據SASTRA拉馬努金獎官網及Gatech佐治亞理工學院官網，在前不久召開的國際數論會議（2024年12月20-22日）上，2024年的SASTRA拉馬努金獎正式頒發給亞歷山大·鄧恩（Alexander Dunn）。

紀念印度天才的嘉獎

每年的12月22日是印度政府宣布設立的國家數學日，以紀念印度坎坷天才數學家斯里尼瓦薩·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan，1887 - 1920）的生日。在南印度庫姆巴科納姆（拉馬努金的家鄉）的SASTRA大學拉馬努金中心舉行的國際數論會議（2024年12月20-22日）上，該年SASTRA拉馬努金獎（10000美元）正式頒發給亞歷山大·鄧恩（Alexander (Alex) Dunn），因其對解析數論的杰出貢獻，特別是他與Maksym Radziwill合作解決了關于三次高斯和的偏差的庫默爾-帕特森（Kummer-Patterson）猜想。他的工作代表了該領域的重大突破。

“能夠獲得SASTRA Ramanujan獎，我感到非常榮幸和興奮，”現為佐治亞理工學院（Gatech）數學學院助理教授的鄧恩說道，他的研究重點是解析數論以及自守（automorphic）形式/元辛（metaplectic）形式及其與素數和整數劃分的聯系。“拉馬努金的工作對我的研究產生了令人驚訝和深遠的影響，我希望未來也是如此。”

Gatech數學學院院長邁克爾·沃爾夫 (Michael Wolf)表示，這一榮譽意義非凡：“該獎項旨在表彰亞歷克斯·鄧恩及其合作者在過去幾年中取得的突破性工作。但特別是考慮到之前的獲獎者名單，其中許多人從這個年輕人獎項中脫穎而出，成為他們這一代人中最受認可的人，這也顯示了亞歷克斯對未來重要的、有影響力的工作的好預兆。他去年同意加入我們的教職隊伍，我們對此感到非常高興。”

斯里尼瓦薩·拉馬努金

（Srinivasa Ramanujan，1887 - 1920）

解開19世紀的謎團

SASTRA拉馬努金獎的頒發是為了表彰鄧恩在解決三次高斯和分布的庫默-帕特森猜想方面所做的工作，這是他在加州理工學院擔任博士后學者時開始的工作。鄧恩與其博士后導師數學教授馬克西姆·拉齊威爾（Maksym Radziwill，也是2016年SASTRA拉馬努金獎得主之一)合作撰寫了該猜想的有條件的證明，該猜想解釋了涉及素數和的模式中有關偏差或非隨機性的數學之謎。他們的論文已被《數學年鑒》期刊接受發表，代表了解析數論領域的重大突破。

鄧恩和拉齊威爾有條件的證明是在德國數學家Ernst Kummer（恩斯特·庫默爾，1810 - 1893）首次檢查前45個非平凡素數的三次高斯和的分布之后近兩個世紀提出的。1846年，庫默爾發現了一種偏差——具體來說，總和沿著數軸正側聚集——而不是更均勻的分布。然而，隨后的研究人員使用早期計算機來計算更大樣本的總和并沒有再次出現這種偏差。

然后，在1978年，塞繆爾·帕特森（Samuel James Patterson，1948 -）提出，在更大的樣本量中，偏差可能會被“壓倒”，從而導致早期計算機所顯示的明顯均勻的分布。鄧恩和拉齊威爾撰寫的證明既解釋了庫默爾觀察到的偏差，也證實了帕特森的猜想，解決了一個近兩個世紀的謎團。

基于GRH廣義黎曼假設

高斯（Gauss，1777–1855）

更加具體地來講，大數學家卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777–1855）研究了某些素數p（p是非平凡素數，除以3余數為1的素數）模的指數和（現稱為二次高斯和）的問題。二次高斯和具有奇妙的性質，在計算各類方程的解時非常有用。十九世紀中葉，庫默爾開始研究高斯和的三次類似物，其動機是研究素數階有限域中方程 X3 + Y3 + Z3 = 0 的解。根據計算，庫默爾推測，歸一化（正規化，normalized）的三次和的幅角在區間 ±[0, π/3]、±[π/3, 2π/3]、±[2π/3, π] 內按照 3:2:1 的比率變化，尤其是，歸一化的高斯和在單位圓上不是均勻分布的，從而表明存在偏差。

一個世紀后，赫爾曼·戈德斯坦（Hermann Goldstine，1913 - 2004）和約翰·馮·諾依曼（John von Neumann，1903 - 1957）在普林斯頓高等研究院研究新計算機，開始測試庫默爾猜想。他們進行了大量的計算，結果表明，歸一化值趨向于漸近均勻分布，這表明庫默爾猜想可能不正確。1970年代，塞繆爾·帕特森開始深入研究三次高斯和，旨在解決庫默爾猜想的謎團。如果歸一化值表現得像絕對值為1的隨機復數，那么根據大數定律，N以內的高斯和之和應該為√N，但根據他的研究，帕特森觀察到這個和比√N大得多，因此表明存在偏差，但與N相比卻小得多，因此表明是均勻分布！

