A New Criterion Beyond Divergence for Determining the Dissipation of a System: Dissipative Power

https://www.frontiersin.org/journals/physics/articles/10.3389/fphy.2021.695489/full

摘要

散度通常用于確定動力系統的耗散性，但一些研究者注意到它可能會導致一些難以捉摸的矛盾。本文提出了一種超越散度的判斷系統耗散性的準則——耗散功率，該準則基于經典力學知識和Ao提出的一種新穎的動態結構。此外，本文還推導了耗散功率與勢函數（或稱Lyapunov函數）之間的關系，揭示了動力系統中一個非常有趣、重要且新穎的特征：根據“能量函數”或“哈密頓量”的變化來分類動力學系統是耗散的還是保守的，而不是根據相空間體積的變化。我們從兩個簡單的例子開始，分別對應平面動力系統中的兩類吸引子：固定點和極限環。在用散度判斷耗散性時，這兩個系統既存在研究者指出的矛盾，也有我們注意到的新問題。隨后，我們在這兩個例子中分析和比較了這兩種準則，并進一步考慮了系數矩陣為四種Jordan標準型的平面線性系統，發現當散度出現矛盾時，耗散功率仍然有效。此外，我們還分析了另一個非線性系統，以比較這兩種準則。最后，耗散功率與Lyapunov函數之間的關系為解釋為什么一些研究者認為Lyapunov函數與極限環不能共存提供了合理的解釋。這些結果可能為理解動力系統的耗散性提供了更深入的認識。

關鍵詞：耗散性、散度、耗散功率、鞍點、極限環、Lyapunov函數

1 引言

對于一個確定性動力系統，

它可以被劃分為保守系統或耗散系統。通常，研究者使用以下準則——散度，通過系統在相空間中的相體積是否隨時間演化而收縮來判斷系統的耗散性：

準則1（散度 [1–4]）：向量場 f(x) 的散度衡量了在 f(x) 的流下體積變化的快慢，其定義如下：

盡管關于散度的研究有很多 [5–7]，但必須提到的是，對于這樣一個重要的概念，一些研究者已經注意到，在用它判斷系統的耗散性時會出現一些難以捉摸的矛盾。例如，Chen [8] 指出，對于通過散度判斷為耗散的系統，并不一定在相空間的每一點都成立。Thompson 和 Stewart [4] 觀察到，Van der Pol 類型的系統是耗散的，然而其相空間可能存在散度為正的區域。

在本文中，我們僅考慮平面動力系統。眾所周知，平面動力系統中有兩類吸引子：固定點和極限環。直接分析散度準則為何不嚴謹甚至不可能是一個復雜的問題，而具體的例子是說明問題的一種簡單而有效的方式。在這里，我們給出兩個平面系統示例，分別對應這兩類吸引子，以揭示通過相空間體積變化定義的散度并不是判斷系統耗散性的充分必要條件。

線性系統：以下是一個線性系統 [9]：

該系統具有一個鞍點，且散度等于零。根據散度（公式2），系統（公式3）是保守的。然而，我們發現了一個有趣的現象：這個散度為零的平面線性鞍點系統，實際上不僅可以被判斷為保守系統，還可以被判斷為耗散系統。一方面，根據Liouville定理 [10]，它是一個保守系統；另一方面，結合Borrelli和Coleman的定理 [11]（保守系統沒有吸引子和排斥子）以及Sachdev的陳述 [12]（排斥子對應于不穩定的平衡點或鞍點），它又是耗散的。

非線性系統：以下是另一個系統 [13]：

當，這引入了與Thompson和Stewart提到的類似的矛盾。此外，我們還注意到散度帶來的另一個矛盾：在極限環中，系統由于負散度而被判斷為耗散系統，系統的能量最終應減少到零并停止運動。然而，事實上，系統可以在極限環中無限運動。

因此，找到一個合適的方法或新準則，能夠合理解釋并分析上述問題和矛盾，是一個核心問題。是否存在這樣的方法？基于本文的研究，答案是肯定的：耗散功率。

本文的結構如下：在第2節中，介紹了一種新的判斷系統耗散性的準則——耗散功率。在第3節中，我們通過示例（公式3、4）比較了新準則與散度。此外，我們推導了與平面線性系統對應的四種Jordan矩陣的所有結果，并考慮了文獻[5]中的另一個非線性系統，驗證了耗散功率與Lyapunov函數之間的關系。結論和討論在第4節中展示。

2 一種新的耗散準則：耗散功率

本節介紹了一種新的耗散準則——耗散功率，其基于經典力學知識[14]以及Ao提出的一種新穎的動態結構[15–17]。

Ao從力學的角度發現了一種新穎的框架，將系統（公式1）分為三個部分：

從功和能量的角度來看，力可以分為保守力和非保守力。利用非保守力（如摩擦力）消耗能量的特性，我們將Ao的動態結構與經典力學知識[14]結合，推導出以下判斷系統耗散性的準則：耗散功率，記作。

準則2（耗散功率）：耗散性可以通過摩擦力的耗散功率來定義，其表達式如下：

公式15的物理意義非常明顯：沿系統軌跡的“能量函數”減少意味著耗散，而沒有變化則意味著沒有耗散。因此，我們可以得出結論：這種耗散準則根據“能量函數”或“哈密頓量”的變化將動力學分類為耗散或保守。

3 分析與解答

在本節中，我們使用新的耗散準則來判斷示例（公式3、4）的耗散性，并與散度的結果進行比較。此外，我們還考慮了以四種Jordan矩陣為系數矩陣的平面線性系統，并分析了文獻[5]中的另一個非線性系統，以比較這兩種準則。

