”的白癡，什么也不會，連講課都不行，但是可以是“數學天才”。這不是胡鬧？其實數學思維需要天文、地理和自然界的許許多多的知識的貫通，可以觸類傍通的綜合思考。所以搞數學不能偏科，不但數學要學好，語文、物理、化學、生物、邏輯、藝術等等都應該好。這個世界上所謂的“白癡數學家”僅僅是億萬分之一，或著根本就不存在。要講一些數學家有“精神”問題，還是有可能的。

曲線積分很重要，理論和工程、機電專業都用得上。我們首先知道定積分是什么？用白話講就是：“微量的疊加聚合”。用數學幾何講就是：“曲線下的面積的和”。也就是一個函數在x的區間內，函數y的總合量。那么曲線積分就是定積分的應用，僅僅是自變量的區間可以看成是在一條曲線上。注意，看成是在一條曲線上。

比如一把長刀，從靠近刀把一端開始的刀身，它的寬窄是不均勻的，是變化的。如果把“單位長短的重量”看成密度，那么重量與長度的變化就是一個“函數”。但是這個函數可能是各種各樣的，甚至是間斷的，也可能無法用初等函數來表示。我們的研究范圍是必須是“初等函數”的。而這些可以表示“密度”的函數，可以在“直角坐標系”中用一段曲線來表示，在這段曲線上積分就是“曲線積分”了。其實還是定積分的應用，但是這個概念在工程技術中很重要。

比如有一座高塔，下面粗，上面細。我們可以得到塔最下面的面積，知道塔的高度，我們就可以畫一個圓錐體。然后近似計算它每米大概的重量，最后用曲線積分計算出塔的整體重量（近似值）。

曲線積分適用于電流、水流、電磁場等等。

數學最重要的就是要把數學概念理解透，而這個理解透需要“知識的綜合”，千萬不能偏科。你的數學概念清楚了，看《數學手冊》就會覺得很簡單，但是不一定會做題。做習題可是苦功夫，永遠做不完。問題是概念不清楚，會做習題，知道技巧，但是恐怕不會數學應用，也難以對數學有開拓進取的研究結果。

不是反對做習題，而是必須先把數學概念理解透。概念理解透了，學習新的數學知識就會感到很輕松，理解很快。概念不清楚沒學習新的數學知識時就會暈頭轉向，理解不了，不知道是為什么這樣表示數學。比如，一些人學習《復變函數》，對“數對”理解不了。其實就是平面上的一個坐標點。理解了“數對”的感念才明白“復數”的加減乘數是什么。這是《復變函數》最基礎的概念，就是在一個平面上的“運作”。

對于“素數對”也一樣。素數對的出現的原因是2是一個素數，而它的“合數數列”是2K+2 ，它的合數出現的周期就是2。必然會有兩個“素數的空位”出現，而形成“素數對”。而這個素數對也是平面上的“復數”，可以用6N±1來表示。

這需要兩個前提：在“多維自然數空間”2N+A和6N+A里面分別研究。

有什么意義，我也不知道。

數學就這樣，有時看不到它的意義，許多年后人們才發現很有實用價值。

2024年12月19日星期四