大約在那個時候，當時是劍橋大學研究生的羅杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown，1952 -）開發了處理素數三次高斯和的新工具。帕特森與希思-布朗聯手，兩人于1979年建立了均勻分布結果，但他們的誤差界限不夠強，無法檢測到偏差。因此，問題的偏差方面一直未得到解決，直到最近，鄧恩和拉齊威爾在他們的突破性論文《三次高斯和中的偏差：帕特森猜想》

Bias in cubic Gauss sums: Patterson’s conjecture

黎曼（Bernhard Riemann，1826 - 1866）

GRH（廣義黎曼假設）是數學中最著名的未解猜想之一。大多數數學家認為GRH是正確的。盡管鄧恩-拉齊威爾的結果是條件性的，因為它依賴于GRH，但數學界已經接受了他們的工作，認為這是期待已久的突破。事實上，他們這篇令人敬畏的論文是解析數論的杰作，因為它結合了篩法（sieve method）、色散技術（dispersion technique，依靠分散集合元素的思想來極小化具有給定差的數對的數量，一般用于估計具有某些加性性質的整數集的大小）、Heath-Brown的立方符號大篩不等式（large sieve inequality）以及立方元辛形式（cubic metaplectic form）的解析理論。鄧恩是元辛形式的權威，他對元辛形式的專業知識對問題的最終解決至關重要。

鄧恩和拉齊威爾必須證明的一個重要結果是Heath-Brown大篩不等式中的某個項是最優的，這一見解歸功于鄧恩。鄧恩和拉齊威爾建立了對任何卷積序列都有效的立方高斯和的色散估計。這一證明依賴于對幾個項的非常仔細的估計，其中一些來自元辛形式理論。

鄧恩的博士后導師及合作者馬克西姆·拉齊威爾

（Maksym Radziwill，也是SASTRA拉馬努金獎得主，2016年)

圖源：caltech.edu

鄧恩和拉齊威爾的這項驚人工作最近由鄧恩本人和其他數學家在各個方面進行了推廣。鄧恩的一篇論文名為“元辛尖點形式和大篩法” Metaplectic cusp forms and the large sieve ，涉及元辛尖點形式傅里葉系數的大篩法不等式。這篇論文的結果將發表在《代數與數論》雜志上，可以看作是Heath-Brown不等式的重要推廣。

鄧恩與Alexander Zaharescu合作的另一篇開創性論文題為“模平方根的扭曲二階矩及其應用” The twisted second moment of modular square roots and applications，即將發表在《歐洲數學會雜志》上。鄧恩和Zaharescu在此處獲得了某個半積分權重形式的L-函數二階矩的漸近公式；這項工作受到了Blomer、Fouvry、Kowalski、Michel、Milicevic和Sawin早期基本成果的啟發，他們處理了固定形式為經典形式的情況。鄧恩和Zaharescu必須使用完全不同的技術（獨立于Ramanujan-Petersson 猜想，該猜想對半積分權重形式開放），例如Salie和的封閉表達式，并利用與丟番圖近似和加法組合的聯系。鄧恩與Kerr、Shparlinski和Zaharescu合作，在2020年發表于《數學進展》的論文《模平方根Weyl和的雙線性形式及其應用》 Bilinear forms in Weyl sums for modular square roots and applications 中進一步改進了這些技術。

Alexander Dunn（亞歷山大·鄧恩）

圖源：caltech.edu

鄧恩的最新進展是他與David、Hamieh和Lin合作研究了Heath-Brown四次高斯和上界的類似物。因此，鄧恩和他的合作者開發的結果和技術正在繼續取得新的進展。憑借廣泛的開創性成果以及Patterson猜想的解決，鄧恩在年輕時就已成為解析數論的一個領軍人物。元辛形式這一困難領域在很大程度上因鄧恩的努力而得到了振興，與Ramanujan的工作領域非常接近。

鄧恩開始研究元辛形式是因為他的兩位博士導師之一Scott Ahlgren。鄧恩和Ahlgren研究了秩分割統計（拉馬努金模擬θ函數的系數）的半積分權重模形式。在他們2019年發表在《數學年鑒》上的論文《Maass形式和模擬θ函數》 Maass forms and mock theta functions 中，他們使用自守形式的譜理論來估計當截斷拉馬努金模擬θ函數（mock theta function）系數的精確公式時的誤差項（精確公式是George Andrews的猜想，Kathrin Bringmann和Ken Ono在2006年證明了這一點）。Ahlgren和鄧恩的這篇論文與拉馬努金的工作密切相關。

關于亞歷山大·鄧恩 Alexander Dunn

鄧恩以優異的成績畢業于澳大利亞昆士蘭大學，獲得理學學士學位，并因其學術表現而獲得其大學獎。他獲得伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校數學博士學位，并因撰寫論文而獲得保羅·T·貝特曼數論獎學金和貝特曼數論獎。2020-23年度，鄧恩擔任加州理工學院Olga Taussky和John Todd數學講師。2021年春，他成為瑞典米塔格-萊弗勒研究所的初級研究員。2023年，他加入Gatech數學學院成為終身助理教授。