3.1 平面線性系統

我們首先考慮平面線性系統，并將結果總結為兩個表格。

系統（公式1）的線性形式可以寫成如下：

Kwon、Ao和Thouless [20] 已經討論了線性系統的Lyapunov函數的構造。以下給出了一些必要的公式：

顯然，系統（公式29）是一個梯度系統，且是耗散的。

這里，公式26和29表明系統（公式3）是一個耗散系統，這與結合文獻[11, 12]得到的結果一致。然而，無法得出這一結論。

廣義哈密頓系統：

顯然，系統（公式35）是一個哈密頓系統（公式8），且是保守的。

這里，公式32和33表明系統（公式3）同時也是保守的。另一方面，系統（公式3）可以重寫為哈密頓系統，這與Liouville定理[10]得到的結果一致。

類似地，我們可以得到與四種Jordan矩陣對應的系統的所有結果，詳細信息見補充材料，并將其總結在表2中。結合表1和表2，我們得出以下結論：

3.2 平面非線性系統及其在極限環上的運動

基于從物理角度研究動力系統的工作[16, 18]，我們將進一步分析和解釋極限環中的運動。為了完整性，該過程在公式4中給出。

對于電磁場中的帶電無質量粒子，其運動牛頓方程如下：

公式43表明，具有極限環的系統（公式4）是耗散的，而在極限環內是保守的。這不僅與Borrelli和Coleman的定理[11]沒有矛盾，也不會遇到Thompson和Stewart[4]提到的問題。此外，通過 判斷極限環內的耗散性會面臨我們注意到的矛盾，但耗散功率則不會。

通過公式41和43，我們可以驗證：

最后，我們可以分析帶電粒子在極限環中的運動，其過程如下：

綜上所述，極限環是一條等勢線，在“洛倫茲力”的作用下，帶電粒子可以在其中無限運動，且摩擦力為零，因此沒有耗散。這里的等勢線是系統（公式4）的單位環，因此粒子做圓周運動。

由此我們可以得出結論：當使用散度判斷具有極限環的系統的耗散性時，會出現矛盾，并且無法解釋極限環中的無限運動。然而，使用耗散功率時，不僅不會出現矛盾，還能給出合理的分析和解釋。

此外，我們在另一個非線性系統中分析和比較了這兩種準則。

3.3 非線性系統中兩種耗散準則的分析與比較

最后，公式56和59可以一致地推導出系統（公式48）是耗散的，這與文獻[5]中得到的結果一致。

4 結論與討論

4.1 結論

我們的研究結果表明，教科書中常用的定義——散度，既不是“耗散性”的充分條件，也不是必要條件。動力系統中出現了一個非常有趣、重要且新穎的特征：根據“能量函數”或“哈密頓量”的變化將動力學分類為耗散或保守，而不是根據相空間體積的變化。具體細節如下：

對于散度為零的平面線性鞍點系統示例，通過耗散功率，可以判斷其不僅是保守的，還可以是耗散的。然而，散度僅反映了一種情況。此外，我們推導了與四種Jordan標準型對應的平面線性系統的所有結果，并發現當散度表現出片面性或沒有耗散定義時，耗散功率始終有效。

對于具有極限環的平面非線性系統（公式4），我們得出以下結論：

1. 公式43表明，系統（公式4）是耗散的，但在極限環內是保守的，這與Borrelli和Coleman的定理[11]沒有矛盾，也不會遇到Thompson和Stewart[4]提到的問題。

2. 對于這兩種耗散準則，只有耗散功率能夠解釋極限環中無限重復運動的耗散意義：在系統（公式4）的極限環中，耗散功率表明系統是保守的。因此，軌跡可以在極限環中無限運動而不耗散。具體來說，在極限環中，摩擦力，勢函數的值，這表明極限環是一條等勢環，電場力做功為零，而洛倫茲力處處垂直于運動方向且不做功。因此，帶電粒子可以在電磁場中的等勢線上無限運動。

此外，我們還分析了文獻[5]中的另一個非線性平面系統，并比較了這兩種準則，得出了它們一致的結果。

- 我們得到了Lyapunov函數與耗散功率之間的關系：Lyapunov函數沿軌跡的減少等于耗散功率，即。其物理意義非常明顯：沿系統軌跡的“能量函數”減少意味著耗散，而沒有變化則意味著沒有耗散。

盡管我們目前的工作僅考慮了平面動力系統的耗散性，但我們有信心在不久的將來解決高維動力系統的耗散性問題，因為吸引子可以從幾何上分類（見Wolfram [23]）：固定點、極限環和混沌。基于Ao提出的新穎動態結構，Ao等人已經在這三類吸引子（如固定點[20]、極限環[24–26]和混沌[27]）方面取得了許多重要成果。

4.2 討論

通過耗散功率與Lyapunov函數之間的關系，我們將從系統耗散的角度結合這兩種準則，分析為什么一些研究者認為極限環系統中不存在Lyapunov函數（如[1, 19, 28]）。正如我們指出的，散度在極限環中存在矛盾現象，如果我們忽略這一點并繼續通過散度判斷極限環中的耗散性，我們會認為系統（如公式4）在極限環中是耗散的。那么，系統的能量最終應減少到零并停止運動。這意味著極限環中沿軌跡的勢函數（或稱Lyapunov函數）的導數應小于零，系統的能量隨時間減少直至為零，因此系統不可能一直處于極限環中。另一方面，公式42中當可能是導致研究者認為極限環系統不存在或無法構造Lyapunov函數的另一個原因。這可能為一些研究者認為Lyapunov函數與極限環不能共存提供了一種解釋。

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