關于SASTRA Ramanujan獎

SASTRA拉馬努金獎（提示：請勿與ICTP & IMU共同管理的拉馬努金獎混淆，參閱 ），由Shanmugha藝術、科學、技術和研究學院，即Shanmugha文理工研究院 (SASTRA) 2005年設立，每年頒發給不超過32歲的杰出個人，年齡限制定為32歲，是因為拉馬努金在他32年的短暫一生中取得了巨大成就。

至今SASTRA拉馬努金獎已頒發給23人（參見如下列表，不難發現其中有多位后來獲得菲爾茲獎的年輕數學家）。

年份SASTRA拉馬努金獎歷年得主一覽表2024 亞歷山大·鄧恩

Alexander Dunn

2023 張瑞祥
Ruixiang Zhang 2022 唐云清
Yunqing Tang 2021 威爾·薩溫
Will Sawin 2020

謝·埃夫拉

Shai Evra

2019 亞當·哈珀
Adam Harper 2018 劉一峰
Yifeng Liu 杰克·索恩
Jack Thorne 2017 瑪麗娜·維亞佐夫斯卡
Maryna Viazovska 2016 凱薩·馬托梅基
Kaisa Matom?ki 馬克西姆·拉齊威爾
Maksym Radziwill 2015 雅各布·齊默爾曼
Jacob Tsimerman 2014 詹姆斯·梅納德
James Maynard 2013 彼得·舒爾茨
Peter Scholze 2012 惲之瑋
Zhiwei Yun 2011 羅曼·霍洛溫斯基
Roman Holowinsky 2010 張偉
Wei Zhang 2009 卡特林·布林格曼
Kathrin Bringmann 2008 阿克沙伊·文卡泰什
Akshay Venkatesh 2007 本·格林
Ben Green 2006 陶哲軒
Terence Tao 2005 曼朱·巴爾加瓦
Manjul Bhargava 卡納安·桑德拉讓
Kannan Soundararajan

以下為另一個重要的ICTP & IMU拉馬努金獎（發展中國家青年數學家拉馬努金獎），由ICTP & IMU國際理論物理中心（ICTP）和國際數學聯盟（IMU）共同管理，獎勵年齡小于45周歲的發展中國家研究人員，而獎金同樣也是10000美元。

ICTP & IMU拉馬努金獎歷年獲得者名單一覽表，供參考，請勿混淆！

年份ICTP & IMU拉馬努金獎得主2024 劉若川
Ruochuan Liu 2023 （空缺） 2022 穆罕默德·穆斯塔法·法爾
Mouhamed Moustapha Fall 2021 尼娜·古普塔
Neena Gupta 2020 卡羅琳娜·阿勞霍
Carolina Araujo 2019 范黃協（音譯）
Hoàng Hi?p Ph?m 2018 里塔布拉塔·蒙希
Ritabrata Munshi 2017 愛德華多·特謝拉
Eduardo Teixeira 2016 許晨陽
Chenyang Xu 2015 阿瑪倫杜·克里希納
Amalendu Krishna 2014 米格爾·沃爾什
Miguel Walsh 2013 田野
Ye Tian 2012 費爾南多·科達·馬克斯
Fernando Codá Marques 2011 菲利伯特·南
Philibert Nang 2010 史宇光
Yuguang Shi 2009 埃內斯托·盧佩爾西奧
Ernesto Lupercio 2008 恩里克·普哈爾斯
Enrique R. Pujals 2007 豪爾赫·勞雷特
Jorge Lauret 2006 蘇賈塔·蘭多賴
Sujatha Ramdorai 2005 馬塞洛·維亞納
Marcelo Viana

參考資料

https://sas.sastra.edu/ramanujan/Ramanujan-Awards.php

https://math.gatech.edu/news/mathematician-alexander-dunn-awarded-2024-sastra-ramanujan-prize

https://arxiv.org/pdf/2109.07463.pdf

https://math.ufl.edu/2024/09/26/2024-sastra-ramanujan-prize/

https://math.ufl.edu/wp-content/uploads/sites/124/2024/09/sastra-2024-press-release.pdf

https://www.caltech.edu/about/news/caltech-mathematicians-solve-19th-century-number-riddle

https://mp.weixin.qq.com/s/zxQdwl-4IGAi4EkaU3g2Tg

https://www.quantamagazine.org/a-numerical-mystery-from-the-19th-century-finally-gets-solved-20220815/

https://www.iflscience.com/after-175-years-two-false-conjectures-and-the-birth-of-computing-this-theorem-finally-has-a-proof-65065

https://alexjdunn.weebly.com

https://library.fiveable.me/analytic-number-theory/unit-14

https://en.wikipedia.org/wiki/SASTRA_Ramanujan_Prize

https://zh.wikipedia.org/wiki/SASTRA%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91%E5%A5%96

https://www.ams.org/notices/202305/rnoti-p806.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/ICTP_Ramanujan_Prize

https://en.wiktionary.org/wiki/metaplectic

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